Անցնել պարունակությանը

Translation update pending

The Armenian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Դինամիկ վերլուծության մեթոդներ

Այս բաժնում ներկայացվում են դինամիկ խնդիրների վերլուծության մեթոդները՝ ուղղակի ժամանակային ինտեգրման կիրառմամբ։ Ստորև բերված են անբացահայտ և բացահայտ մեթոդների ձևակերպումները։

Շարժման հավասարման դիսկրետացում (ընդհանուր շրջանակ)

TBD (կլրացվի հաջորդ փուլում)։

Անբացահայտ մեթոդ (Newmark-β մեթոդ)

Դինամիկ խնդիրների համար ստորև բերված շարժման հավասարումը լուծելու նպատակով կիրառվում է ուղղակի ժամանակային ինտեգրման մեթոդը։

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Այստեղ \(M\)-ը զանգվածի մատրիցն է, \(C\)-ն՝ մարման մատրիցը, \(Q\)-ն՝ ներքին ուժերի վեկտորը, իսկ \(F\)-ը՝ արտաքին ուժերի վեկտորը։ Ենթադրվում է, որ զանգվածի մատրիցը նույնիսկ ոչ գծային վերլուծության դեպքում մնում է հաստատուն՝ անկախ դեֆորմացիայից։

\(\Delta t\) ժամանակային աճի ընթացքում տեղաշարժի, արագության և արագացման փոփոխությունները մոտարկվում են Newmark-\(\beta\) մեթոդով՝ ինչպես ցույց է տրված \(\eqref{eq:2.5.2}\) և \(\eqref{eq:2.5.3}\) հավասարումներում։

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Այստեղ \(\gamma\)-ն և \(\beta\)-ն Newmark-\(\beta\) մեթոդի պարամետրերն են։

Ինչպես հայտնի է, \(\gamma\)-ի և \(\beta\)-ի հետևյալ արժեքները համապատասխանաբար տալիս են գծային արագացման մեթոդը և տրապեցիայի կանոնը։

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (գծային արագացման մեթոդ)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (տրապեցիայի կանոն)

\(\eqref{eq:2.5.2}\) և \(\eqref{eq:2.5.3}\) հավասարումները \(\eqref{eq:2.5.1}\) հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստացվում է հետևյալ հավասարումը։

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Մասնավորապես, գծային խնդրի դեպքում \(K_L\)-ը գծային կոշտության մատրիցն է, իսկ \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\)։ Այս կապը վերևի հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստացվում է հետևյալ հավասարումը։

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Այն կետերում, որտեղ արագացումը տրված է որպես երկրաչափական սահմանային պայման, տեղաշարժը \(\eqref{eq:2.5.2}\) հավասարումից ստացվում է հետևյալ կերպ։

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Նմանապես, այն կետերում, որտեղ տրված է արագությունը, տեղաշարժը \(\eqref{eq:2.5.6}\) հավասարումից ստացվում է հետևյալ կերպ։

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Այստեղ՝ \(u_{is}(t+\Delta{t})\)-ը \(t+\Delta{t}\) պահին հանգուցային տեղաշարժն է, իսկ \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\)-ը՝ \(t+\Delta{t}\) պահին հանգուցային արագությունը, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\)-ը \(t+\Delta{t}\) պահին հանգուցային արագացումն է, \(i\)-ն՝ հանգույցի ազատության աստիճանի համարը, իսկ \(s\)-ը՝ հանգույցի համարը։ Զանգվածի և մարման անդամները մշակվում են հետևյալ կերպ։

Զանգվածի անդամի մշակում

Սկզբունքորեն զանգվածի մատրիցը դիտարկվում է որպես կենտրոնացված զանգվածի մատրից։

Մարման անդամի մշակում

Մարման անդամը դիտարկվում է որպես Rayleigh-ի մարում, որը տրված է \(\eqref{eq:2.5.8}\) հավասարմամբ։

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Այստեղ \(R_m\)-ը և \(R_k\)-ն Rayleigh-ի մարման պարամետրերն են։

!DYNAMIC քարտում նշված \(R_m\) և \(R_k\) արժեքները միատեսակ կիրառվում են ամբողջ մոդելի նկատմամբ։ Յուրաքանչյուր նյութի համար տարբեր \(R_m\) և \(R_k\) արժեքներ նշանակելու համար տվյալ նյութի !MATERIAL բլոկի ներսում նշեք !DAMPING քարտը։ Այն տարրերի համար, որոնք պատկանում են այն նյութին, որի համար նշված է !DAMPING, տարրի զանգվածի մատրիցից \(M_i\) և տանգենցիալ կոշտության մատրիցից \(K_i\) տարրի մարման մատրիցը հաշվարկվում է որպես \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) և հավաքվում է գլոբալ մարման մատրիցում։ Այս գործառույթը գործում է միայն անբացահայտ մեթոդի համար։

Բացահայտ մեթոդ (կենտրոնական տարբերությունների մեթոդ)

Բացահայտ մեթոդը հիմնվում է ստորև բերված՝ t պահին շարժման հավասարման վրա։

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

\(t + \Delta t\) և \(t - \Delta t\) պահերի տեղաշարժերը \(t\) պահի շուրջ Taylor-ի ընդլայնմամբ արտահայտելով և \(\Delta t\)-ի նկատմամբ մինչև երկրորդ կարգի անդամները պահելով՝ ստացվում են հետևյալ հավասարումները։

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.3}\) և \(\eqref{eq:2.5.4}\) հավասարումների տարբերությունից և գումարից ստացվում են հետևյալ հավասարումները։

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.12}\) և \(\eqref{eq:2.5.13}\) հավասարումները \(\eqref{eq:2.5.9}\) հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստացվում է հետևյալ հավասարումը։

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Մասնավորապես, գծային խնդրի դեպքում \(Q(t) = K_L U(t)\), և վերևի հավասարումը ստանում է հետևյալ տեսքը։

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Եթե զանգվածի \(M\) մատրիցը ընդունվում է որպես կենտրոնացված զանգվածի մատրից, իսկ մարման մատրիցը՝ որպես համեմատական մարման \(C = R_m M\) մատրից, ապա \(\eqref{eq:2.5.15}\) հավասարումը չի պահանջում հավասարումների համակարգի լուծում։

Հետևաբար, \(\eqref{eq:2.5.15}\) հավասարումից \(U(t+\Delta t)\)-ը կարելի է ստանալ հետևյալ հավասարմամբ։

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Առնչվող թեմաներ