Անցնել պարունակությանը

Ընդլայնված տարրային ձևակերպումներ

Եռաչափ պինդ մարմնի տարրերի ձևակերպումը բաժնում ներկայացված տեղաշարժի վրա հիմնված ստանդարտ ձևակերպումը գրեթե չսեղմվող նյութերի կամ ծռմամբ գերակշռող բարակապատ կառուցվածքների դեպքում կարող է ցուցաբերել անհիմն մեծ կոշտություն, որը կոչվում է կողպում (locking)՝ ծավալային կամ սահքային կողպում։ Դրանից խուսափելու համար FrontISTR-ը տրամադրում է B-bar և F-bar մեթոդները, որոնք փոխարինում են միայն B մատրիցի կամ դեֆորմացիայի գրադիենտի ծավալային մասը, անհամատեղելի տարրեր՝ ներքին ազատության աստիճաններով, u-p խառը տարրեր՝ ճնշումը որպես անկախ անհայտ դաշտ, ինչպես նաև MITC թաղանթային և հեծանային տարրեր՝ թիթեղային ու հեծանային կառուցվածքների համար։

Այս գլխում այդ ընդլայնված և կառուցվածքային տարրերի ձևակերպումները ներկայացվում են ըստ տարրի տեսակի։

B-bar մեթոդ

Երբ 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստ տարրն օգտագործվում է գրեթե չսեղմվող նյութի համար, մեկ տարրի ներսում դեֆորմացիան հակասում է հաստատուն ծավալի սահմանափակմանը և առաջանում է չափազանց մեծ կոշտություն՝ ծավալային կողպում։ B-bar մեթոդը B մատրիցի այն բաղադրիչները, որոնք նպաստում են ծավալային ընդարձակմանը, փոխարինում է տարրի կենտրոնում գնահատված արժեքներով՝ թուլացնելով ավելորդ սահմանափակումները [Hughes1980]։

Տարրի կենտրոնում \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ձևի ֆունկցիաների տարածական ածանցյալներից հաշվված B մատրիցը նշանակենք \(\bar{\boldsymbol{B}}\), իսկ ինտեգրման \(\boldsymbol{r}\) կետում հաշվված սովորական B մատրիցը՝ \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\)։ Հանգույց \(\alpha\)-ի ազատության \(i\) աստիճանի տեղաշարժ–դեֆորմացիա կապում ծավալային դեֆորմացիայի բաղադրիչներին \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ավելացվում է

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

իսկ սահքային բաղադրիչների \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) համար օգտագործվում է սովորական \(\boldsymbol{B}\)-ն։ Այսպես ստացված B-bar մատրիցով կազմվում են տարրի կոշտությունը և ներքին ուժերի վեկտորը։

FrontISTR-ում այս ձևակերպումը նախատեսված է միայն 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստի համար (տարրի ID 361, տես Տարրերի համարակալման համակարգը) և կիրառելի է փոքր դեֆորմացիաների, Total Lagrange և Updated Lagrange ձևակերպումների դեպքում։

F-bar մեթոդ

Վերջավոր դեֆորմացիաների դեպքում ծավալի փոփոխությունը ոչ գծային կերպով դրսևորվում է դեֆորմացիայի գրադիենտ \(\boldsymbol{F}\)-ի միջոցով, ուստի F-bar մեթոդը [deSouzaNeto1996] B-bar-ին համարժեք ծավալային կողպման կանխումը կատարում է հենց դեֆորմացիայի գրադիենտի մակարդակում։

Տարրի կենտրոնում \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) գնահատված դեֆորմացիայի գրադիենտի ծավալային հարաբերությունը նշանակենք \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), իսկ ինտեգրման կետում՝ \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\)։ Ինտեգրման կետի դեֆորմացիայի գրադիենտը փոխարինվում է

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

արտահայտությամբ։ Դրա արդյունքում \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), և ամբողջ տարրում ծավալային հարաբերությունը հավասարվում է տարրի կենտրոնի արժեքին։ Լարումների գնահատման և դեֆորմացիա–տեղաշարժ մատրիցի կառուցման համար օգտագործվում է փոխարինված \(\bar{\boldsymbol{F}}\)-ը, իսկ տարրի կոշտության համար շոշափող մատրիցը կազմվում է՝ ներառելով այս փոխարինումից առաջացող լրացուցիչ անդամները։

FrontISTR-ում F-bar մեթոդը իրագործված է միայն 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստի համար և կիրառելի է փոքր դեֆորմացիաների, ինչպես նաև Total Lagrange / Updated Lagrange ոչ գծային երկրաչափական ձևակերպումների դեպքում։

Անհամատեղելի տարրեր

8-հանգույցանոց գծային վեցանիստ տարրը չունի ծռման ռեժիմի համար անհրաժեշտ դեֆորմացիոն ազատության աստիճանները և ծռմամբ գերակշռող խնդիրներում ցուցաբերում է ծռման կողպում։ Անհամատեղելի տարրը [Taylor1976] այս թերությունը լրացնելու համար տարրի ներսում ներմուծում է տեղաշարժի լրացուցիչ ռեժիմներ։

Տարրի հանգուցային տեղաշարժերից \(\boldsymbol{u}^e\) բացի ներմուծվում են միայն տարրի ներսում գոյություն ունեցող անհամատեղելի ռեժիմների \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ազատության աստիճանները՝ յուրաքանչյուր տարրի համար 3 ուղղություն × 3 ռեժիմ, և տեղաշարժի դաշտը մոտարկվում է

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

արտահայտությամբ։ Բնական \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) կոորդինատներում անհամատեղելի ձևի ֆունկցիաները վերցվում են որպես \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\)։ Դրանք տարրի սահմանին շարունակականություն չեն երաշխավորում, սակայն տարրի ներսում ավելացնում են տարածք, որն ունակ է վերարտադրել ծռման ռեժիմի դեֆորմացիաները։

Տարրի կոշտությունը կազմվում է արտաքին և ներքին ազատության աստիճանների բլոկային բաժանման ձևով՝

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Այն կազմելուց հետո կատարվում է ստատիկ կոնդենսացիա՝ ներքին ազատության աստիճանները վերացնելով \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) արտահայտությամբ, և ստացվում է միայն արտաքին ազատության աստիճանների տարրային կոշտությունը՝

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

որը փոխանցվում է գլոբալ հավաքմանը։

FrontISTR-ում անհամատեղելի տարրը իրագործված է միայն 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստի (C3D8IC) համար և կիրառելի է փոքր դեֆորմացիաների, Total Lagrange և Updated Lagrange ձևակերպումների դեպքում։

U-P խառը տարրեր

Մինչ B-bar և F-bar մեթոդները ուղղում են ծավալային բաղադրիչը տեղաշարժի վրա հիմնված շրջանակի ներսում, u-p խառը (U-P) տարրը խառը ձևակերպում է [Bathe1996], որտեղ ճնշում \(\lambda\)-ն ներմուծվում է որպես տեղաշարժից անկախ անհայտ դաշտ։ Գրեթե չսեղմվող նյութերի դեպքում (օրինակ՝ Պուասոնի գործակիցը 0.5-ին շատ մոտ ռետինանման նյութեր կամ պլաստիկ դեֆորմացիայից հետո մետաղներ) միայն տեղաշարժի դաշտով հաստատուն ծավալի սահմանափակումը բավարարելու փորձը առաջացնում է ծավալային կողպում, իսկ ճնշումը որպես անկախ փոփոխական ընդունելը թուլացնում է այդ սահմանափակումը։

Լարումը բաժանվում է շեղման բաղադրիչի և ճնշման՝

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

որտեղ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\)-ը շեղման առաձգականության մատրիցն է, որը ստացվում է առաձգականության մատրիցից՝ հանելով ծավալային մասը, որը համեմատական է ծավալային մոդուլ \(K\)-ին։ Ճնշում \(\lambda\)-ն և ծավալային դեֆորմացիան \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) կապվում են սեղմելիության \(\alpha^{-1} = 1/K\) միջոցով սահմանված հետևյալ սահմանափակմամբ՝

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Տեղաշարժ \(\boldsymbol{u}\)-ն և ճնշում \(\lambda\)-ն որպես անհայտներ վերցնող դիսկրետացումից ստացվում է տարրի համատեղ համակարգը՝

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Այստեղ \(\mathbf{K}_{uu}\)-ը ներառում է շեղման առաձգական բաղադրիչը և (վերջավոր դեֆորմացիաների դեպքում) երկրաչափական կոշտությունը, \(\mathbf{K}_{up}\)-ը ծավալային դեֆորմացիան ճնշման հետ կապող մատրիցն է, իսկ \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\)-ը ճնշման կայունացման անդամն է (\(\boldsymbol{N}_p\)-ը ճնշման ձևի ֆունկցիան է)։ Քանի որ ճնշման ազատության աստիճանները սահմանափակված են տարրի ներսում,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ստատիկ կոնդենսացիայով ստացվում է վերևի տեսքը, և միայն արտաքին (տեղաշարժային) ազատության աստիճանների արդյունավետ կոշտությունն է փոխանցվում գլոբալ հավաքմանը։

FrontISTR-ում U-P տարրը իրագործված է միայն 8-հանգույցանոց գծային վեցանիստի համար՝ յուրաքանչյուր տարրի մեկ ճնշման ազատության աստիճանով (հաստատուն տարրի ներսում)։ Այն կիրառելի է փոքր դեֆորմացիաների, Total Lagrange և Updated Lagrange ձևակերպումների դեպքում։ Updated Lagrange-ում շեղման լարումը թարմացվում է օբյեկտիվ լարման արագությամբ (Jaumann / Hughes-Winget տիպ), այնուհետև ճնշման \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) անդամը կիրառվում է ստատիկ կոնդենսացիայով որոշված արժեքից։

Թաղանթային տարրեր

Բարակապատ թիթեղային և թաղանթային կառուցվածքների համար օգտագործվում են Reissner-Mindlin թիթեղ-թաղանթի տեսության վրա հիմնված թաղանթային տարրեր։ Ցածր կարգի տեղաշարժային թիթեղ-թաղանթային տարրերում հաստության փոքրացման հետ լայնական սահքային դեֆորմացիան գերագնահատվում է ծավալային կողպմանը նման մեխանիզմով (սահքային կողպում), և ծռման ռեժիմի նկատմամբ կոշտությունը անհամաչափ աճում է։ MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) մեթոդը [Dvorkin1984] [Bathe1986] այս խնդրից խուսափում է՝ միայն սահքային դեֆորմացիայի բաղադրիչները կրկին նմուշառելով տարրի ներսում նախապես որոշված կապման (tying) կետերում և ստացված արժեքները կրկին ինտերպոլացնելով տարրի ներսում։

MITC թաղանթային տարրի հանգույցները կոր մակերևույթի միջին մակերեսի հանգույցներն են, և յուրաքանչյուր հանգույց ունի 6 ազատության աստիճան՝ տեղաշարժի 3 բաղադրիչ և միջին մակերեսի նորմալի շուրջ պտույտի 3 բաղադրիչ։ Տարրի կոշտությունը գնահատվում է միջին մակերեսի բնական կոորդինատներով և հաստության ուղղությամբ ընդհանուր եռաչափ Գաուսյան ինտեգրմամբ, իսկ թիթեղի հաստությունը \(h\) տրվում է որպես տարրի հատկություն որոշիչ օրենքի հաշվարկի ժամանակ։

FrontISTR-ը տրամադրում է միջին մակերեսի մեկ շերտով MITC3 (տարրի ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), ինչպես նաև հաստության ուղղությամբ երկու շերտ հանգույցներով շերտավոր թաղանթային տարրեր՝ MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 հանգույց, յուրաքանչյուր հանգույցում 3 ազատության աստիճան) և MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 հանգույց, յուրաքանչյուր հանգույցում 3 ազատության աստիճան)։ Շերտավոր թաղանթային տարրերում հանգուցային ազատության աստիճանները միայն տեղաշարժի 3 բաղադրիչներն են, իսկ պտտական ազատության աստիճաններին համարժեք ծռման ռեժիմը ներկայացվում է երկշերտ դասավորությամբ։

Հեծանային տարրեր

Գծային կառուցվածքային անդամները, ինչպիսիք են հեծաններն ու շրջանակները, դիսկրետացվում են հեծանային տարրերով։ FrontISTR-ը օգտագործում է Timoshenko հեծանի ձևակերպումը, որը հաշվի է առնում սահքային դեֆորմացիան և թե՛ ծռումը, թե՛ սահքը նկարագրում է որպես տեղաշարժային և պտտական ազատության աստիճանների ֆունկցիաներ։

Հեծանային տարրի յուրաքանչյուր հանգույց ունի 6 ազատության աստիճան՝ տեղաշարժի 3 բաղադրիչ և առանցքի ու լայնական առանցքների շուրջ պտույտի 3 բաղադրիչ։ Տարրի կոշտությունը գնահատվում է հեծանի առանցքային ուղղությամբ միաչափ թվային ինտեգրմամբ։ Լայնական հատույթի մակերեսը \(A\) և ծռման ու ոլորման ուղղությունների մակերեսի երկրորդ մոմենտը \(I\) տրվում են որպես հեծանի հատույթի հաստատուններ՝ տարրի հատկություններ, և նյութի Յունգի մոդուլ \(E\)-ի ու սահքի մոդուլ \(G\)-ի հետ կազմում են ձգման, ծռման, ոլորման և սահքի կոշտության գործակիցները։

FrontISTR-ը տրամադրում է 2-հանգույցանոց ուղիղ հեծանային տարր (տարրի ID 611) և 4-հանգույցանոց քառանիստ պինդ մարմին–հեծան հիբրիդային տարր, որը ներկայացվում է 3 հանգույցով (641, խառը ազատության աստիճանների համար)։

Առնչվող թեմաներ