Անցնել պարունակությանը

Newton-Raphson մեթոդ

Գծայնացում և իտերացիոն ռեկուրենտ բանաձև

Արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը և գլոբալ հավասարումների հավաքումը բաժնում ստացված՝ \(t_{n+1}\) պահին հանգուցային \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) տեղաշարժերի նկատմամբ ոչ գծային հավասարումը լուծվում է Newton-Raphson մեթոդով։ Մինչև \(t_n\) պահը հանգուցային \(\boldsymbol{u}_n\) տեղաշարժերը հայտնի են, իսկ տեղաշարժի աճը \(\Delta\boldsymbol{u}\) ընդունվում է որպես անհայտ՝

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

որոնվում է։ Ստորև անտեսվում է արտաքին ուժերի վեկտորի կախվածությունը հանգուցային տեղաշարժերից և ընդունվում է \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\), ուստի լուծվում է

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

։

Ընթացիկ \(\Delta\boldsymbol{u}\) լուծման համար շոշափող կոշտությունը

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

օգտագործելով՝ ոչ գծային հավասարումը գծայնացվում է որպես

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

։ \(i\)-րդ իտերացիայի ուղղումը նշանակենք \(d\boldsymbol{u}_i\), իսկ իտերացիայի սկզբի մնացորդի վեկտորը՝

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

ապա իտերացիոն ռեկուրենտ հավասարումն ունի

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

տեսքը։ Մնացորդ \(\boldsymbol{R}_i\)-ն հավասարակշռությունից ուժային անհամապատասխանությանը համապատասխանող մեծություն է։

Շոշափող կոշտության մատրիցի կառուցումը

Շոշափող կոշտությունը \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) կառուցվում է Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացումը բաժնում ստացված տարրային ներքին ուժերի վեկտորը հանգուցային տեղաշարժերով մասնակի ածանցելով, յուրաքանչյուր տարրի ինտեգրանդը տարրի տիրույթով ինտեգրելով և արդյունքները հավաքելով։ Տարրային մակարդակի ինտեգրանդը նշանակելով \(\boldsymbol{K}^e_X\) (սկզբնական դիրք, TL) կամ \(\boldsymbol{K}^e_x\) (ընթացիկ դիրք, UL), տարրի շոշափող կոշտությունը տրվում է

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

։ Ստորև տրվում են TL/UL ինտեգրանդների վերջնական ձևերը։ Երկուսն էլ բաժանվում են նյութական կոշտության անդամի (սկզբնական տեղաշարժի անդամ) և երկրաչափական կոշտության անդամի (սկզբնական լարման անդամ) գումարի։

Total Lagrange մեթոդ

Total Lagrange մեթոդում ենթադրվում է երկրորդ Piola-Kirchhoff լարման արագության \(\dot{\boldsymbol{S}}\) և Green-Lagrange դեֆորմացիայի արագության \(\dot{\boldsymbol{E}}\) գծային կապը՝ \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\)։ Սա համապատասխանում է գծային առաձգական (St.Venant-Kirchhoff) և հիպերառաձգական մարմինների որոշիչ օրենքներին, և FrontISTR-ում Total Lagrange մեթոդն օգտագործվում է այդ նյութերի համար։ Այդ դեպքում տարրի շոշափող կոշտության ինտեգրանդը տենզորային ձևով

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

է։ Աջ կողմի առաջին անդամը նյութական կոշտության անդամն է (սկզբնական տեղաշարժի անդամ), իսկ երկրորդը՝ երկրաչափական կոշտության անդամը (սկզբնական լարման անդամ)։

FrontISTR-ի իրագործման մեջ այս ինտեգրանդը հաշվարկվում է Voigt գրառմամբ մատրիցային ձևով՝

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

։ Այստեղ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\)-ը Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացումը բաժնում ներմուծված B մատրիցներն են, իսկ \(\tilde{\boldsymbol{C}}\)-ն որոշիչ օրենքի \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) \(6\times 6\) նյութական կոշտության մատրիցն է Voigt գրառմամբ (Տենզորային նշագրում և մաթեմատիկական հիմքեր)։ \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\)-ը վերադասավորման մատրիցներ են, որոնք երկրաչափական կոշտության անդամը ներկայացնում են մատրիցների արտադրյալով։ Նախ \(3\times 3\) երկրորդ կարգի \(\boldsymbol{A}\) տենզորը 9-բաղադրիչ վեկտորի վերադասավորող \([\,\cdot\,]\) նշումը սահմանենք

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

։ Այդ դեպքում \(\boldsymbol{F}_9\)-ը \(9\times d n_e\) մատրից է, որը դեֆորմացիայի գրադիենտի վարիացիան ներկայացնում է \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ձևով, իսկ տարրի \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) հանգույցին համապատասխան \(9\times d\) բլոկը՝

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{՝ } 3\times 3 \text{ միավոր մատրից}) \]

տարրի հանգույցների հերթականությամբ կողք կողքի դասավորելով՝ ստացվում է \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\)։ \(\boldsymbol{S}_9\)-ը \(9\times 9\) մատրից է, ընտրված այնպես, որ դրա հետ երկրաչափական կոշտության անդամը արտահայտվի որպես \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\)՝

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

։

Updated Lagrange մեթոդ

Updated Lagrange մեթոդում ենթադրվում է հարաբերական Kirchhoff լարման տենզորի Jaumann արագության \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) և դեֆորմացիայի արագության \(\boldsymbol{D}\) տենզորի գծային կապը՝ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\)։ Սա գծային առաձգական, առաձգապլաստիկ և սողք ունեցող նյութերի համար ընդհանուր հիպոառաձգական որոշիչ օրենքի ձևն է, և FrontISTR-ում Updated Lagrange մեթոդն օգտագործվում է այդ նյութերի համար։ Այդ դեպքում ընթացիկ դիրքով տարրի շոշափող կոշտության ինտեգրանդը տենզորային ձևով

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

է (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\)-ն Truesdell արագությունն է, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)-ը Almansi դեֆորմացիայի գծային մասը, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\)-ը ընթացիկ դիրքի նկատմամբ տեղաշարժի գրադիենտը, իսկ \(\boldsymbol{L}\)-ը արագության գրադիենտի տենզորը)։ Աջ կողմի առաջին անդամը նյութական կոշտության անդամն է, երկրորդը՝ երկրաչափական կոշտության անդամը։

FrontISTR-ի իրագործման մեջ այս ինտեգրանդը հաշվարկվում է Voigt գրառմամբ մատրիցային ձևով՝

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

։ \(\boldsymbol{b}\)-ն ընթացիկ դիրքով կազմված B մատրիցն է (Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացումը)։ \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\)-ը ստացվում են TL մեթոդի \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\)-ից՝ երկրորդ PK լարում \(\boldsymbol{S}\)-ը փոխարինելով Cauchy լարում \(\boldsymbol{\sigma}\)-ով, իսկ սկզբնական դիրքի \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) գրադիենտը՝ ընթացիկ դիրքի \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) գրադիենտով։

\(\boldsymbol{G}\)-ն Cauchy լարումից կախված ուղղիչ մատրից է, որն անհրաժեշտ է \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) հիպոառաձգական որոշիչ օրենքը շոշափող կոշտության շրջանակում համաձայնեցնելու համար՝ որպես Truesdell արագության վրա հիմնված որոշիչ օրենք։ Այն ստացվում է չորրորդ կարգի \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) տենզորային բաղադրիչները \(6\times 6\) Voigt ձևով դասավորելով՝

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

։

Գլոբալ կոշտության մատրիցի հավաքում

Գլոբալ շոշափող կոշտությունը \(\boldsymbol{K}\) ստացվում է տարրի \(\boldsymbol{K}^e\) կոշտությունը հանգույցների \(d\times d\) բլոկների \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) բաժանելով և Տարրային հանգուցային ֆիզիկական մեծությունների հավաքում բաժնում ներմուծված երկրորդ կարգի տենզորի հավաքման \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) բազմությամբ՝

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

այս արժեքները \(i_g\) տողի և \(i_h\) սյան մեջ դասավորելով։ Իրագործման մեջ \(\mathcal{E}^2\) բազմությունը բացահայտ չի կառուցվում. տարրերի ցիկլում արժեքներն անմիջապես գումարվում են համապատասխան բլոկներին։ Մատրիցը քառակուսի է՝ չափով «մեկ հանգույցի ազատության աստիճաններ \(\times\) ընդհանուր հանգույցների թիվ \(n_g\)», սակայն տարրերով չկապված հանգույցների միջև բաղադրիչները \(0\) են, ուստի այն պահվում է նոսր մատրիցային ձևաչափով։

TL և UL մեթոդների տարրային կոշտությունները նույն ձևն ունեն՝ բացառությամբ հղման դիրքի փոխարկման (հանգուցային կոորդինատները և B մատրիցի կառուցման աղբյուրը) ու \(\boldsymbol{G}\) մատրիցի առկայության, ուստի FrontISTR-ում երկուսն էլ իրագործված են ընդհանուր ենթածրագրով։

Իտերացիոն ալգորիթմ

Ամփոփելով՝ իտերացիաների սկզբում ընդունվում է \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) և հաշվարկվում է սկզբնական մնացորդը \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\), ապա \(i\)-րդ իտերացիայում կատարվում են հետևյալ քայլերը։

  1. Ընթացիկ \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) տեղաշարժի համար հաշվարկել շոշափող կոշտությունը \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\)՝ Շոշափող կոշտության մատրիցի կառուցումը բաժնի ընթացակարգով։
  2. Երկրաչափական սահմանային պայմանները հաշվի առնելու համար փոխակերպել շոշափող կոշտության մատրիցը և մնացորդի վեկտորը տեղաշարժով սահմանափակված ազատության աստիճանների համար՝ ստանալով \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) (Երկրաչափական սահմանային պայմանների մշակում)։
  3. Լուծել \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) գծային հավասարումը և գտնել \(d\boldsymbol{u}_i\) ուղղումը։ Այս քայլը հաճախ կազմում է իտերացիոն հաշվարկի մեծագույն հաշվարկային բեռը։
  4. Թարմացնել տեղաշարժի աճը՝ \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\), ապա համապատասխանաբար հաշվարկել ներքին ուժերի \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) վեկտորը և մնացորդը \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)։
  5. Կատարել զուգամիտության ստուգում և, եթե պայմանը բավարարված է, ավարտել իտերացիաները։ Մնացորդ \(\boldsymbol{R}_i\)-ի՝ երկրաչափական սահմանային պայմաններով սահմանափակված ազատության աստիճաններում առաջանում են հակազդեցության ուժերին համապատասխան բաղադրիչներ, ուստի ստուգման ցուցանիշը կազմվում է դրանք բացառող \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) բաղադրիչներից։ Կոնկրետ ցուցանիշներն ու շեմերը քննարկվում են Զուգամիտության ստուգում բաժնում։ Եթե զուգամիտություն չի ստացվում մինչև իտերացիաների սահմանը, իտերացիան համարվում է ձախողված։

Զուգամիտությունից հետո \(\Delta\boldsymbol{u}\)-ն գումարվում է \(\boldsymbol{u}_n\)-ին՝ ստանալով \(t_{n+1}\) պահի կուտակային տեղաշարժը \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\), և անցում է կատարվում հաջորդ ժամանակային քայլին։

Առնչվող թեմաներ