Անցնել պարունակությանը

Թենզորային նշանակումներ և մաթեմատիկական հիմունքներ

Այս գլխում ամփոփվում են թենզորային, ինդեքսային և Voigt-ի նշանակումների կանոնները, որոնք օգտագործվում են FrontISTR-ի տեսական ձեռնարկի հաջորդ գլուխներում։ Այստեղ նկարագրվում են միայն մաքուր նշանակման կանոնները, որոնք կախված չեն ֆիզիկական մեծությունների սահմանումներից։ Շարունակական միջավայրի շարժման կոնֆիգուրացիայից (հղումային/ընթացիկ) կախված նշումների կանոնները՝ մեծատառ/փոքրատառ տարբերությունը, նյութական և տարածական ածանցյալների տարբերակումը, ներկայացված են կոնֆիգուրացիայի գաղափարը ներմուծող շարժում, դեֆորմացիա և լարում բաժնում։

Թենզորային նշանակումներ

Վեկտորների և թենզորների թավատառ գրություն

Գրատեսակի հիմնական կանոնն է՝ սկալյար մեծությունները և վեկտոր/թենզորների բաղադրիչները գրվում են սովորական տառատեսակով (\(\rho\), \(x_i\) և այլն), իսկ վեկտորային և թենզորային մեծություններն ամբողջությամբ՝ թավատառ (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) և այլն)։

Einstein-ի գումարման կանոն

Եթե հատուկ նշում չկա, նույն անդամում նույն ինդեքսը երկու անգամ հանդիպելու դեպքում կիրառվում է Einstein-ի գումարման կանոնը՝ այդ ինդեքսով գումարում։ Օրինակ՝

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

է, իսկ \(\boldsymbol{A}\) և \(\boldsymbol{B}\) թենզորների \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) արտադրյալի \(i,j\) բաղադրիչը՝

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

է։ Ինդեքսների կանոնով, եթե այլ բան նշված չէ, \(i, j, k, l, \ldots\) ինդեքսները վերաբերում են ազատության աստիճաններին (3D դեպքում՝ \(1, 2, 3\)), իսկ հունական փոքրատառ \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ինդեքսները՝ տարրը կազմող հանգույցներին։

Ներքին արտադրյալ, տրանսպոնացում և թենզորային արտադրյալ

\(\boldsymbol{A}\) թենզորի տրանսպոնացումը նշանակվում է \(\boldsymbol{A}^T\)։ Երկրորդ կարգի \(\boldsymbol{A}\) և \(\boldsymbol{B}\) թենզորների ներքին արտադրյալը (կրկնակի կծկումը) նշանակվում է

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

։ \(\boldsymbol{a}\) և \(\boldsymbol{b}\) վեկտորների ներքին արտադրյալը \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) է, իսկ թենզորային արտադրյալը՝ \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)։

Voigt-ի նշանակումներ

Լարումն ու դեֆորմացիան ազատության աստիճանների նկատմամբ երկրորդ կարգի սիմետրիկ թենզորներ են, իսկ դրանց գծային հարաբերության գործակիցը՝ չորրորդ կարգի թենզոր։ Ծրագրում դա անմիջապես մշակելը անարդյունավետ է հաշվարկային ծախսի և կոդավորման (բազմաչափ զանգվածներ, խոր բազմակի ցիկլեր) տեսանկյունից, ուստի սովորական վերջավոր տարրային ծրագրերում սիմետրիայի հաշվառմամբ լարումն ու դեֆորմացիան սեղմվում են սյունակային վեկտորների, իսկ չորրորդ կարգի առաձգականության թենզորը՝ երկչափ մատրիցի։ Սա կոչվում է Voigt-ի նշանակություն։

Այսուհետ \(\boldsymbol{A}\) թենզորային մեծության մատրիցային/վեկտորային ներկայացումը կնշանակվի \(\hat{A}\)՝ այն սկզբնական թենզորից տարբերելու համար։

Լարման և դեֆորմացիայի վեկտորային ներկայացում

Սիմետրիկ լարման թենզորի \(\boldsymbol{\sigma}\) և դեֆորմացիայի թենզորի \(\boldsymbol{\varepsilon}\) համար 2D դեպքում՝

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

3D դեպքում՝

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

դրանք մշակվում են որպես սյունակային վեկտորներ։ Նույն կանոնը կիրառվում է նաև ածանցյալ մեծությունների՝ վարիացիաների և ածանցյալների համար։ Ուշադրություն դարձրեք, որ դեֆորմացիայի կողմում սահքի բաղադրիչները բազմապատկվում են 2-ով (լարման կողմում՝ ոչ)։ Այս ասիմետրիայի շնորհիվ թենզորային ներքին արտադրյալը կարելի է պարզ գրել վեկտորային ներքին արտադրյալի ձևով՝

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Իրականացման մեջ հեշտ է շփոթել սահքի դեֆորմացիայի 2 գործակիցը, ուստի միշտ պետք է հիշել «լարման համար չկա / դեֆորմացիայի համար կա» կանոնը։ Նույն Voigt կանոնը ամբողջությամբ կիրառվում է նաև հղումային կոնֆիգուրացիայի մեծությունների՝ երկրորդ Piola-Kirchhoff լարման \(\boldsymbol{S}\) և Green-Lagrange դեֆորմացիայի \(\boldsymbol{E}\) համար։

Չորրորդ կարգի թենզորի մատրիցային ներկայացում

Լարման և դեֆորմացիայի գծային հարաբերության \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (բաղադրիչներով՝ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) համար, օգտագործելով \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ի սիմետրիան, կարելի է գրել՝

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

։ 3D դեպքում \(\tilde{C}\)-ն դասավորելով որպես 6×6 նյութական մատրից \(\hat{\tilde{C}}\), սկզբնական թենզորային հարաբերությունը կարելի է ներկայացնել՝

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

։ Այսուհետ այս ձեռնարկում, եթե այլ բան նշված չէ, նյութական մատրիցը կնշանակվի \(D\) (կամ \(\hat{C}\))։ Իզոտրոպ գծային առաձգականության կոնկրետ բաղադրիչների համար տե՛ս գծային առաձգականությունը։

Դիֆերենցիալ օպերատորների կանոններ

Սիմետրիկ գրադիենտի օպերատոր

\(\boldsymbol{u}\) վեկտորային դաշտի սիմետրիկ գրադիենտի օպերատորը \(\nabla_S\) սահմանվում է՝

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

։ Բաղադրիչային ձևով \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)։ Փոքր դեֆորմացիայի \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) արտահայտությունը այս օպերատորով գրվում է հակիրճ։ Վերջավոր դեֆորմացիայի դեպքում գրադիենտի կոնֆիգուրացիայի (հղումային/ընթացիկ) ընտրությունը ներկայացված է շարժում, դեֆորմացիա և լարում բաժնում։

Նյութական ժամանակային ածանցյալ

\(A\) մեծության նյութական ժամանակային ածանցյալը (նույն նյութական կետին հետևող ժամանակային ածանցյալը) նշվում է վերևի կետով՝ \(\dot{A}\)՝

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Արագությունն ու արագացումը հետևում են այս կանոնին։

Առնչվող թեմաներ