Շարժում, դեֆորմացիա և դեֆորմացիայի չափեր¶

Հղման և ընթացիկ կոնֆիգուրացիաներ¶

Կոնֆիգուրացիաների սահմանում¶

Ֆիզիկական մեծությունները նկարագրելիս տարբերելու համար, թե «որ պահի ձևն» է ընդունվում որպես հղում, այս ձեռնարկում օգտագործվում են երկու կոնֆիգուրացիաներ։

Հղման կոնֆիգուրացիա (reference configuration)՝ վերլուծության սկզբում (ժամանակ \(0\)) չդեֆորմացված ձևը (կոչվում է նաև սկզբնական կոնֆիգուրացիա)։ Հղման կոնֆիգուրացիայի կետը ներկայացվում է նյութական կոորդինատով \(\boldsymbol{X}\), ծավալը՝ \(V\), իսկ մակերեսը՝ \(S\)։
Ընթացիկ կոնֆիգուրացիա (current configuration)՝ \(t\) պահին դեֆորմացված ձևը։ Ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի կետը ներկայացվում է տարածական կոորդինատով \(\boldsymbol{x}\), ծավալը՝ \(v\), իսկ մակերեսը՝ \(s\)։

Շարժումը ներկայացվում է որպես այս երկու կոնֆիգուրացիաների միջև \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) արտապատկերում, իսկ տեղաշարժը սահմանվում է \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)։

Կոնֆիգուրացիայից կախված նշանագրության կանոններ (մեծատառ/փոքրատառ)¶

Ֆիզիկական մեծության պատկանելությունը կոնֆիգուրացիային տարբերակվում է նշանի տառաչափով։

Հղման կոնֆիգուրացիային պատկանող մեծությունները գրվում են մեծատառերով (օրինակ՝ \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))։
Ընթացիկ կոնֆիգուրացիային պատկանող մեծությունները գրվում են փոքրատառերով (օրինակ՝ \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))։
Երկու կոնֆիգուրացիաների հետ կապված մեծությունների, օրինակ՝ առաջին Piola-Kirchhoff լարման \(\boldsymbol{P}\)-ի համար օգտագործվում է ընդունված նշանագրությունը, և այն յուրաքանչյուր դեպքում բացատրվում է տեքստում։
Փոքր դեֆորմացիաների տեսությունում երկու կոնֆիգուրացիաների տարբերությունը վերանում է, ուստի օգտագործվում են միայն փոքրատառ նշաններ (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\))։

Հղման և ընթացիկ կոնֆիգուրացիաների գրադիենտներ¶

Տարածական ածանցյալի նշանն ու իմաստը տարբեր են՝ կախված նրանից, թե որ կոնֆիգուրացիայի նկատմամբ է այն հաշվարկվում։

Հղման կոնֆիգուրացիայի գրադիենտ \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)՝ գրադիենտ նյութական կոորդինատներով։ Օրինակ՝ \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)։
Ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի գրադիենտ \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)՝ գրադիենտ տարածական կոորդինատներով։ Օրինակ՝ \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)։

Դրանք կապված են \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) հարաբերությամբ։ Ժամանակային ածանցյալի ընդունված նշանագրության (նյութական ժամանակային ածանցյալ \(\dot{(\cdot)}\)) համար տես Թենզորային նշանագրություն և մաթեմատիկական հիմունքներ։

Շարժման նկարագրություն¶

Շարժման արտապատկերում և նյութական/տարածական նկարագրություններ¶

Եթե անընդհատ միջավայրը դիտարկենք որպես նյութական կետերի բազմություն, որտեղ յուրաքանչյուր կետ պիտակավորված է \(0\) պահին իր \(\boldsymbol{X}\) դիրքով, ապա շարժումը ներկայացվում է \(\phi\) արտապատկերմամբ, որը նյութական \(\boldsymbol{X}\) կետին համապատասխանեցնում է նրա \(\boldsymbol{x}\) դիրքը \(t\) պահին՝

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

տեսքով։ Հղման կոնֆիգուրացիան որպես սկզբնական կոնֆիգուրացիա ընդունելու դեպքում \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\)։

Ըստ անկախ փոփոխականների ընտրության տարբերակվում են երկու նկարագրություններ։

Նյութական նկարագրություն (Lagrange նկարագրություն)՝ ֆիզիկական մեծությունը ներկայացվում է որպես \((\boldsymbol{X}, t)\)-ի ֆունկցիա։ Պինդ մարմինների մեխանիկայում սա բնական ընտրություն է, քանի որ հղման կոնֆիգուրացիան տրված է որպես հաստատուն ձև։
Տարածական նկարագրություն (Euler նկարագրություն)՝ ֆիզիկական մեծությունը ներկայացվում է որպես \((\boldsymbol{x}, t)\)-ի ֆունկցիա։ Ստանդարտորեն օգտագործվում է հեղուկների մեխանիկայում։

FrontISTR-ի կառուցվածքային վերլուծությունը հիմնականում հիմնված է նյութական նկարագրության վրա, սակայն Updated Lagrange մեթոդում ընթացիկ կոնֆիգուրացիան օգտագործվում է որպես նոր հղման կոնֆիգուրացիա, ուստի համատեղ օգտագործվում են նաև տարածական նկարագրության մեծություններ։

Տեղաշարժ, արագություն և արագացում¶

Ինչպես սահմանվեց նախորդ բաժնում, տեղաշարժը \(\boldsymbol{u}\) սահմանվում է \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)։ Դրա մեծության վերաբերյալ ենթադրություն չի արվում, և դիտարկվում են նաև վերջավոր դեֆորմացիաները։ Արագության և արագացման վեկտորները սահմանվում են որպես \(\boldsymbol{u}\)-ի նյութական ժամանակային ածանցյալներ՝ նյութական կետը ֆիքսած վիճակում՝

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

։

Դեֆորմացիայի գրադիենտ և դեֆորմացիայի թենզորներ¶

Դեֆորմացիայի գրադիենտի թենզոր¶

Վերջավոր դեֆորմացիաների անընդհատ միջավայրի մեխանիկայի հիմնական մեծությունն է դեֆորմացիայի գրադիենտի թենզորը \(\boldsymbol{F}\)։ Այն գծային արտապատկերում է, որը հղման կոնֆիգուրացիայի \(d\boldsymbol{X}\) անվերջ փոքր հատվածը տեղափոխում է ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի \(d\boldsymbol{x}\) անվերջ փոքր հատվածի, և սահմանվում է որպես շարժման արտապատկերման գրադիենտ նյութական կոորդինատներով՝

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\))։ Չդեֆորմացված վիճակում \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\)։ \(\boldsymbol{F}\)-ը լայնորեն օգտագործվում է դեֆորմացիաների և լարումների սահմանումներում ու ֆիզիկական մեծությունները կոնֆիգուրացիաների միջև փոխակերպելիս։

Ծավալի փոփոխության հարաբերակցություն¶

Հղման կոնֆիգուրացիայի \(dV\) անվերջ փոքր ծավալի և ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի \(dv\) անվերջ փոքր ծավալի հարաբերությունը կոչվում է ծավալի փոփոխության հարաբերակցություն \(J\) և տրվում է՝

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

։ Անընդհատ միջավայրի շրջելիությունից ենթադրվում է \(J > 0\)։ Զանգվածի պահպանման օրենքը գրվում է \(\rho_0 = J\rho\)։

Աջ և ձախ Cauchy-Green դեֆորմացիայի թենզորներ¶

Քանի որ դեֆորմացիայի գրադիենտը \(\boldsymbol{F}\) ներառում է կոշտ մարմնի պտույտը, բուն դեֆորմացիան չափելու համար օգտագործվում են պտույտից անկախ մեծություններ։ Աջ Cauchy-Green դեֆորմացիայի թենզորը \(\boldsymbol{C}\) (հղման կոնֆիգուրացիա) և ձախ Cauchy-Green դեֆորմացիայի թենզորը \(\boldsymbol{b}\) (ընթացիկ կոնֆիգուրացիա) սահմանվում են՝

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

։ Երկուսն էլ համաչափ թենզորներ են և ունեն նույն սեփական արժեքները (գլխավոր երկարացման հարաբերությունների քառակուսիները)։ Հիպերառաձգականության դեֆորմացիոն էներգիայի ֆունկցիաների գլխավոր ինվարիանտները տրվում են դրանց միջոցով։

Դեֆորմացիայի թենզորներ¶

Green-Lagrange դեֆորմացիայի թենզոր¶

Հղման կոնֆիգուրացիայի նկատմամբ դեֆորմացիայի չափը՝ Green-Lagrange դեֆորմացիայի թենզորը \(\boldsymbol{E}\), սահմանվում է՝

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

։ Այն համաչափ թենզոր է, որը նկարագրում է հղման կոնֆիգուրացիայում անվերջ փոքր վեկտորների սկալյար արտադրյալի փոփոխությունը, անփոփոխ է կոշտ մարմնի պտույտների նկատմամբ և չդեֆորմացված վիճակում ունի \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) արժեքը։ Օգտագործելով \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\)՝ ստացվում է

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

տեսքը՝ որպես տեղաշարժի գրադիենտի առաջին և երկրորդ կարգի անդամների գումար, որտեղ երկրորդ կարգի անդամը ներկայացնում է երկրաչափական ոչ գծայնությունը։ Total Lagrange մեթոդում այն օգտագործվում է որպես լարում-դեֆորմացիա զուգորդված \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) զույգ։

Almansi դեֆորմացիայի թենզոր¶

Ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի նկատմամբ դեֆորմացիայի չափը՝ Almansi դեֆորմացիայի թենզորը \(\boldsymbol{e}\), սահմանվում է՝

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

։ Green-Lagrange դեֆորմացիայի հետ այն կապված է \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back) հարաբերությամբ։

Փոքր դեֆորմացիայի թենզոր¶

Երբ տեղաշարժի գրադիենտը փոքր է (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange դեֆորմացիայի երկրորդ կարգի անդամը կարելի է անտեսել։ Բացի այդ, երկու կոնֆիգուրացիաների տարբերությունը վերանում է, և այն հանգում է տարածական կոորդինատներով գրադիենտով գրված փոքր դեֆորմացիայի թենզորին \(\boldsymbol{\varepsilon}\)՝

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR-ի գծային ստատիկ վերլուծությունը, մոդալ վերլուծությունը, հաճախականային արձագանքի վերլուծությունը և գծային դինամիկ վերլուծությունը օգտագործում են այս դեֆորմացիայի չափը։ Վերջավոր դեֆորմացիաների վերլուծության դեպքում Total Lagrange մեթոդում օգտագործվում է \(\boldsymbol{E}\), իսկ Updated Lagrange մեթոդում՝ ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի նկատմամբ դեֆորմացիայի արագության \(\boldsymbol{D}\) թենզորը։