Անցնել պարունակությանը

Հաճախականային արձագանքի վերլուծություն

Խնդրի ձևակերպում

Հաճախականային արձագանքի վերլուծությունը հաճախականային տիրույթում գնահատում է համակարգի հաստատված արձագանքի ամպլիտուդն ու փուլը, երբ արտաքին ուժը ժամանակի ընթացքում հարմոնիկորեն փոփոխվում է։ Քանի որ շարժման ղեկավարող հավասարումը մարումով և առանց մարումների տարբեր կերպ է մշակվում, այս գլուխը նախ առանց մարումների ազատ տատանումից ստանում է սեփական մոդերը, ապա դրանք օգտագործում է որպես մոդալ հիմք՝ մարումով հարմոնիկ արձագանքը ընդլայնելու համար։

Առանց մարումների ազատ տատանում և սեփական մոդեր

Մարումը անտեսելու դեպքում շարժման հավասարումն է՝

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Տեղաշարժը ըստ յուրաքանչյուր սեփական մոդի ընդլայնելով՝ ստացվում է

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Սա Eq.\(\eqref{eq:2.6.1}\)-ում տեղադրելով՝ ստացվում է

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Սա ընդհանրացված սեփական արժեքների խնդիր է։ Դրա թվային լուծման մեթոդները, ներառյալ շեղված հակադարձ իտերացիան և Lanczos մեթոդը, նկարագրված են Մոդալ վերլուծություն-ում։ Այս բաժինը ամփոփում է ստացված սեփական հաճախականությունների և սեփական մոդերի այն հատկությունները, որոնք օգտագործվում են հետագա հարմոնիկ արձագանքի ընդլայնման մեջ։

Սեփական հաճախականությունների իրական լինելը

Սեփական հաճախականության իրական լինելը կարելի է ցույց տալ հետևյալ կերպ։ Դնենք \(\omega_j^2 = \lambda_j\)։ Eq.\(\eqref{eq:2.6.3}\)-ի կոմպլեքս զուգորդյալը վերցնելով՝ ստացվում է Eq.\(\eqref{eq:2.6.4}\)։

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

\(\overline{U}_J^T\)-ով բազմապատկելով՝ ստացվում է

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\)-ից՝

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Քանի որ զանգվածի մատրիցը սիմետրիկ դրական որոշյալ է, ոչ զրոյական սեփական վեկտորի համար ունենք

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Հետևաբար՝

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Այսպիսով, \(\omega_j^2 = \lambda_j\)-ն իրական է։

Սեփական մոդերի օրթոգոնալություն և նորմավորում

Դիտարկենք երկու տարբեր մոդեր։

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Այստեղից հետևում է, որ

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

իսկ երբ սեփական արժեքները տարբեր են՝

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Այսպիսով, տարբեր սեփական մոդերը զանգվածի մատրիցի նկատմամբ օրթոգոնալ են։ Նույն մոդի համար զանգվածի մատրիցի նկատմամբ նորմավորումը, ինչպես Eq.\(\eqref{eq:2.6.12}\)-ում, պարզեցնում է հետագա մշակումը։

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Հարմոնիկ արձագանք մարումով

Այժմ ներկայացվում է մարումով հաճախականային արձագանքի վերլուծության ձևակերպումը։ Շարժման ղեկավարող հավասարումը տրվում է Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\)-ով։

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Ենթադրվում է, որ մարման անդամը Rayleigh տիպի է և արտահայտվում է Eq.\(\eqref{eq:2.6.14}\)-ով։

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Մոդալ վերլուծությունից ստացված սեփական վեկտորներով t պահին տեղաշարժի վեկտորը կարելի է ընդլայնել ինչպես Eq.\(\eqref{eq:2.6.15}\)-ում։

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Ենթադրենք արտաքին ուժի անդամը ունի հետևյալ հարմոնիկ տեսքը՝

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Այնուհետև որոշում ենք \(b_{j}(t)\)-ն։ Քանի որ Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\)-ի շարժման հավասարումը հարկադիր տատանման ձև ունի՝

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

կապը գործում է։ Ընդլայնման \(b_{j}(t)\) գործակցի իրական և կեղծ մասերը համապատասխանաբար տրվում են Eqs.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) և \(\eqref{eq:2.6.19}\)-ով։

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Սրանով ստացվում են պահանջվող հարմոնիկ արձագանքի գործակիցները։

Առնչվող թեմաներ