Անցնել պարունակությանը

Translation update pending

The Armenian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Թվային ինտեգրում

Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացում և Արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանք և ընդհանուր հավասարումների հավաքում բաժիններում ստացված տարրի ներքին ուժերի \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) վեկտորներն ու \(\boldsymbol{K}^e\) կոշտության մատրիցը տրվում են տարրի \(\Omega^e\) կամ \(\Omega^e_0\) տիրույթի ինտեգրալների տեսքով։ FrontISTR-ում դրանք թվայինորեն գնահատվում են Gauss-ի ինտեգրման բանաձևերով։

Gauss-ի ինտեգրման բանաձև և փոփոխականների փոխակերպում

Gauss-ի ինտեգրման բանաձևը ստանդարտ \(\Xi\) տիրույթի ինտեգրալը մոտարկում է ինտեգրման \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) կետերում ինտեգրվող ֆունկցիայի արժեքների և \(w_i\) կշիռների գծային գումարով։ \(\Omega^e\) տարրի տիրույթում այն կիրառելու համար կատարվում է փոփոխականների փոխակերպում \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) արտապատկերմամբ՝

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

։ Այստեղ \(n_q\)-ն ինտեգրման կետերի թիվն է, իսկ \(J_{\xi_i}\)-ն՝ փոխակերպման Յակոբիանի որոշիչը։ Ստանդարտ \(\Xi\) տիրույթը սահմանվում է ըստ տարրի տեսակի (վեցանիստի համար՝ \([-1,1]^3\), եռանկյան, քառանիստի և սեպաձև տարրի համար՝ համապատասխան հղման ձևերը), իսկ \(\boldsymbol{\xi}_i\) ինտեգրման կետերն ու \(w_i\) կշիռները տրվում են թվային աղյուսակներով։ Մակերեսային ինտեգրալները նույնպես մշակվում են նույն ձևով՝ տարրի մակերեսը արտապատկերելով երկչափ ստանդարտ տիրույթից։

FrontISTR-ում օգտագործվող ինտեգրման կետերի բնորոշ թվերը ներկայացված են ստորև (տարրի տեսակներին համապատասխանության համար տես Տարրերի համարակալման համակարգ և ձևի ֆունկցիաների գրադարան)։

Տարրի տեսակ Ինտեգրման բանաձև Ինտեգրման կետերի թիվ
4 հանգույցով քառանիստ (tet4n) 1 կետով բանաձև 1
10 հանգույցով քառանիստ (tet10n) 4 կետով բանաձև 4
6 հանգույցով եռանկյուն պրիզմա (prism6n) 2 կետով բանաձև 2
15 հանգույցով եռանկյուն պրիզմա (prism15n) 9 կետով բանաձև 9
8 հանգույցով վեցանիստ (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20 հանգույցով վեցանիստ (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4 հանգույցով քառանկյուն (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8 հանգույցով քառանկյուն (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3 հանգույցով եռանկյուն (tri3n) 1 կետով բանաձև 1
6 հանգույցով եռանկյուն (tri6n) 3 կետով բանաձև 3

Վեցանիստ, քառանկյուն և գծային տարրերի համար վերցվում է յուրաքանչյուր առանցքի Gauss-Legendre բանաձևերի թենզորային արտադրյալը։ Եռանկյուն, քառանիստ և եռանկյուն պրիզմա տարրերի համար կիրառվում են սիմպլեքսային ձևերին համապատասխան հատուկ բանաձևեր՝ կետերի դասավորությամբ, որը բազմանդամները ճշգրիտ ինտեգրում է հենց համապատասխան ձևի վրա։

Կիրառում տարրային ինտեգրման մեջ

Տարրային ինտեգրման համար բնական կոորդինատները \(\boldsymbol{r}\) օգտագործվում են որպես ստանդարտ տիրույթի կոորդինատներ (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), իսկ ֆիզիկական կոորդինատների արտապատկերումը տրվում է հանգույցային կոորդինատների՝ ձևի ֆունկցիաներով ինտերպոլացմամբ։ Ըստ հղման կոնֆիգուրացիայի ընտրության (Ինկրեմենտային վերլուծության շրջանակ) կիրառվում են հետևյալ տարբերակները։

Total Lagrange մեթոդ (ինտեգրում հղման \(\Omega^e_0\) կոնֆիգուրացիայում)՝ արտապատկերումն ու Յակոբիանը տրվում են

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

և տարրի ներքին ուժն ու կոշտության մատրիցը մոտարկվում են՝

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

։ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) մեծությունները բոլորը գնահատվում են \(\boldsymbol{r}_i\) ինտեգրման կետում։

Updated Lagrange մեթոդ (ինտեգրում ընթացիկ \(\Omega^e\) կոնֆիգուրացիայում)՝ արտապատկերումն ու Յակոբիանը տրվում են

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

և

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

տեսքով։

Երկու ձևակերպումների միակ տարբերությունն այն է, որ արտապատկերման մուտքային հանգույցային կոորդինատներն են \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) կամ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\), իսկ ինտեգրման կետերը, կշիռները և ինտեգրման կետերի ցիկլի կառուցվածքը նույնն են։

Լրիվ և նվազեցված կարգի ինտեգրում

Ինտեգրումը, որն օգտագործում է ինտեգրման այնքան կետ, որ ինտեգրվող ֆունկցիայի բազմանդամային կարգը հնարավոր լինի ճշգրիտ ինտեգրել, կոչվում է լրիվ ինտեգրում, իսկ մեկ աստիճանով ավելի քիչ ինտեգրման կետերով տարբերակը՝ նվազեցված կարգի ինտեգրում։ Նվազեցված ինտեգրումն օգտագործվում է սահքի և ծավալային կողպումը մեղմելու համար, սակայն պահանջում է կեղծ դեֆորմացիոն ռեժիմների, օրինակ՝ ավազե ժամացույցի ռեժիմների, կառավարում։ Յուրաքանչյուր տարրի ինտեգրման կետերի թվի և լրիվ/նվազեցված ինտեգրման ընտրությունը քննարկվում է Տարրերի համարակալման համակարգ և ձևի ֆունկցիաների գրադարան բաժնից սկսած և Բարձր արդյունավետության տարրերի ձևակերպումներ բաժնում։

Առնչվող թեմաներ