Անցնել պարունակությանը

Translation update pending

The Armenian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Ընդլայնված տարրային ձևակերպումներ

Եռաչափ պինդ մարմնի տարրերի ձևակերպումը բաժնում ներկայացված տեղաշարժի վրա հիմնված ստանդարտ ձևակերպումը գրեթե չսեղմվող նյութերի կամ ծռմամբ գերակշռող բարակապատ կառուցվածքների դեպքում կարող է ցուցաբերել անհիմն մեծ կոշտություն, որը կոչվում է կողպում (locking)՝ ծավալային կամ սահքային կողպում։ Դրանից խուսափելու համար FrontISTR-ը տրամադրում է B-bar և F-bar մեթոդները, որոնք փոխարինում են միայն B մատրիցի կամ դեֆորմացիայի գրադիենտի ծավալային մասը, անհամատեղելի տարրեր՝ ներքին ազատության աստիճաններով, u-p խառը տարրեր՝ ճնշումը որպես անկախ անհայտ դաշտ, ինչպես նաև MITC թաղանթային և հեծանային տարրեր՝ թիթեղային ու հեծանային կառուցվածքների համար։

Այս գլխում այդ ընդլայնված և կառուցվածքային տարրերի ձևակերպումները ներկայացվում են ըստ տարրի տեսակի։

B-bar մեթոդ

Երբ 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստ տարրն օգտագործվում է գրեթե չսեղմվող նյութի համար, մեկ տարրի ներսում դեֆորմացիան հակասում է հաստատուն ծավալի սահմանափակմանը և առաջանում է չափազանց մեծ կոշտություն՝ ծավալային կողպում։ B-bar մեթոդը B մատրիցի այն բաղադրիչները, որոնք նպաստում են ծավալային ընդարձակմանը, փոխարինում է տարրի կենտրոնում գնահատված արժեքներով՝ թուլացնելով ավելորդ սահմանափակումները [Hughes1980]։

Տարրի կենտրոնում \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ձևի ֆունկցիաների տարածական ածանցյալներից հաշվված B մատրիցը նշանակենք \(\bar{\boldsymbol{B}}\), իսկ ինտեգրման \(\boldsymbol{r}\) կետում հաշվված սովորական B մատրիցը՝ \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\)։ Հանգույց \(\alpha\)-ի ազատության \(i\) աստիճանի տեղաշարժ–դեֆորմացիա կապում ծավալային դեֆորմացիայի բաղադրիչներին \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ավելացվում է

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

իսկ սահքային բաղադրիչների \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) համար օգտագործվում է սովորական \(\boldsymbol{B}\)-ն։ Այսպես ստացված B-bar մատրիցով կազմվում են տարրի կոշտությունը և ներքին ուժերի վեկտորը։

FrontISTR-ում այս ձևակերպումը նախատեսված է միայն 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստի համար (տարրի ID 361, տես Տարրերի համարակալման համակարգը) և կիրառելի է փոքր դեֆորմացիաների, Total Lagrange և Updated Lagrange ձևակերպումների դեպքում։

F-bar մեթոդ

Վերջավոր դեֆորմացիաների դեպքում ծավալի փոփոխությունը ոչ գծային կերպով դրսևորվում է դեֆորմացիայի գրադիենտ \(\boldsymbol{F}\)-ի միջոցով, ուստի F-bar մեթոդը [deSouzaNeto1996] B-bar-ին համարժեք ծավալային կողպման կանխումը կատարում է հենց դեֆորմացիայի գրադիենտի մակարդակում։

Տարրի կենտրոնում \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) գնահատված դեֆորմացիայի գրադիենտի ծավալային հարաբերությունը նշանակենք \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), իսկ ինտեգրման կետում՝ \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\)։ Ինտեգրման կետի դեֆորմացիայի գրադիենտը փոխարինվում է

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

արտահայտությամբ։ Դրա արդյունքում \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), և ամբողջ տարրում ծավալային հարաբերությունը հավասարվում է տարրի կենտրոնի արժեքին։ Լարումների գնահատման և դեֆորմացիա–տեղաշարժ մատրիցի կառուցման համար օգտագործվում է փոխարինված \(\bar{\boldsymbol{F}}\)-ը, իսկ տարրի կոշտության համար շոշափող մատրիցը կազմվում է՝ ներառելով այս փոխարինումից առաջացող լրացուցիչ անդամները։

FrontISTR-ում F-bar մեթոդը իրագործված է միայն 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստի համար և կիրառելի է փոքր դեֆորմացիաների, ինչպես նաև Total Lagrange / Updated Lagrange ոչ գծային երկրաչափական ձևակերպումների դեպքում։

Անհամատեղելի տարրեր

8-հանգույցանոց գծային վեցանիստ տարրը չունի ծռման ռեժիմի համար անհրաժեշտ դեֆորմացիոն ազատության աստիճանները և ծռմամբ գերակշռող խնդիրներում ցուցաբերում է ծռման կողպում։ Անհամատեղելի տարրը [Taylor1976] այս թերությունը լրացնելու համար տարրի ներսում ներմուծում է տեղաշարժի լրացուցիչ ռեժիմներ։

Տարրի հանգուցային տեղաշարժերից \(\boldsymbol{u}^e\) բացի ներմուծվում են միայն տարրի ներսում գոյություն ունեցող անհամատեղելի ռեժիմների \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ազատության աստիճանները՝ յուրաքանչյուր տարրի համար 3 ուղղություն × 3 ռեժիմ, և տեղաշարժի դաշտը մոտարկվում է

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

արտահայտությամբ։ Բնական \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) կոորդինատներում անհամատեղելի ձևի ֆունկցիաները վերցվում են որպես \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\)։ Դրանք տարրի սահմանին շարունակականություն չեն երաշխավորում, սակայն տարրի ներսում ավելացնում են տարածք, որն ունակ է վերարտադրել ծռման ռեժիմի դեֆորմացիաները։

Տարրի կոշտությունը կազմվում է արտաքին և ներքին ազատության աստիճանների բլոկային բաժանման ձևով՝

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Այն կազմելուց հետո կատարվում է ստատիկ կոնդենսացիա՝ ներքին ազատության աստիճանները վերացնելով \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) արտահայտությամբ, և ստացվում է միայն արտաքին ազատության աստիճանների տարրային կոշտությունը՝

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

որը փոխանցվում է գլոբալ հավաքմանը։

FrontISTR-ում անհամատեղելի տարրը իրագործված է միայն 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստի (C3D8IC) համար և կիրառելի է փոքր դեֆորմացիաների, Total Lagrange և Updated Lagrange ձևակերպումների դեպքում։

U-P խառը տարրեր

Մինչ B-bar և F-bar մեթոդները ուղղում են ծավալային բաղադրիչը տեղաշարժի վրա հիմնված շրջանակի ներսում, u-p խառը (U-P) տարրը խառը ձևակերպում է [Bathe1996], որտեղ ճնշում \(\lambda\)-ն ներմուծվում է որպես տեղաշարժից անկախ անհայտ դաշտ։ Գրեթե չսեղմվող նյութերի դեպքում (օրինակ՝ Պուասոնի գործակիցը 0.5-ին շատ մոտ ռետինանման նյութեր կամ պլաստիկ դեֆորմացիայից հետո մետաղներ) միայն տեղաշարժի դաշտով հաստատուն ծավալի սահմանափակումը բավարարելու փորձը առաջացնում է ծավալային կողպում, իսկ ճնշումը որպես անկախ փոփոխական ընդունելը թուլացնում է այդ սահմանափակումը։

Լարումը բաժանվում է շեղման բաղադրիչի և ճնշման՝

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

որտեղ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\)-ը շեղման առաձգականության մատրիցն է, որը ստացվում է առաձգականության մատրիցից՝ հանելով ծավալային մասը, որը համեմատական է ծավալային մոդուլ \(K\)-ին։ Ճնշում \(\lambda\)-ն և ծավալային դեֆորմացիան \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) կապվում են սեղմելիության \(\alpha^{-1} = 1/K\) միջոցով սահմանված հետևյալ սահմանափակմամբ՝

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Տեղաշարժ \(\boldsymbol{u}\)-ն և ճնշում \(\lambda\)-ն որպես անհայտներ վերցնող դիսկրետացումից ստացվում է տարրի համատեղ համակարգը՝

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Այստեղ \(\mathbf{K}_{uu}\)-ը ներառում է շեղման առաձգական բաղադրիչը և (վերջավոր դեֆորմացիաների դեպքում) երկրաչափական կոշտությունը, \(\mathbf{K}_{up}\)-ը ծավալային դեֆորմացիան ճնշման հետ կապող մատրիցն է, իսկ \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\)-ը ճնշման կայունացման անդամն է (\(\boldsymbol{N}_p\)-ը ճնշման ձևի ֆունկցիան է)։ Քանի որ ճնշման ազատության աստիճանները սահմանափակված են տարրի ներսում,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ստատիկ կոնդենսացիայով ստացվում է վերևի տեսքը, և միայն արտաքին (տեղաշարժային) ազատության աստիճանների արդյունավետ կոշտությունն է փոխանցվում գլոբալ հավաքմանը։

FrontISTR-ում U-P տարրը իրագործված է միայն 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստի համար՝ յուրաքանչյուր տարրի մեկ ճնշման ազատության աստիճանով (հաստատուն տարրի ներսում)։ Այն կիրառելի է փոքր դեֆորմացիաների, Total Lagrange և Updated Lagrange ձևակերպումների դեպքում։ Updated Lagrange-ում շեղման լարումը թարմացվում է օբյեկտիվ լարման արագությամբ (Jaumann / Hughes-Winget տիպ), այնուհետև ճնշման \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) անդամը կիրառվում է ստատիկ կոնդենսացիայով որոշված արժեքից։

Թաղանթային տարրեր

Բարակապատ թիթեղային և թաղանթային կառուցվածքների համար օգտագործվում են Reissner-Mindlin թիթեղ-թաղանթի տեսության վրա հիմնված թաղանթային տարրեր։ Ցածր կարգի տեղաշարժային թիթեղ-թաղանթային տարրերում հաստության փոքրացման հետ լայնական սահքային դեֆորմացիան գերագնահատվում է ծավալային կողպմանը նման մեխանիզմով (սահքային կողպում), և ծռման ռեժիմի նկատմամբ կոշտությունը անհամաչափ աճում է։ MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) մեթոդը [Dvorkin1984] [Bathe1986] այս խնդրից խուսափում է՝ միայն սահքային դեֆորմացիայի բաղադրիչները կրկին նմուշառելով տարրի ներսում նախապես որոշված կապման (tying) կետերում և ստացված արժեքները կրկին ինտերպոլացնելով տարրի ներսում։

MITC թաղանթային տարրի հանգույցները կոր մակերևույթի միջին մակերեսի հանգույցներն են, և յուրաքանչյուր հանգույց ունի 6 ազատության աստիճան՝ տեղաշարժի 3 բաղադրիչ և միջին մակերեսի նորմալի շուրջ պտույտի 3 բաղադրիչ։ Տարրի կոշտությունը գնահատվում է միջին մակերեսի բնական կոորդինատներով և հաստության ուղղությամբ ընդհանուր եռաչափ Գաուսյան ինտեգրմամբ, իսկ թիթեղի հաստությունը \(h\) տրվում է որպես տարրի հատկություն որոշիչ օրենքի հաշվարկի ժամանակ։

FrontISTR-ը տրամադրում է միջին մակերեսի մեկ շերտով MITC3 (տարրի ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), ինչպես նաև հաստության ուղղությամբ երկու շերտ հանգույցներով շերտավոր թաղանթային տարրեր՝ MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 հանգույց, յուրաքանչյուր հանգույցում 3 ազատության աստիճան) և MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 հանգույց, յուրաքանչյուր հանգույցում 3 ազատության աստիճան)։ Շերտավոր թաղանթային տարրերում հանգուցային ազատության աստիճանները միայն տեղաշարժի 3 բաղադրիչներն են, իսկ պտտական ազատության աստիճաններին համարժեք ծռման ռեժիմը ներկայացվում է երկշերտ դասավորությամբ։

Հեծանային տարրեր

Գծային կառուցվածքային անդամները, օրինակ՝ հեծաններն ու շրջանակային կառուցվածքները, դիսկրետացվում են հեծանային տարրերով։ Հեծանային տարրերը երկարացումը, ծռումը և ոլորումը ներկայացնում են միայն հեծանի առանցքի վրա գտնվող հանգույցների տեղաշարժերով ու պտույտներով, իսկ հատույթի ներսի դեֆորմացիան ներկայացվում է հատույթի հաստատուններով։

Յուրաքանչյուր հեծանային հանգույց ունի վեց ազատության աստիճան՝ երեք տեղաշարժային և երեք պտտական բաղադրիչ։ Տարրի կոշտությունը ստացվում է տարրի առանցքով և հատույթի տվյալներում տրված հղման առանցքով սահմանված տեղային կոորդինատային համակարգում երկարացման, երկու ուղղությամբ ծռման և ոլորման համար փակ տեսքով կոշտության մատրիցներ կազմելով և դրանք գլոբալ կոորդինատային համակարգ փոխակերպելով։ Հատույթի մակերեսը \(A\), տեղային \(y\) և \(z\) առանցքների նկատմամբ հատույթի իներցիայի երկրորդ մոմենտները \(I_y\) և \(I_z\), և ոլորման հաստատունը տրվում են հատույթի տվյալներով. նյութի Յանգի մոդուլի \(E\) և Յանգի մոդուլից ու Պուասոնի գործակցից ստացվող սահքի մոդուլի \(G\) հետ միասին դրանք կազմում են համապատասխան կոշտության գործակիցները։

Ծռման համար հասանելի է երկու ձևակերպում՝ Bernoulli-Euler հեծանը, որի դեպքում ենթադրվում է, որ դեֆորմացիայից հետո հատույթը մնում է հեծանի առանցքին ուղղահայաց և սահքի դեֆորմացիան անտեսվում է, և Timoshenko հեծանը, որը հաշվի է առնում սահքի դեֆորմացիան։ Երկուսն էլ կարելի է ընտրել 611 երկհանգույց հեծանային տարրի համար, իսկ լռելյայնը Bernoulli-Euler հեծանն է։ Timoshenko հեծանի դեպքում, երբ տարրի երկարությունը \(L\) է, սահքի դեֆորմացիայի ներդրումը ներկայացնող գործակիցները

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

ներառվում են համապատասխան ծռման հարթությունների կոշտության գործակիցներում։ Օրինակ՝ տեղային \(y\) ուղղությամբ ճկման կոշտության գործակիցը \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\) է։ Այստեղ \(A_s\)-ը սահքի մակերեսն է։ Քանի որ FrontISTR-ի հատույթի տվյալներում \(A_s\)-ը առանձին չի տրվում, օգտագործվում է \(A_s = A\)։ Սա համարժեք է սահքի ուղղման գործակիցը 1 ընդունելուն։ Եթե \(\Phi_y = \Phi_z = 0\), ստացվում է Bernoulli-Euler հեծանի կոշտությունը։

641 տարրը խառը ազատության աստիճաններով տարր է, որը հեծանը ներկայացնում է տեղաշարժային ազատության աստիճաններով երկու հանգույցով և պտտական ազատության աստիճաններով երկու հանգույցով, և ձևակերպված է որպես Bernoulli-Euler հեծան։

Առնչվող թեմաներ