Անցնել պարունակությանը

Դինամիկ վերլուծության մեթոդներ

Այս բաժնում ներկայացվում են դինամիկ խնդիրների վերլուծության մեթոդները՝ ուղղակի ժամանակային ինտեգրման կիրառմամբ։ Ստորև բերված են անուղղակի և բացահայտ մեթոդների ձևակերպումները։

Շարժման հավասարման դիսկրետացում (ընդհանուր շրջանակ)

TBD (կլրացվի հաջորդ փուլում)։

Անուղղակի մեթոդ (Newmark-β մեթոդ)

Դինամիկ խնդիրների համար ստորև բերված շարժման հավասարումը լուծելու նպատակով կիրառվում է ուղղակի ժամանակային ինտեգրման մեթոդը։

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Այստեղ \(M\)-ը զանգվածի մատրիցն է, \(C\)-ն՝ մարման մատրիցը, \(Q\)-ն՝ ներքին ուժերի վեկտորը, իսկ \(F\)-ը՝ արտաքին ուժերի վեկտորը։ Ենթադրվում է, որ զանգվածի մատրիցը նույնիսկ ոչ գծային վերլուծության դեպքում մնում է հաստատուն՝ անկախ դեֆորմացիայից։

\(\Delta t\) ժամանակային աճի ընթացքում տեղաշարժի, արագության և արագացման փոփոխությունները մոտարկվում են Newmark-\(\beta\) մեթոդով՝ ինչպես ցույց է տրված \(\eqref{eq:2.5.2}\) և \(\eqref{eq:2.5.3}\) հավասարումներում։

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Այստեղ \(\gamma\)-ն և \(\beta\)-ն Newmark-\(\beta\) մեթոդի պարամետրերն են։

Ինչպես հայտնի է, \(\gamma\)-ի և \(\beta\)-ի հետևյալ արժեքները համապատասխանաբար տալիս են գծային արագացման մեթոդը և տրապեցիայի կանոնը։

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (գծային արագացման մեթոդ)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (տրապեցիայի կանոն)

\(\eqref{eq:2.5.2}\) և \(\eqref{eq:2.5.3}\) հավասարումները \(\eqref{eq:2.5.1}\) հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստացվում է հետևյալ հավասարումը։

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Մասնավորապես, գծային խնդրի դեպքում \(K_L\)-ը գծային կոշտության մատրիցն է, իսկ \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\)։ Այս կապը վերևի հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստացվում է հետևյալ հավասարումը։

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Այն կետերում, որտեղ արագացումը տրված է որպես երկրաչափական սահմանային պայման, տեղաշարժը \(\eqref{eq:2.5.2}\) հավասարումից ստացվում է հետևյալ կերպ։

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Նմանապես, այն կետերում, որտեղ տրված է արագությունը, տեղաշարժը \(\eqref{eq:2.5.6}\) հավասարումից ստացվում է հետևյալ կերպ։

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Այստեղ՝ \(u_{is}(t+\Delta{t})\)-ը \(t+\Delta{t}\) պահին հանգուցային տեղաշարժն է, իսկ \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\)-ը՝ \(t+\Delta{t}\) պահին հանգուցային արագությունը, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\)-ը \(t+\Delta{t}\) պահին հանգուցային արագացումն է, \(i\)-ն՝ հանգույցի ազատության աստիճանի համարը, իսկ \(s\)-ը՝ հանգույցի համարը։ Զանգվածի և մարման անդամները մշակվում են հետևյալ կերպ։

Զանգվածի անդամի մշակում

Սկզբունքորեն զանգվածի մատրիցը դիտարկվում է որպես կենտրոնացված զանգվածի մատրից։

Մարման անդամի մշակում

Մարման անդամը դիտարկվում է որպես Rayleigh-ի մարում, որը տրված է \(\eqref{eq:2.5.8}\) հավասարմամբ։

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Այստեղ \(R_m\)-ը և \(R_k\)-ն Rayleigh-ի մարման պարամետրերն են։

!DYNAMIC քարտում նշված \(R_m\) և \(R_k\) արժեքները միատեսակ կիրառվում են ամբողջ մոդելի նկատմամբ։ Յուրաքանչյուր նյութի համար տարբեր \(R_m\) և \(R_k\) արժեքներ նշանակելու համար տվյալ նյութի !MATERIAL բլոկի ներսում նշեք !DAMPING քարտը։ Այն տարրերի համար, որոնք պատկանում են այն նյութին, որի համար նշված է !DAMPING, տարրի զանգվածի մատրիցից \(M_i\) և տանգենցիալ կոշտության մատրիցից \(K_i\) տարրի մարման մատրիցը հաշվարկվում է որպես \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) և հավաքվում է գլոբալ մարման մատրիցում։ Այս գործառույթը գործում է միայն անուղղակի մեթոդի համար։

Բացահայտ մեթոդ (կենտրոնական տարբերությունների մեթոդ)

Բացահայտ մեթոդը հիմնվում է ստորև բերված՝ t պահին շարժման հավասարման վրա։

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

\(t + \Delta t\) և \(t - \Delta t\) պահերի տեղաշարժերը \(t\) պահի շուրջ Taylor-ի ընդլայնմամբ արտահայտելով և \(\Delta t\)-ի նկատմամբ մինչև երկրորդ կարգի անդամները պահելով՝ ստացվում են հետևյալ հավասարումները։

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.3}\) և \(\eqref{eq:2.5.4}\) հավասարումների տարբերությունից և գումարից ստացվում են հետևյալ հավասարումները։

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.12}\) և \(\eqref{eq:2.5.13}\) հավասարումները \(\eqref{eq:2.5.9}\) հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստացվում է հետևյալ հավասարումը։

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Մասնավորապես, գծային խնդրի դեպքում \(Q(t) = K_L U(t)\), և վերևի հավասարումը ստանում է հետևյալ տեսքը։

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Եթե զանգվածի \(M\) մատրիցը ընդունվում է որպես կենտրոնացված զանգվածի մատրից, իսկ մարման մատրիցը՝ որպես համեմատական մարման \(C = R_m M\) մատրից, ապա \(\eqref{eq:2.5.15}\) հավասարումը չի պահանջում հավասարումների համակարգի լուծում։

Հետևաբար, \(\eqref{eq:2.5.15}\) հավասարումից \(U(t+\Delta t)\)-ը կարելի է ստանալ հետևյալ հավասարմամբ։

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Առնչվող թեմաներ