Անցնել պարունակությանը

Ոչ կայուն ջերմահաղորդման վերլուծություն

Ներկայացվում են պինդ մարմնի ջերմահաղորդման վերլուծության ժամանակային դիսկրետացումն ու կրկնողական լուծումը վերջավոր տարրերի մեթոդով։ Շարունակական միջավայրի կառավարող հավասարման և սահմանային պայմանների համար տե՛ս ջերմահաղորդման հավասարումը։

Դիսկրետ հավասարում (ելակետ)

Ջերմահաղորդման հավասարումը (ջերմահաղորդման հավասարման բանաձև (gov_he_main)) Galerkin-ի մեթոդով դիսկրետացնելիս ստացվում է՝

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

որտեղ

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

այստեղ \(K\), \(M\), \(F\), \(N\)-ը համապատասխանաբար ջերմահաղորդման մատրիցն են (ներառյալ սահմանային ներդրումների կոնվեկցիոն և ճառագայթային անդամները), զանգվածի մատրիցը, ջերմային բեռի վեկտորը և ձևի ֆունկցիաների մատրիցը։ Նյութական հատկությունների նշանների (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) և այլն) սահմանումները հետևում են ջերմահաղորդման հավասարմանը։

Ժամանակային դիսկրետացում և կրկնողական լուծում

\(\eqref{eq:2.4.8}\) հավասարումը ոչ գծային և ոչ կայուն հավասարում է։ Ժամանակը դիսկրետացնենք հետընթաց Euler-ի մեթոդով։ Եթե \(t=t_0\) պահին ջերմաստիճանը հայտնի է, ապա \(t=t_0+\Delta t\) պահին ջերմաստիճանը հաշվարկվում է հետևյալ հավասարումով։

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Դիտարկենք \(\eqref{eq:2.4.13}\) հավասարումը մոտավորապես բավարարող ջերմաստիճանի վեկտորը \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) և դրա բարելավմամբ ստացվող ավելի ճշգրիտ լուծումը \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\)։

Դրա համար նախ ջերմաստիճանի վեկտորը ներկայացնենք հետևյալ կերպ։

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Ջերմահաղորդման մատրիցի և ջերմաստիճանի վեկտորի արտադրյալը, զանգվածի մատրիցը և այլ անդամներ մոտավորապես ներկայացնենք հետևյալ կերպ։

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) և \(\eqref{eq:2.4.16}\) հավասարումները տեղադրելով \(\eqref{eq:2.4.13}\)-ում և անտեսելով երկրորդ ու ավելի բարձր կարգի անդամները՝ ստացվում է հետևյալ հավասարումը։

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Բացի այդ, ձախ կողմի գործակիցների մատրիցը մոտավորապես գնահատվում է հետևյալ հավասարմամբ։

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Այստեղ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\)-ն շոշափող կոշտության մատրիցն է։

Այսպիսով, հետևյալ արտահայտությամբ կրկնողական հաշվարկ կատարելով կարելի է ստանալ \(t=t_0+\Delta t\) պահի ջերմաստիճանը։

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Հատկապես կայուն վերլուծության դեպքում կրկնողական հաշվարկը կատարվում է հետևյալ հավասարմամբ։

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Ոչ կայուն վերլուծության մեջ ժամանակային աճի \(\Delta t\) ընտրությունը, քանի որ ժամանակային դիսկրետացման համար կիրառվում է անուղղակի մեթոդ, ընդհանուր առմամբ կայունության պատճառով չափի սահմանափակում չունի։ Սակայն եթե \(\Delta t\)-ն չափազանց մեծ է, կրկնողական հաշվարկի կոնվերգենցիայի համար պահանջվող կրկնությունների քանակը մեծանում է։ Ընդհանուր առմամբ չափազանց մեծ \(\Delta t\)-ն մեծացնում է կրկնությունների քանակը։ Իրականացման մեջ վերահսկվում է մնացորդի վեկտորի մեծությունը․ դանդաղ կոնվերգենցիայի դեպքում \(\Delta t\)-ն փոքրացվում է, իսկ քիչ կրկնությունների դեպքում \(\Delta t\)-ն մեծացվում է։ Այս ավտոմատ աճային կառավարումը մանրամասն նկարագրված է քայլի կառավարման բաժնում։

Առնչվող թեմաներ