Անցնել պարունակությանը

Երկրաչափական սահմանային պայմանների մշակում

Newton-Raphson մեթոդը յուրաքանչյուր իտերացիայում լուծում է \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) գծային հավասարումը, սակայն երկրաչափական սահմանային պայմանները (տեղաշարժի սահմանափակումները) դեռ ներառված չեն այդ հավասարման մեջ։ Այս գլուխը ցույց է տալիս, թե ինչպես փոփոխել կոշտության \(\boldsymbol{K}\) մատրիցը և մնացորդի \(\boldsymbol{R}\) վեկտորը այն ազատության աստիճանների համար, որոնց կիրառվում են \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) տեղաշարժի սահմանափակումներ, որպեսզի իտերացիայից հետո տեղաշարժը հասնի տրված արժեքին։ Բազմակետային սահմանափակումները (MPC) և կոնտակտի հետ կապված ոչ գծային սահմանափակումները մշակվում են առանձին․ տես Բազմակետային սահմանափակումներ և Կոնտակտ։

Տեղաշարժի սահմանափակումները որպես անհայտ փոփոխականներ պահպանելու սկզբունք

Երկրաչափական սահմանային պայմանին ենթակա հանգույցի տեղաշարժն այլևս անհայտ փոփոխական չէ, այլ ֆիքսված է տրված \(\bar{u}_i\) արժեքին։ Այս ազատության աստիճանները հնարավոր է դիտարկել որպես հաստատուններ և վերացնել \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) գծային հավասարումից, սակայն FrontISTR-ը սահմանափակումներն իրականացնում է \(\boldsymbol{K}\) և \(\boldsymbol{R}\) փոփոխելով՝ միաժամանակ սահմանափակված ազատության աստիճանները մյուսների նման պահելով \(d\boldsymbol{u}\) ուղղման վեկտորի մեջ։

Այս մոտեցմամբ գործակիցների մատրիցի չափերն ու ազատության աստիճանների հերթականությունը չեն փոխվում սահմանափակումների առկայությունից, ուստի փոփոխականների վերացման և դատարկված տողերի ու սյունակների վերափաթեթավորման կարիք չկա։ Քանի որ նման վերափաթեթավորումը բարդ է նոսր մատրիցով գործակիցների մատրիցը պահող իրականացման մեջ, FrontISTR-ը կիրառում է վերջին մոտեցումը, որտեղ սահմանափակումներն իրականացվում են միայն գործակիցների մատրիցը և աջ կողմը թարմացնելով։

Newton-Raphson ուղղումների նպատակային արժեքը

Տեղաշարժով սահմանափակված \(i\) ազատության աստիճանի համար Newton-Raphson իտերացիայով ստացված \(du_i\) ուղղումը թող լինի՝

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1-ին իտերացիա}) \\ 0 & (\text{2-րդ և հաջորդ իտերացիաներ}) \end{cases} \]

Փոփոխեք \(\boldsymbol{K}\) և \(\boldsymbol{R}\) այնպես, որ ուղղումը ստանա այս արժեքը։ Արդյունքում առաջին իտերացիայում տեղաշարժի աճը հասնում է տրված \(\bar{u}_i\) արժեքին, իսկ երկրորդ և հաջորդ իտերացիաներից ուղղումը դառնում է \(0\) և տրված արժեքը պահպանվում է։

Մատրիցի և մնացորդի վեկտորի փոփոխման ընթացակարգ

Նախորդ բաժնում նկարագրված նպատակային արժեքը ստացվում է հետևյալ երկու փոփոխություններով՝ պահպանելով \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) գծային հավասարման ձևը։

  1. \(i\) տողի անկյունագծայնացում․ \(du_i\)-ի գործակից անկյունագծային \(K_{ii}\) անդամը փոխարինեք \(1\)-ով, բոլոր մյուս \(K_{ij}\ (j \not= i)\) գործակիցները՝ \(0\)-ով, և աջ կողմը սահմանեք \(R_i \to d\bar{u}_i\)։ Այդ դեպքում \(i\) տողի հավասարումը դառնում է \(du_i = d\bar{u}_i\)։
  2. Տեղափոխում \(j(\not= i)\) տողերից․ յուրաքանչյուր \(j(\not= i)\) տողի համար, եթե \(K_{ji} \not= 0\), \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) անդամը տեղափոխեք աջ կողմ։ Այսինքն՝ աջ կողմից հանեք \(K_{ji} d\bar{u}_i\) և \(du_i\)-ի \(K_{ji}\) գործակիցը սահմանեք \(0\)։

Բաղադրիչային տեսքով փոփոխությունից առաջ և հետո հավասարումները համապատասխանաբար ունեն հետևյալ տեսքը։

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Փոփոխված գործակիցների մատրիցն ու աջ կողմը նշանակենք համապատասխանաբար \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\)։ Վերջնական լուծվող գծային հավասարումն է՝

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Եթե կան մի քանի սահմանափակված ազատության աստիճաններ, վերևի 1 և 2 փոփոխությունները հաջորդաբար կիրառվում են յուրաքանչյուր սահմանափակված \(i\) ազատության աստիճանի համար։

Մշակման շրջանակը նոսր մատրիցային իրականացման մեջ

Իրականացման մեջ գործակիցների \(\boldsymbol{K}\) մատրիցը պահվում է նոսր մատրիցային ձևով։ Հետևաբար նախորդ բաժնի 2-րդ ընթացակարգում \(j(\not= i)\) տողերի մշակումը կատարվում է միայն այն տողերի համար, որոնց \(i\) սյունակում կան ոչ զրոյական տարրեր, այսինքն՝ այն հանգույցների ազատության աստիճանների համար, որոնք տարրերի միջոցով կապված են սահմանափակված \(i\) ազատության աստիճանին։ Չկապված ազատության աստիճանների դեպքում \(K_{ji} = 0\), ուստի անդամի տեղափոխումը չի փոխում աջ կողմը։ Այս սահմանափակումը թույլ է տալիս սահմանափակումների մշակումը կատարել միայն տեղային գործողություններով՝ համեմատած հանգույցների ընդհանուր թվի հետ։

Առնչվող թեմաներ