Անցնել պարունակությանը

Թվային ինտեգրում

Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացում և Արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանք և ընդհանուր հավասարումների հավաքում բաժիններում ստացված տարրի ներքին ուժերի \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) վեկտորներն ու \(\boldsymbol{K}^e\) կոշտության մատրիցը տրվում են տարրի \(\Omega^e\) կամ \(\Omega^e_0\) տիրույթի ինտեգրալների տեսքով։ FrontISTR-ում դրանք թվայինորեն գնահատվում են Gauss-ի ինտեգրման բանաձևերով։

Gauss-ի ինտեգրման բանաձև և փոփոխականների փոխակերպում

Gauss-ի ինտեգրման բանաձևը ստանդարտ \(\Xi\) տիրույթի ինտեգրալը մոտարկում է ինտեգրման \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) կետերում ինտեգրվող ֆունկցիայի արժեքների և \(w_i\) կշիռների գծային գումարով։ \(\Omega^e\) տարրի տիրույթում այն կիրառելու համար կատարվում է փոփոխականների փոխակերպում \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) արտապատկերմամբ՝

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

։ Այստեղ \(n_q\)-ն ինտեգրման կետերի թիվն է, իսկ \(J_{\xi_i}\)-ն՝ փոխակերպման Յակոբիանի որոշիչը։ Ստանդարտ \(\Xi\) տիրույթը սահմանվում է ըստ տարրի տեսակի (վեցանիստի համար՝ \([-1,1]^3\), եռանկյան, քառանիստի և սեպաձև տարրի համար՝ համապատասխան հղման ձևերը), իսկ \(\boldsymbol{\xi}_i\) ինտեգրման կետերն ու \(w_i\) կշիռները տրվում են թվային աղյուսակներով։ Մակերեսային ինտեգրալները նույնպես մշակվում են նույն ձևով՝ տարրի մակերեսը արտապատկերելով երկչափ ստանդարտ տիրույթից։

FrontISTR-ում օգտագործվող ինտեգրման կետերի բնորոշ թվերը ներկայացված են ստորև (տարրի տեսակներին համապատասխանության համար տես Տարրերի համարակալման համակարգ և ձևի ֆունկցիաների գրադարան)։

Տարրի տեսակ Ինտեգրման բանաձև Ինտեգրման կետերի թիվ
4 հանգույցով քառանիստ (tet4n) 1 կետով բանաձև 1
10 հանգույցով քառանիստ (tet10n) 4 կետով բանաձև 4
6 հանգույցով եռանկյուն պրիզմա (prism6n) 2 կետով բանաձև 2
15 հանգույցով եռանկյուն պրիզմա (prism15n) 9 կետով բանաձև 9
8 հանգույցով վեցանիստ (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20 հանգույցով վեցանիստ (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4 հանգույցով քառանկյուն (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8 հանգույցով քառանկյուն (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3 հանգույցով եռանկյուն (tri3n) 1 կետով բանաձև 1
6 հանգույցով եռանկյուն (tri6n) 3 կետով բանաձև 3

Վեցանիստ, քառանկյուն և գծային տարրերի համար վերցվում է յուրաքանչյուր առանցքի Gauss-Legendre բանաձևերի թենզորային արտադրյալը։ Եռանկյուն, քառանիստ և եռանկյուն պրիզմա տարրերի համար կիրառվում են սիմպլեքսային ձևերին համապատասխան հատուկ բանաձևեր՝ կետերի դասավորությամբ, որը բազմանդամները ճշգրիտ ինտեգրում է հենց համապատասխան ձևի վրա։

Կիրառում տարրային ինտեգրման մեջ

Տարրային ինտեգրման համար բնական կոորդինատները \(\boldsymbol{r}\) օգտագործվում են որպես ստանդարտ տիրույթի կոորդինատներ (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), իսկ ֆիզիկական կոորդինատների արտապատկերումը տրվում է հանգույցային կոորդինատների՝ ձևի ֆունկցիաներով ինտերպոլացմամբ։ Ըստ հղման կոնֆիգուրացիայի ընտրության (Ինկրեմենտային վերլուծության շրջանակ) կիրառվում են հետևյալ տարբերակները։

Total Lagrange մեթոդ (ինտեգրում հղման \(\Omega^e_0\) կոնֆիգուրացիայում)՝ արտապատկերումն ու Յակոբիանը տրվում են

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

և տարրի ներքին ուժն ու կոշտության մատրիցը մոտարկվում են՝

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

։ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) մեծությունները բոլորը գնահատվում են \(\boldsymbol{r}_i\) ինտեգրման կետում։

Updated Lagrange մեթոդ (ինտեգրում ընթացիկ \(\Omega^e\) կոնֆիգուրացիայում)՝ արտապատկերումն ու Յակոբիանը տրվում են

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

և

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

տեսքով։

Երկու ձևակերպումների միակ տարբերությունն այն է, որ արտապատկերման մուտքային հանգույցային կոորդինատներն են \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) կամ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\), իսկ ինտեգրման կետերը, կշիռները և ինտեգրման կետերի ցիկլի կառուցվածքը նույնն են։

Լրիվ և նվազեցված կարգի ինտեգրում

Ինտեգրումը, որն օգտագործում է ինտեգրման այնքան կետ, որ ինտեգրվող ֆունկցիայի բազմանդամային կարգը հնարավոր լինի ճշգրիտ ինտեգրել, կոչվում է լրիվ ինտեգրում, իսկ մեկ աստիճանով ավելի քիչ ինտեգրման կետերով տարբերակը՝ նվազեցված կարգի ինտեգրում։ Նվազեցված ինտեգրումն օգտագործվում է սահքի և ծավալային կողպումը մեղմելու համար, սակայն պահանջում է կեղծ դեֆորմացիոն ռեժիմների, օրինակ՝ ավազե ժամացույցի ռեժիմների, կառավարում։ Յուրաքանչյուր տարրի ինտեգրման կետերի թվի և լրիվ/նվազեցված ինտեգրման ընտրությունը քննարկվում է Տարրերի համարակալման համակարգ և ձևի ֆունկցիաների գրադարան բաժնից սկսած և Բարձր արդյունավետության տարրերի ձևակերպումներ բաժնում։

Առնչվող թեմաներ