Անցնել պարունակությանը

Աճային վերլուծության շրջանակը

Աճային վերլուծության անհրաժեշտությունը

Ինչպես նշվեց վերևում, փոքր դեֆորմացիաների խնդիրների վերլուծությունում վերջավոր տարրային վերլուծությունը կարելի է կատարել՝ օգտագործելով հավասարակշռության հավասարումներին և այլ հիմնարար հավասարումներին համարժեք վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը և այդ հավասարումը դիսկրետացնելով վերջավոր տարրերով։ Նույն հիմնական վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքն օգտագործվում է նաև կառուցվածքների մեծ դեֆորմացիաներով վերջավոր դեֆորմացիաների խնդիրների վերլուծությունում։

Սակայն վերջավոր դեֆորմացիաների խնդիրներում նույնիսկ նյութի գծայնություն ենթադրելիս վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի հավասարումը տեղաշարժի նկատմամբ դառնում է ոչ գծային։ Ոչ գծային հավասարումները լուծելու համար սովորաբար կիրառվում են իտերացիոն մեթոդով կրկնվող հաշվարկներ։

Այդ իտերացիոն հաշվարկներում կիրառվում է աճային վերլուծության մեթոդ, որտեղ հաշվարկը կատարվում է մաս-մաս՝ փոքր բեռային աճերի համար, իսկ աճերը կուտակվում են մինչև վերջնական դեֆորմացված վիճակին հասնելը։ Փոքր դեֆորմացիաների խնդիր ենթադրելիս դեֆորմացիան և լարումը սահմանելու համար օգտագործվող դիրքերը դեֆորմացիայից առաջ և հետո առանձնապես չէին տարբերակվում։ Այսինքն՝ փոքր դեֆորմացիաների ենթադրության դեպքում հիմնարար հավասարումները նկարագրող դիրքը կարող էր լինել ինչպես դեֆորմացիայից առաջ, այնպես էլ հետո՝ առանց խնդրի։

Վերջավոր դեֆորմացիաների խնդրի համար աճային վերլուծություն կատարելիս ձևակերպումը տարբերվում է՝ կախված նրանից, թե հղման դիրք է ընտրվում սկզբնական դիրքը, թե աճի սկզբի դիրքը։ Առաջինը կոչվում է ամբողջական Լագրանժի մեթոդ, երկրորդը՝ թարմացվող Լագրանժի մեթոդ։ Մանրամասների համար տե՛ս գլխի վերջի հղումները և հարակից նյութերը։

Ելակետային հավասարում՝ վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը \(t'\) պահին

Դիտարկենք աճային վերլուծություն, որտեղ մինչև \(t\) պահի վիճակը հայտնի է, իսկ \(t' = t + \Delta t\) պահի վիճակը՝ անհայտ (տե՛ս նկար 2.2.1)։ \(t'\) պահին հավասարակշռության հավասարումները, սահմանային պայմանները և վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը (ընթացիկ դիրքով արտահայտված՝ Cauchy լարումով \(^{t'}\sigma\) և Almansi դեֆորմացիայի գծային մասով \(^{t'} A_{(L)}\)) տրված են Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունք բաժնում։

Աճային վերլուծության գաղափարը

Նկար 2.2.1　Աճային վերլուծության գաղափարը

Սակայն քանի որ այս ելակետային հավասարումը գրված է \(t'\) պահի (անհայտ) դիրքում, իրական լուծման ընթացակարգում որպես հղման դիրք կրկին ընտրվում է կամ \(0\) պահի սկզբնական դիրքը \(V\), կամ \(t\) պահի ընթացիկ դիրքը \(^{t'} v\), այնուհետև հավասարումը վերագրվում է աճային ձևով և լուծվում։

  • Ամբողջական Լագրանժի մեթոդ (Total Lagrange) — որպես հղում օգտագործում է սկզբնական դիրքը \(V\)։ Օգտագործվում են 2-րդ PK լարումը \(\boldsymbol{S}\) և Green-Lagrange դեֆորմացիան \(\boldsymbol{E}\)։
  • Թարմացվող Լագրանժի մեթոդ (Updated Lagrange) — որպես հղում օգտագործում է աճի սկզբի ընթացիկ դիրքը \(^{t}v\)։ Օգտագործվում են Cauchy լարումը \(\boldsymbol{\sigma}\) և Almansi դեֆորմացիայի գծային մասը \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)։

Երկու ձևակերպումների տարածական դիսկրետացման (B մատրից և ներքին ուժերի վեկտոր) համար տե՛ս Ներքին վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացում, իսկ գծայնացման և շոշափող կոշտության կառուցման համար՝ Շոշափող կոշտության մատրից։

Առնչվող թեմաներ