Մոդալ վերլուծություն¶

Ընդհանրացված սեփական արժեքների խնդիր¶

Շարունակական միջավայրի ազատ տատանումների վերլուծության համար տիրույթը տարածականորեն դիսկրետացվում և մոդելավորվում է կենտրոնացված զանգվածներով բազմաազատության աստիճանների համակարգով, ինչպես ցույց է տրված նկար 2.3.1-ում։ Առանց մարման ազատ տատանումների խնդրի դեպքում կառավարող հավասարումը (շարժման հավասարումը) հետևյալն է։

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Այստեղ $u$-ն ընդհանրացված տեղաշարժի վեկտորն է, $M$-ը՝ զանգվածի մատրիցը, իսկ $K$-ն՝ կոշտության մատրիցը։ Թող $\omega$-ն լինի բնական անկյունային հաճախականությունը, $a$-ն և $b$-ն՝ կամայական հաստատուններ, որոնք միաժամանակ զրո չեն, իսկ $x$-ը՝ վեկտոր։ Սահմանենք հետևյալ ֆունկցիան՝

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Այս արտահայտության երկրորդ ածանցյալը հետևյալն է՝

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

$\eqref{eq:2.3.2}$ և $\eqref{eq:2.3.3}$ հավասարումները $\eqref{eq:2.3.1}$ հավասարման մեջ տեղադրելով՝ ստացվում է՝

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Ստացվում է վերևի հավասարումը։

Ոչ տրիվիալ տատանման դեպքում $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ արտահայտությունը նույնաբար զրո չէ։

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Հետևաբար ստացվում է վերևի առնչությունը։ Ընդունելով $\lambda=\omega^2$՝ ստացվում է՝

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Ստացվում է վերևի հավասարումը։

$\lambda$ սկալյարը կոչվում է սեփական արժեք, $x$ վեկտորը՝ սեփական վեկտոր, իսկ $\eqref{eq:2.3.5}$ հավասարմամբ արտահայտվող խնդիրը՝ ընդհանրացված սեփական արժեքների խնդիր։

Բնական անկյունային հաճախականությունը $\omega$ ստացվում է $\lambda=\omega^2$ սեփական արժեքից, իսկ համապատասխան $x$ սեփական վեկտորը ներկայացնում է մոդի ձևը։

Առանց մարման ազատ տատանումների բազմաազատության աստիճանների համակարգի օրինակ

Նկար 2.3.1 Առանց մարման ազատ տատանումների բազմաազատության աստիճանների համակարգի օրինակ

Մատրիցների հատկություններ և ենթադրություններ¶

Նախորդ բաժնում ստացված $Kx=\lambda Mx$ ընդհանրացված սեփական արժեքների խնդրի համար այս ձեռնարկում մատրիցները ենթադրվում են սիմետրիկ։ Կոմպլեքս մատրիցների դեպքում դա համապատասխանում է Հերմիտյան մատրիցներին, իսկ իրական մատրիցների դեպքում՝ սիմետրիկ մատրիցներին։

Թող $k_{ij}$-ն լինի $K$ մատրիցի $ij$ տարրը։ Հերմիտյան հատկությունը արտահայտվում է՝

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

վերևի հավասարմամբ, որտեղ $\bar{k}_{ji}$-ն $k_{ji}$-ի կոմպլեքս-համալուծն է։ Իրական մատրիցների համար այս առնչությունը դառնում է $k_{ij}=k_{ji}$։

Իրական սիմետրիկ $H$ մատրիցը դրական որոշակի է, եթե յուրաքանչյուր ոչ զրոյական $x$ վեկտորի համար

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

բավարարվում է վերևի անհավասարությունը։ Այդ դեպքում $H$-ի բոլոր սեփական արժեքները դրական են։

Կառուցվածքային սեփական արժեքների խնդրում զանգվածի $M$ մատրիցը սովորաբար դիտարկվում է որպես դրական որոշակի։ Սակայն կոշտության $K$ մատրիցը, կախված սահմանափակումներից, կարող է լինել դրական կիսորոշակի և ունենալ կոշտ մարմնի մոդերին համապատասխանող զրոյական սեփական արժեքներ։

Շեղումով հակադարձ իտերացիայի մեթոդ¶

Վերջավոր տարրերի մեթոդով կառուցվածքային վերլուծությունում գործնականում սովորաբար բոլոր սեփական արժեքները պետք չեն. շատ դեպքերում բավարար են ցածր կարգի ընդամենը մի քանի սեփական արժեքներ։ HEC-MW-ը նախատեսված է մեծածավալ խնդիրների համար, որոնցում մատրիցները մեծ են և խիստ նոսր (պարունակում են բազմաթիվ զրոյական տարրեր)։ Ուստի կարևոր է՝ այս հատկությունը հաշվի առնելով, արդյունավետորեն հաշվարկել ցածր կարգի մոդերի սեփական արժեքները։

$\sigma$ շեղման դեպքում, եթե $-\sigma$-ն սեփական արժեք չէ, իսկ $K+\sigma M$-ը ոչ սինգուլյար է, ապա $\eqref{eq:2.3.5}$ հավասարումը կարելի է վերափոխել հետևյալ կերպ։

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Այս վերափոխումը $x$ սեփական վեկտորը թողնում է անփոփոխ, իսկ $\lambda$ սեփական արժեքը արտապատկերում է $1/(\lambda+\sigma)$-ի։

Հետևաբար, որքան $\lambda$-ն մոտ է $-\sigma$-ին, այնքան մեծ է վերափոխված սեփական արժեքի բացարձակ արժեքը։ Կառուցվածքային սեփական արժեքների խնդրի համար $\lambda \geq 0$ և $\sigma \geq 0$, ուստի ամենափոքր սեփական արժեքը արտապատկերվում է ամենամեծ բացարձակ արժեքն ունեցող սեփական արժեքի։ Այս հատկությունն օգտագործելով՝ $\eqref{eq:2.3.8}$ հավասարման նկատմամբ այնպիսի իտերացիոն մեթոդ կիրառելը, որը նախ հակված է զուգամիտելու մեծ բացարձակ արժեքներով սեփական արժեքներին, թույլ է տալիս ցածր կարգի սեփական արժեքներն արդյունավետ ստանալ աճման կարգով։

Այս մեթոդը կոչվում է շեղումով հակադարձ իտերացիա։

Սահմանափակումներով վերլուծությունների համար FrontISTR-ը սահմանում է $\sigma = 0$, և $\eqref{eq:2.3.8}$ հավասարումը դառնում է $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, այսինքն՝ հակադարձ իտերացիա առանց շեղման։ Չսահմանափակված ազատ-ազատ վերլուծությունում $K$-ն սինգուլյար է, քանի որ ունի կոշտ մարմնի մոդերին համապատասխանող զրոյական սեփական արժեքներ. $\sigma$-ին դրական արժեք տալը ռեգուլյարացնում է $K+\sigma M$-ը։ $\sigma$-ի արժեքը նշվում է !EIGEN-ի SIGMA պարամետրով։

Lanczos-ի մեթոդ¶

Կիրառման հիմնավորում (համեմատություն Jacobi-ի մեթոդի հետ)¶

Դասական մեթոդներից լայնորեն հայտնի է Jacobi-ի մեթոդը։

Այս մեթոդն արդյունավետ է, երբ մատրիցը փոքր է և խիտ։ Սակայն HEC-MW-ում մշակվող մատրիցները մեծ են և նոսր, ուստի Jacobi-ի մեթոդը չի կիրառվում. դրա փոխարեն օգտագործվում է Lanczos-ի իտերացիոն մեթոդը։

Ալգորիթմը և բնութագրերը¶

1950-ականներին C. Lanczos-ի առաջարկած այս մեթոդը մատրիցը եռանկյունագծային տեսքի բերելու ալգորիթմ է և ունի հետևյալ բնութագրերը։

Այն իտերացիոն մեթոդ է և թույլ է տալիս հաշվարկել՝ մատրիցը նոսր պահելով։
Գործողությունները հիմնականում մատրից-վեկտոր արտադրյալներ են, ուստի այն լավ է հարմարվում զուգահեռացմանը։
Այն լավ է հարմարվում վերջավոր տարրերի ցանցերին համապատասխանող երկրաչափական տիրույթի բաժանմանը։
Արդյունավետ հաշվարկ կարելի է կատարել՝ սահմանափակելով ստացվող սեփական արժեքների քանակը կամ մոդերի տիրույթը։

Lanczos-ի մեթոդը սկսվում է սկզբնական վեկտորից, հաջորդաբար կառուցում է օրթոգոնալ վեկտորներ և ստանում Krylov-ի ենթատարածության հիմք։

Վերջավոր ճշտությամբ թվաբանության դեպքում կլորացման սխալը կարող է բերել վեկտորների օրթոգոնալության կորստի։ Այդ ազդեցությունը նվազեցնելու համար FrontISTR-ի իրականացումը յուրաքանչյուր վեկտորը վերաօրթոգոնալացնում է արդեն ստացված Lanczos-ի հիմքային վեկտորների նկատմամբ։

Երկրաչափական մեկնաբանություն (Krylov-ի ենթատարածություն)¶

$\eqref{eq:2.3.8}$ հավասարման մեջ կատարելով հետևյալ փոփոխականների փոխարինումը՝

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

խնդիրը կարելի է վերագրել հետևյալ տեսքով՝

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Ստացվում է վերևի հավասարումը։

Կամայական ոչ զրոյական $q_0$ վեկտորի համար՝

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

այս վեկտորների առաջացրած տարածությունը՝

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

կոչվում է Krylov-ի ենթատարածություն։

Lanczos-ի մեթոդը հաջորդաբար կառուցում է այս Krylov-ի ենթատարածության հիմքը։

FrontISTR-ը օգտագործում է զանգվածի $M$ մատրիցին առնչվող հետևյալ սկալյար արտադրյալը՝

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

հիմքը օրթոնորմավորելու համար։ Հաջորդ նկարներում նշված $\langle x,y\rangle$ սկալյար արտադրյալը և $\|x\|$ նորմը FrontISTR-ի հաշվարկներում մեկնաբանվում են համապատասխանաբար որպես այս $M$-սկալյար արտադրյալը և դրան համապատասխանող $M$-նորմը՝

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

համապատասխանաբար։

Կամայական $q_0$ վեկտորի նկատմամբ կիրառենք $A$ մատրիցով սահմանված գծային փոխակերպումը, ինչպես ցույց է տրված նկար 2.3.2-ում։

$$A$ մատրիցով $q_0$-ի գծային փոխակերպումը$

Նկար 2.3.2 $A$ մատրիցով $q_0$-ի գծային փոխակերպումը

Փոխակերպված վեկտորը օրթոգոնալացվում է իր և սկզբնական վեկտորի առաջացրած տարածությունում։ Մասնավորապես, կատարվում է Gram-Schmidt-ի օրթոգոնալացում, ինչպես ցույց է տրված նկար 2.3.3-ում։ Ստացված վեկտորը նշանակենք $r_1$. այն նորմավորելով՝ ստանում ենք $q_1$։

$q_0\)-ին օրթոգոնալ վեկտոր՝ \(q_1$

Նկար 2.3.3 $q_0$-ին օրթոգոնալ վեկտոր՝ $q_1$

Նույն ընթացակարգով $q_1$-ից ստացվում է $q_2$։ Այստեղ $q_2$-ը օրթոգոնալ է և՛ $q_1$-ին, և՛ $q_0$-ին, ինչպես ցույց է տրված նկար 2.3.4-ում։

$q_1\)-ին և $q_0$-ին օրթոգոնալ վեկտոր՝ \(q_2$

Նկար 2.3.4 $q_1$-ին և $q_0$-ին օրթոգոնալ վեկտոր՝ $q_2$

Այս կերպ Lanczos-ի մեթոդը հաջորդաբար կառուցում է Krylov-ի ենթատարածության օրթոնորմալ հիմք։ Տեսականորեն սեփական արժեքների խնդրի սիմետրիկությունը թույլ է տալիս այս իտերացիան արտահայտել վերջին հիմքային վեկտորները ներառող եռանդամ ռեկուրենտ առնչությամբ։

Սակայն FrontISTR-ի իրականացումը, վերջավոր ճշտությամբ թվաբանությունից առաջացած օրթոգոնալության կորուստը նվազեցնելու համար, յուրաքանչյուր վեկտորը $M$-սկալյար արտադրյալի միջոցով վերաօրթոգոնալացնում է արդեն ստացված Lanczos-ի հիմքային վեկտորների նկատմամբ։

Եռանկյունագծայնացում¶

FrontISTR-ի Lanczos-ի իտերացիայում հիմքային վեկտորները օրթոնորմավորվում են նախորդ բաժնում նկարագրված $M$-սկալյար արտադրյալի նկատմամբ, ուստի

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

բավարարվում է վերևի առնչությունը։

Օգտագործելով $\eqref{eq:2.3.10}$ հավասարման $A$ մատրիցը՝ տեսական Lanczos-ի իտերացիան

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

արտահայտվում է վերևի եռանդամ ռեկուրենտ առնչությամբ։

Նախ $\alpha_i$-ն սահմանվում է հետևյալ կերպ։

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Այնուհետև նախնական մնացորդը սահմանենք՝

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

ինչպես ցույց է տրված վերևում։

Վերջավոր ճշտությամբ թվաբանությունից առաջացած օրթոգոնալության կորուստը նվազեցնելու համար FrontISTR-ի իրականացումը $\tilde{r}_{i+1}$-ը $M$-սկալյար արտադրյալի միջոցով վերաօրթոգոնալացնում է արդեն ստացված Lanczos-ի հիմքային վեկտորների նկատմամբ։ Եթե $r_{i+1}$-ը վերաօրթոգոնալացումից հետո մնացորդն է, ապա՝

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

բավարարվում են վերևի առնչությունները։

Lanczos-ի իտերացիայով ստացված $m$ հիմքային վեկտորները միավորենք՝

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Այնուհետև Lanczos-ի վերջավոր թվով իտերացիաներից հետո՝

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

բավարարվում է վերևի առնչությունը։

Այստեղ $e_m$-ը $m$-չափանի միավոր վեկտոր է, որի $m$-րդ բաղադրիչը 1 է, իսկ մյուս բաղադրիչները՝ զրո, և՝

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

սիմետրիկ եռանկյունագծային մատրից է։

Այսպիսով, սկզբնական մեծածավալ սեփական արժեքների խնդրի սեփական արժեքները կարելի է մոտարկել՝ հաշվելով $T_m$ եռանկյունագծային մատրիցի սեփական արժեքները։

Առնչվող թեմաներ¶

Հաճախականային արձագանքի վերլուծություն — մոդալ վերլուծության արդյունքների օգտագործմամբ հաճախականային արձագանք
Վերլուծության տեսակներ — մոդալ վերլուծության գործառական ակնարկ