Անցնել պարունակությանը

Եռաչափ պինդ մարմնի տարրերի ձևի ֆունկցիաներ

Այս գլխում ամփոփվում են Ձևի ֆունկցիաները և վերջավոր տարրերի մոտարկումը բաժնում ներմուծված \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ձևի ֆունկցիաների բնական կոորդինատային համակարգերը և բացահայտ տեսքերը՝ FrontISTR-ի շարունակական միջավայրի վերլուծության մեջ օգտագործվող եռաչափ պինդ մարմնի տարրերի համար։ Դիտարկվում են վեց տիպ՝ առաջին/երկրորդ կարգի քառանիստներ (341, 342), առաջին/երկրորդ կարգի եռանկյուն պրիզմաներ (351, 352) և առաջին/երկրորդ կարգի վեցանիստներ (361, 362)։ HEC-MW ցանցի ձևաչափում հանգույցների դասավորության և նիստերի համարների համար տես ֆունկցիաների տեղեկատուի Տարրերի գրադարանը։

Այս ձևի ֆունկցիաներից և Յակոբիանի որոշիչից տարրային ինտեգրումը կազմելու ընթացակարգը հետևում է Թվային ինտեգրում բաժնին։ 361-ի B-bar, F-bar և անհամատեղելի ձևակերպումները, ինչպես նաև հեծանային և թաղանթային տարրերի ձևի ֆունկցիաները քննարկվում են Ընդլայնված տարրային ձևակերպումներ բաժնում։

Բնական կոորդինատային համակարգ և ներքին հանգույցների դասավորություն

Ձևի ֆունկցիաները սահմանվում են յուրաքանչյուր տարրի բնական \(\boldsymbol{r}\) կոորդինատներում։ Եռաչափ պինդ մարմնի տարրերի համար, կախված տարրի ձևից, օգտագործվում են բնական կոորդինատների հետևյալ երեք համակարգերը։

  • Վեցանիստներ (361, 362)՝ \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\)։
  • Քառանիստներ (341, 342)՝ ծավալային կոորդինատներ \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), որտեղ \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) և \(L_i \ge 0\)։ Որպես անկախ փոփոխականներ վերցվում է \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), իսկ \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\)։
  • Եռանկյուն պրիզմաներ (351, 352)՝ հիմքի եռանկյան ծավալային կոորդինատները \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) համակցվում են առանցքային \(\zeta \in [-1, 1]\) կոորդինատի հետ՝ ստանալով \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)։ Օժանդակ \(a = 1 - \xi - \eta\) մեծությունն օգտագործվում է որպես հիմքի երրորդ ծավալային կոորդինատ։

Առաջին կարգի տարրերի համար տարրի հանգույցների համարակալումը HEC-MW մուտքային ձևաչափում և ներքին ձևաչափում համընկնում է։ Երկրորդ կարգի տարրերի դեպքում կողերի միջանկյալ հանգույցների դասավորության կանոնները երկու ձևաչափերում տարբեր են։ FrontISTR-ը որպես մուտք ընդունում է HEC-MW ձևաչափը (անկյունային հանգույցներից հետո միջանկյալ հանգույցները թվարկվում են կողերի 1-2, 2-3, … հերթականությամբ), մինչդեռ տարրերի գրադարանի ձևի ֆունկցիաները իրագործված են հանգույցների այլ դասավորության ենթադրությամբ։

Երկու ձևաչափերի տարբերությունը վերացվում է ցանցը կարդալուց անմիջապես հետո կանչվող hecmw2fstr_mesh_conv-ի միջոցով, որը յուրաքանչյուր տարրի հանգույցները վերադասավորում է։ Եռաչափ պինդ մարմնի տարրերից փոխակերպվում են հետևյալ երկու տիպերը։

Տարրի տիպ Փոխակերպման աղյուսակ Նկարագրություն
342 (երկրորդ կարգի քառանիստ) Table342 10 հանգույցները վերադասավորում է որպես \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (երկրորդ կարգի եռանկյուն պրիզմա) Table352 15 հանգույցները վերադասավորում է որպես \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Քանի որ վերադասավորումն անմիջապես կատարվում է տարրի կապակցվածության տվյալները պահող զանգվածի վրա, տարրերի գրադարանի հետագա բոլոր կանչերն օգտագործում են FrontISTR-ի ներքին հանգույցների դասավորությունը։ Երկրորդ կարգի վեցանիստ 362 տարրի համար փոխակերպման աղյուսակ չկա, քանի որ HEC-MW մուտքային ձևաչափի և FrontISTR-ի ներքին ձևաչափի միջանկյալ հանգույցների դասավորությունները համընկնում են։ Արդյունքները դուրս գրելիս կանչվում է հակադարձ fstr2hecmw_mesh_conv փոխակերպումը, որը հանգույցների դասավորությունը վերադարձնում է HEC-MW ձևաչափին, ուստի օգտվողը թե՛ մուտքի, թե՛ ելքի դեպքում պետք է հաշվի առնի միայն HEC-MW ձևաչափը։ Ստորև բերված ձևի ֆունկցիաներում հանգույցների համարները համապատասխանում են փոխակերպումից հետո FrontISTR-ի ներքին ձևաչափին։

Առաջին կարգի տարրերի ձևի ֆունկցիաներ

Առաջին կարգի քառանիստ տարրի (341) ձևի ֆունկցիաները հենց ծավալային կոորդինատներն են։

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Առաջին կարգի եռանկյուն պրիզմայի (351) ձևի ֆունկցիաները հիմքի եռանկյան գծային ձևի ֆունկցիաների (\(a, \xi, \eta\)) և առանցքային գծային ձևի ֆունկցիաների (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) արտադրյալներն են։

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Առաջին կարգի վեցանիստ տարրի (361) ձևի ֆունկցիաները երեք առանցքային ուղղությունների գծային ձևի ֆունկցիաների տենզորական արտադրյալն են։

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Այստեղ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\)-ն հանգույց \(\alpha\)-ի բնական կոորդինատների արժեքներն են (յուրաքանչյուր բաղադրիչը \(\pm 1\) է)։

Երկրորդ կարգի տարրերի ձևի ֆունկցիաներ

Երկրորդ կարգի քառանիստ տարրի (342) ձևի ֆունկցիաները բաժանվում են չորս անկյունային և վեց կողային միջանկյալ հանգույցների։

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Միջանկյալ 5–10 հանգույցները համապատասխանաբար համապատասխանում են 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 և 3-4 կողերի միջնակետերին։

Երկրորդ կարգի եռանկյուն պրիզմայի (352) ձևի ֆունկցիաները կազմված են վեց անկյունային հանգույցից, եռանկյուն նիստերի կողերի վեց միջանկյալ հանգույցից և առանցքային կողերի երեք միջանկյալ հանգույցից։

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Միջանկյալ 7–9 հանգույցները համապատասխանում են ստորին եռանկյան (\(\zeta = -1\)) կողերի միջնակետերին, 10–12-ը՝ վերին եռանկյան (\(\zeta = +1\)) կողերի միջնակետերին, իսկ 13–15-ը՝ առանցքային կողերի միջնակետերին։

Երկրորդ կարգի վեցանիստ տարրը (362) Serendipity ընտանիքի 20-հանգույցանոց տարր է։ Հանգույց \(\alpha\)-ի բնական կոորդինատների արժեքները նշանակենք \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\)։ Անկյունային հանգույցների համար (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), յուրաքանչյուր բաղադրիչը \(\pm 1\) է)

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Կողերի միջանկյալ հանգույցների համար (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), բնական երեք կոորդինատներից մեկը \(0\) է, իսկ մյուս երկուսը՝ \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\) ունեցող հանգույցների դեպքում (կողի ուղղությունը \(\xi\) առանցքով է)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Այն միջանկյալ հանգույցների համար, որոնց կողի ուղղությունը \(\eta\) կամ \(\zeta\) առանցքով է, ձևը տրվում է համանմանորեն՝ համապատասխան բնական կոորդինատը վերացնելով քառակուսային անդամով։

Առնչվող թեմաներ