Անցնել պարունակությանը

Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունք

Լարում և պահպանման օրենքներ բաժնում ստացված հավասարակշռության հավասարման և սահմանային պայմանների հիման վրա արտածվում է վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը, որը շարունակական միջավայրի մեխանիկայի սահմանային խնդրի թույլ ձևն է։ Վերջավոր տարրերի մեթոդով դիսկրետացումը սկսվում է այս թույլ ձևից։ Այս գլուխը ներկայացնում է և՛ ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի ձևը (Cauchy լարմամբ և Almansi դեֆորմացիայի գծային մասով), և՛ հղման կոնֆիգուրացիայի ձևը (երկրորդ Piola-Kirchhoff լարմամբ և Green-Lagrange դեֆորմացիայով), ցույց է տալիս դրանց համարժեքությունը, ապա հաստատում անցումը փոքր դեֆորմացիաների դեպքին։

Հավասարակշռության հավասարում և սահմանային պայմաններ

Թող \(\boldsymbol{g}\)-ն լինի շարունակական միջավայրի վրա միավոր զանգվածի հաշվով գործող ծավալային ուժը, և դիտարկենք ընթացիկ կոնֆիգուրացիայում \(\Omega\) տիրույթը զբաղեցնող մարմին։ \(\Gamma\) սահմանը բաժանվում է երկրաչափական \(\Gamma_B\) սահմանի, որտեղ տեղաշարժը տրված է որպես \(\bar{\boldsymbol{u}}\), և մեխանիկական \(\Gamma_t\) սահմանի, որտեղ մակերևութային ուժը տրված է որպես \(\bar{\boldsymbol{t}}\), ընդ որում \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) և \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\)։ Ստատիկ խնդրի դեպքում հավասարակշռության հավասարումը ստացվում է Լարում և պահպանման օրենքներ բաժնում տրված իմպուլսի պահպանման օրենքից իներցիոն անդամը հեռացնելով.

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{մեջ} \ \Omega \]

Սահմանային պայմաններն են

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{վրա} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{վրա} \ \Gamma_B \]

Հետագայում վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը արտածվում է որպես հավասարակշռության հավասարման և \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) մեխանիկական սահմանային պայմանի թույլ ձև։ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) երկրաչափական սահմանային պայմանը ներառվում է փորձնական ֆունկցիայի ընտրությամբ։

Թույլ ձևը ընթացիկ կոնֆիգուրացիայում

Թույլ ձևում անհայտ տեղաշարժի թույլատրելի տարածությունը և փորձնական ֆունկցիաների տարածությունը համապատասխանաբար սահմանվում են որպես

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{վրա} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{վրա} \ \Gamma_B \} \]

Այստեղ \(d\)-ն տարածական չափողականությունն է, \(H^1(\Omega)\)-ը Sobolev-ի տարածություն է, որի ֆունկցիաները և դրանց առաջին թույլ ածանցյալները քառակուսային ինտեգրելի են, իսկ \(\delta\)-ն նշանակում է վարիացիա։ Ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի ներկայացման դեպքում \(\Omega\)-ն դեֆորմացված կոնֆիգուրացիան է. գործնական թվային լուծման ժամանակ այն հետ է արտապատկերվում հղման կոնֆիգուրացիա կամ հայտնի միջանկյալ կոնֆիգուրացիա։

Հավասարակշռության հավասարումը բազմապատկելով \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) կշռով և կիրառելով Gauss-ի դիվերգենցիայի թեորեմն ու մեխանիկական սահմանային պայմանը՝ ընթացիկ կոնֆիգուրացիայում ստացվում է վիրտուալ աշխատանքի հետևյալ սկզբունքը։

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Այստեղ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)-ը Almansi դեֆորմացիայի թենզորի գծային մասն է և սահմանվում է հետևյալ կերպ.

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Դրա վարիացիան է \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\)։ Այսպիսով, փնտրվում է այնպիսի \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), որի համար վիրտուալ աշխատանքի հավասարումը կատարվում է յուրաքանչյուր \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)-ի դեպքում։ Ձախ կողմը ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքն է, իսկ աջ կողմը՝ տրված մակերևութային և ծավալային ուժերով պայմանավորված արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը։

Քանի որ այս հավասարումը գրված է դեֆորմացված (ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի) տիրույթի վրա, գործնական լուծման ժամանակ սկզբնական \(\Omega_0\) կոնֆիգուրացիան (հղման կոնֆիգուրացիա) կամ հայտնի միջանկյալ կոնֆիգուրացիան կրկին ընտրվում է որպես հղման կոնֆիգուրացիա, հավասարումը վերագրվում է ինկրեմենտալ ձևով, ապա լուծվում։ Հղման կոնֆիգուրացիայի կոնկրետ ընտրության (լրիվ Լագրանժյան / թարմացվող Լագրանժյան) և ինկրեմենտալ տրոհման համար տես Ինկրեմենտալ վերլուծության շրջանակը։

Թույլ ձևը սկզբնական կոնֆիգուրացիայում

Դիտարկենք հղման կոնֆիգուրացիայում \(\Omega_0\) տիրույթը զբաղեցնող մարմին, որի \(\Gamma_0\) սահմանը բաժանված է \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) մասերի։ Ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի ներկայացումը հղման կոնֆիգուրացիա հետ արտապատկերելիս լարում-դեֆորմացիա զուգորդված զույգը դառնում է երկրորդ Piola-Kirchhoff լարումը \(\boldsymbol{S}\) և Green-Lagrange դեֆորմացիան \(\boldsymbol{E}\)։ Այդ դեպքում սկզբնական կոնֆիգուրացիայում վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը գրվում է

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Այստեղ \(\rho_0\)-ն հղման կոնֆիգուրացիայի զանգվածային խտությունն է, և զանգվածի պահպանման \(\rho_0 = J\rho\) առնչության համաձայն այն համարժեք է ընթացիկ կոնֆիգուրացիայում ծավալային ուժի ներկայացմանը։

Ընթացիկ և սկզբնական կոնֆիգուրացիաների ներկայացումների համարժեքությունը

Երկու ներկայացումների ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքները համընկնում են \(\boldsymbol{F}\) դեֆորմացիայի գրադիենտով և \(J = \det \boldsymbol{F}\) ծավալային հարաբերությամբ կատարվող փոխակերպման միջոցով, այսինքն՝

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Արտաքին ուժերի անդամները նույնպես համարժեք են զանգվածի պահպանման և մակերևութային ուժի փոխակերպման շնորհիվ։ Հետևաբար ընթացիկ և սկզբնական կոնֆիգուրացիաների վիրտուալ աշխատանքի հավասարումները նույն սկզբունքը ներկայացնում են տարբեր կոնֆիգուրացիաներում։ Հղման կոնֆիգուրացիային հղվող լուծման եղանակը համապատասխանում է լրիվ Լագրանժյան մեթոդին, իսկ ընթացիկ կոնֆիգուրացիային (անմիջապես նախորդ կոնվերգված կոնֆիգուրացիային) հղվող եղանակը՝ թարմացվող Լագրանժյան մեթոդին։

Անցում փոքր դեֆորմացիաների դեպքին

Փոքր դեֆորմացիաների \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) և \(J \approx 1\) ենթադրությունների դեպքում ընթացիկ և հղման կոնֆիգուրացիաների տարբերությունը վերանում է, երկրորդ PK լարումը համընկնում է Cauchy լարման հետ (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), իսկ Green-Lagrange դեֆորմացիան և Almansi դեֆորմացիայի գծային մասը երկուսն էլ հանգում են փոքր դեֆորմացիային \(\boldsymbol{\varepsilon}\)։

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Այդ դեպքում վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը հանգում է Cauchy լարմամբ \(\boldsymbol{\sigma}\) և փոքր դեֆորմացիայով \(\boldsymbol{\varepsilon}\) արտահայտված թույլ ձևին.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{վրա} \ \Gamma_B \]

Սա այն թույլ ձևն է, որն անմիջապես օգտագործվում է փոքր դեֆորմացիաների գծային առաձգական ստատիկ վերլուծության դիսկրետացման համար (Գծային առաձգական ստատիկ վերլուծություն (ներածություն և հավելված) բաժնում այս ձևից ելնելով ցույց է տրվում տարրի \(\boldsymbol{K}^e\) կոշտության կառուցումը մինչև \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) գլոբալ հավասարման հավաքումը)։

Փոխարինելով գծային առաձգականության \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) կառուցվածքային օրենքը և Voigt նշագրումով գրելով \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\)՝ թույլ ձևը ստանում է

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

տեսքը։

Առնչվող թեմաներ