Անցնել պարունակությանը

Լարում և պահպանման օրենքներ

Այս գլխում ամփոփվում են լարման թենզորի սահմանումն ու փոխադարձ կապերը, ինչպես նաև զանգվածի, իմպուլսի և անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքներից ստացվող հավասարակշռության հավասարումը և լարման սիմետրիան։ Երեք լարման թենզորները՝ Cauchy-ի լարում \(\boldsymbol{\sigma}\), առաջին Piola-Kirchhoff լարում \(\boldsymbol{P}\) և երկրորդ Piola-Kirchhoff լարում \(\boldsymbol{S}\), ներմուծվում են՝ կախված այն բանից, թե որ կոնֆիգուրացիան է ընտրվում որպես հղումային մակերես և ուժի վեկտոր։կոնֆիգուրացիայի, շարժման և դեֆորմացիայի գրադիենտի սահմանումների համար տե՛ս շարժում, դեֆորմացիա և լարում, իսկ նշումների ցանկի համար՝ ֆիզիկական մեծությունների նշանների ցանկ։

Cauchy-ի լարման թենզոր

Ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի \(\boldsymbol{x}\) կետում դիտարկենք փոքր մակերես (մակերեսը \(d\Gamma\), արտաքին միավոր նորմալը \(\boldsymbol{n}\)), որի վրա ազդող ուժը \(d\boldsymbol{f}\) է։ Լարման վեկտորը \(\boldsymbol{t}\) սահմանվում է որպես միավոր մակերեսին ընկնող ուժ՝ \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\)։ \(\boldsymbol{t}\)-ն կախված է թե՛ դիրքից \(\boldsymbol{x}\), թե՛ նորմալից \(\boldsymbol{n}\)։ Իմպուլսի պահպանման օրենքը փոքր քառանիստի վրա կիրառելուց հետևում է, որ \(\boldsymbol{t}\)-ն գծային է \(\boldsymbol{n}\)-ի նկատմամբ, և գոյություն ունի երկրորդ կարգի թենզոր \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\), որի համար

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

արտահայտությունը գործում է ցանկացած \(\boldsymbol{n}\)-ի համար (Cauchy-ի լարման թեորեմ)։ Այս \(\boldsymbol{\sigma}\) թենզորը կոչվում է Cauchy-ի լարման թենզոր, կամ իրական լարում, քանի որ այն ուժն է ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի երկրաչափությամբ սահմանված միավոր մակերեսի նկատմամբ։ \(\sigma_{ij}\) բաղադրիչը ընթացիկ կոնֆիգուրացիայում \(x_j\) առանցքին ուղղահայաց փոքր մակերեսի միավոր մակերեսին ազդող ուժի \(x_i\) բաղադրիչն է։

Ստորև ներկայացվող անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքից Cauchy-ի լարումը սիմետրիկ թենզոր է՝

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

և 3D-ում ունի 6 անկախ բաղադրիչ (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\))։ Voigt-ի նշանակմամբ լարման վեկտորացումը հիմնվում է այս սիմետրիայի վրա (տե՛ս թենզորային նշանակումներ և մաթեմատիկական հիմունքներ)։ Cauchy-ի լարումը օգտագործվում է FrontISTR-ի թարմացվող Լագրանժի (Updated Lagrange) մեթոդով երկրաչափական ոչ գծային վերլուծության և փոքր դեֆորմացիայի վերլուծության լարման ելքի համար։

Առաջին և երկրորդ Piola-Kirchhoff լարումներ

Վերջավոր դեֆորմացիայի դեպքում հաճախ հարմար է լարումը ներկայացնել հղումային կոնֆիգուրացիայի մակերեսով և վեկտորով, ուստի ներմուծվում են երկու Piola-Kirchhoff լարման թենզորներ։ Հղումային կոնֆիգուրացիայի փոքր մակերեսի մակերեսը նշանակենք \(d\Gamma_0\), իսկ արտաքին միավոր նորմալը՝ \(\boldsymbol{N}\)։

Առաջին Piola-Kirchhoff լարումը (առաջին PK լարում, անվանական լարում) \(\boldsymbol{P}\) սահմանվում է որպես լարման թենզոր, երբ ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի ուժը \(d\boldsymbol{f}\) ազդում է հղումային կոնֆիգուրացիայի փոքր մակերեսի վրա՝

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nanson-ի բանաձևից \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) և Cauchy-ի լարման թեորեմից ստացվում է Cauchy-ի լարման հետ կապը՝

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Առաջին PK լարումը ընդհանուր դեպքում ասիմետրիկ թենզոր է։

Երկրորդ Piola-Kirchhoff լարումը (երկրորդ PK լարում) \(\boldsymbol{S}\) սահմանվում է որպես լարման թենզոր, երբ ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի ուժը \(d\boldsymbol{f}\) նախ \(\boldsymbol{F}^{-1}\)-ով հետ է բերվում հղումային կոնֆիգուրացիա և ապա ազդում հղումային կոնֆիգուրացիայի փոքր մակերեսի վրա՝

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Այստեղ և՛ ուժի վեկտորը, և՛ ազդող մակերեսը ներկայացված են հղումային կոնֆիգուրացիայի մեծություններով։ Այս թենզորը կոշտ մարմնի պտույտի նկատմամբ ինվարիանտ և սիմետրիկ է։ Առաջին PK լարման և Cauchy-ի լարման հետ փոխակերպումները հետևյալն են՝

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Երկրորդ PK լարումը հիպերառաձգական դեֆորմացիայի էներգիայի \(W(\boldsymbol{C})\) ֆունկցիայից ստացվում է որպես \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) և ամբողջական Լագրանժի (Total Lagrange) մեթոդում Green-Lagrange դեֆորմացիայի \(\boldsymbol{E}\) հետ օգտագործվում է որպես էներգետիկ զուգակից \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\)։

Հղումային կոնֆիգուրացիան և սիմետրիան ամփոփված են ստորև։ Փոքր դեֆորմացիայի սահմանում (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) լարման երեք տեսակները համընկնում են։

Լարման թենզոր Հղումային մակերես Ուժի վեկտոր Սիմետրիա Կիրառում
Cauchy-ի լարում \(\boldsymbol{\sigma}\) Ընթացիկ կոնֆիգուրացիա \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) Ընթացիկ կոնֆիգուրացիա \(d\boldsymbol{f}\) Սիմետրիկ Թարմացվող Լագրանժի մեթոդ, փոքր դեֆորմացիայի վերլուծություն
Առաջին PK լարում \(\boldsymbol{P}\) Հղումային կոնֆիգուրացիա \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) Ընթացիկ կոնֆիգուրացիա \(d\boldsymbol{f}\) Ընդհանուր դեպքում ասիմետրիկ Հղումային կոնֆիգուրացիայի հավասարակշռության հավասարում
Երկրորդ PK լարում \(\boldsymbol{S}\) Հղումային կոնֆիգուրացիա \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) Հղումային կոնֆիգուրացիա \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) Սիմետրիկ Ամբողջական Լագրանժի մեթոդ, հիպերառաձգականություն

Զանգվածի և իմպուլսի պահպանման օրենքներ ու հավասարակշռության հավասարում

Եթե ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի զանգվածային խտությունը \(\rho\), իսկ հղումային կոնֆիգուրացիայինը՝ \(\rho_0\), ապա զանգվածի պահպանման \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) օրենքը, օգտագործելով ծավալային տարրի \(dv = J\, dV\) փոխակերպումը, բերում է տեղային ձևին՝

\[ \rho_0 = J \rho \]

։

Թող մարմնական ուժը (միավոր զանգվածի համար) լինի \(\boldsymbol{g}\), իսկ արագացումը՝ \(\boldsymbol{a}\)։ Իմպուլսի պահպանման օրենքին (Euler-ի շարժման առաջին օրենք) կիրառելով Cauchy-ի լարման թեորեմն ու Gauss-ի դիվերգենցիայի թեորեմը՝ ընթացիկ կոնֆիգուրացիայում ստացվում է տեղային հավասարակշռության (շարժման) հավասարումը՝

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

։ Nanson-ի բանաձևով և \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) կապով այն հղումային կոնֆիգուրացիայի ինտեգրալի վերագրելով ստացվում է հղումային կոնֆիգուրացիայի տեղային ձևը՝

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

։ Երկու ձևերը համարժեք են լարման փոխակերպման օրենքով և \(\rho_0 = J\rho\) հարաբերությամբ։ Իներցիոն անդամը անտեսելիս

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

ստացվում է ստատիկ հավասարակշռության հավասարումը, որը FrontISTR-ի գծային և ոչ գծային ստատիկ վերլուծությունների ելակետն է։

Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենք և լարման սիմետրիա

Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը (Euler-ի շարժման երկրորդ օրենք) իմպուլսի պահպանման հավասարման հետ համատեղելով՝ ստացվում է Cauchy-ի լարման թենզորի սիմետրիան՝

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

և 3D-ում այն ունի 6 անկախ բաղադրիչ։ \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) փոխակերպման երկու կողմը տրանսպոնացնելով և օգտագործելով \(\boldsymbol{F}\)-ի ոչ սինգուլյարությունը՝ երկրորդ PK լարումը ևս սիմետրիկ է՝

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

և ունի 6 անկախ բաղադրիչ։ Մյուս կողմից, առաջին PK լարումը \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ընդհանուր դեպքում սիմետրիկ չէ։ Գործում է միայն \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) հարաբերությունը (այսինքն՝ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\)-ն սիմետրիկ է), և այն ունի 9 անկախ բաղադրիչ։

Այս սիմետրիաները հիմք են լարումը Voigt-ի նշանակմամբ 6 բաղադրիչանոց վեկտոր դարձնելու համար։ Voigt-ի նշանակման կանոնների և նյութական մատրիցի կառուցման համար տե՛ս թենզորային նշանակումներ և մաթեմատիկական հիմունքներ և գծային առաձգականություն։

Առնչվող թեմաներ