Lewati ke isi

Kriteria Konvergensi

Sebagai kondisi untuk menghentikan iterasi Newton-Raphson (Metode Newton-Raphson), FrontISTR menggunakan dua kelompok besaran tak berdimensi, yaitu kriteria norma residu dan kriteria norma koreksi. Keduanya memiliki definisi yang sama apa pun jenis analisis (analisis statik, analisis dinamik dengan metode implisit) dan ada-tidaknya kontak.

Pemisahan Besaran Penentuan

Derajat kebebasan node memuat komponen dengan dimensi fisik yang berbeda. Pada elemen 6 derajat kebebasan, residu terhadap derajat kebebasan translasi memiliki dimensi gaya, sedangkan residu terhadap derajat kebebasan rotasi memiliki dimensi momen. Selain itu, pada analisis kontak dengan metode pengali Lagrange (Analisis Kontak), vektor residu ditambah baris yang bersesuaian dengan celah kontak (dimensi panjang).

Jika semua ini digabungkan menjadi satu jumlah kuadrat, nilai norma dapat berubah bebas sesuai pilihan sistem satuan, sehingga makna ambang tidak menjadi tegas. Oleh karena itu, FrontISTR memisahkan besaran penentuan berdasarkan dimensinya, menjadikan masing-masing tak berdimensi dengan besaran acuan yang bersesuaian, baru kemudian melakukan penentuan.

Simbol Komponen Dimensi
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) residu derajat kebebasan translasi (derajat kebebasan node 1–3) gaya
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) residu derajat kebebasan rotasi (derajat kebebasan node 4–6, hanya elemen 6 derajat kebebasan) momen
\(d\boldsymbol{\lambda}\) koreksi pengali Lagrange gaya

Derajat kebebasan tekanan pada elemen kopling fluida (4 derajat kebebasan node, \(u,v,w,p\)) tidak dimasukkan ke dalam penentuan.

Pada elemen balok dan shell 3 derajat kebebasan node (641/761/781), rotasi direpresentasikan oleh derajat kebebasan 1–3 dari node dummy yang berpasangan dengan node translasi. Karena penentuan tidak membedakan node dummy, residu node dummy (momen) juga termasuk dalam komponen translasi \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Hal yang sama berlaku untuk kriteria norma koreksi dan penentuan berdasarkan nilai maksimum.

Residu \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) adalah residu yang tidak memuat komponen derajat kebebasan yang dikenai kendala perpindahan. Hal ini karena residu yang muncul pada derajat kebebasan tersebut bersesuaian dengan reaksi terkendala dan bukan merupakan kesalahan keseimbangan (Metode Newton-Raphson).

Kriteria Norma Residu

Residu \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) pada iterasi ke-\(i\) dijadikan tak berdimensi dengan besar gaya yang timbul pada sistem saat itu. Gaya acuan \(F_\mathrm{ref}\) untuk komponen translasi dan momen acuan \(M_\mathrm{ref}\) untuk komponen rotasi ditetapkan sebagai

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

di mana \(\boldsymbol{Q}\) adalah vektor gaya internal dan \(\boldsymbol{D}\) adalah jumlah gaya inersia dan gaya viskos

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(Metode Analisis Dinamik). Pada analisis statik, \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Indeks \(t, r\) masing-masing menyatakan komponen translasi dan komponen rotasi dari bagian sebelumnya. Besaran penentuan adalah

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

Gaya acuan diambil sebagai nilai maksimum dari norma gaya internal dan gaya inersia/viskos, bukan sebagai jumlah vektornya \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), karena pada getaran bebas tanpa gaya luar, keadaan keseimbangan memenuhi \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\), sehingga besaran acuan berbasis jumlah vektor jatuh menjadi \(0\). Dengan nilai maksimum dari norma, pembatalan semacam ini tidak terjadi.

Jika besaran acuan berada di bawah batas bawah yang ditetapkan sebelumnya (\(10^{-8}\)) (misalnya iterasi pertama yang dimulai dari keadaan tanpa beban), norma residu itu sendiri digunakan sebagai besaran penentuan tanpa dibagi dengan besaran acuan. Pada saat itu, penentuan dilakukan berdasarkan nilai absolut residu.

Kriteria Norma Koreksi

Koreksi \(d\boldsymbol{u}_i\) yang diperoleh pada iterasi ke-\(i\) dijadikan tak berdimensi oleh inkremen perpindahan \(\Delta\boldsymbol{u}\) yang telah terakumulasi hingga saat itu di dalam sublangkah.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Fakta bahwa koreksi telah menjadi cukup kecil relatif terhadap inkremen terakumulasi menunjukkan bahwa iterasi telah stagnan. Kriteria ini digunakan sebagai penentuan tambahan untuk masalah di mana residu hanya berkurang secara perlahan. Jika penyebutnya \(0\), kriteria ini dianggap tidak terpenuhi.

Kriteria Pengali Lagrange

Pada analisis kontak dengan metode pengali Lagrange, koreksi pengali yang dijadikan tak berdimensi oleh besar pengali itu sendiri ditambahkan ke penentuan:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Karena kendala celah kontak dimasukkan ke dalam sistem simultan sebagai persamaan terhadap pengali Lagrange, kendala dianggap terpenuhi apabila pengali telah konvergen. Residu celah itu sendiri, yang memiliki dimensi panjang, tidak dimasukkan ke dalam kriteria norma residu karena tidak dapat dijumlahkan dengan residu gaya.

Pengali Lagrange adalah gaya kontak dan memiliki dimensi yang sama dengan gaya acuan \(F_\mathrm{ref}\), sehingga penyebut dibatasi dari bawah oleh \(F_\mathrm{ref}\). Jika dijadikan tak berdimensi hanya dengan \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\), penentuan akan menjadi semakin ketat tanpa batas pada kondisi di mana kontak hampir tidak menanggung beban; selain itu, pada node yang baru saja masuk ke dalam kontak, berlaku \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) sedangkan \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), sehingga penentuan tidak dapat terpenuhi. Cara penanganan saat penyebut berada di bawah batas bawah sama dengan pada kriteria norma residu.

Penentuan Berdasarkan Nilai Maksimum

Karena norma L2 adalah jumlah kuadrat dari seluruh derajat kebebasan, residu yang hanya tertinggal pada sebagian node menjadi terencerkan ke seluruhnya dan dinilai semakin kecil seiring bertambahnya jumlah node. Untuk menangkap keadaan di mana keseimbangan tidak terpenuhi secara lokal, seperti pada node kontak, penentuan yang diperoleh dengan mengganti norma L2 pada masing-masing kriteria dari bagian sebelumnya dengan nilai maksimum nilai absolut komponen derajat kebebasan dapat digunakan secara bersamaan.

Nilai maksimum komponen translasi dari vektor \(\boldsymbol{v}\) ditetapkan terhadap node \(I\) dan derajat kebebasan node \(k\) sebagai

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Komponen rotasi \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) ditetapkan secara serupa untuk \(k = 4,5,6\), sedangkan untuk pengali Lagrange digunakan nilai maksimum nilai absolut seluruh komponen. Besaran penentuan diperoleh dengan mengganti norma L2 pada masing-masing kriteria, baik pada pembilang maupun penyebut, dengan nilai maksimum ini.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Hal yang sama berlaku untuk komponen rotasi. Cara penanganan saat besaran acuan berada di bawah batas bawah dan saat penyebut \(0\) sama dengan pada kriteria norma L2.

Besaran acuan juga diambil sebagai nilai maksimum dengan bentuk yang sama agar besar besaran penentuan tetap selevel dengan kriteria norma L2 dan dapat digunakan dengan ambang yang selevel. Besaran penentuan tidak dibagi dengan besaran acuan yang berbeda untuk setiap komponen derajat kebebasan. Hal ini karena pada arah tanpa beban, besaran acuan mendekati \(0\) dan besaran penentuan akan kehilangan maknanya.

Pada penentuan berdasarkan nilai maksimum, node dan derajat kebebasan yang menghasilkan nilai maksimum dapat ditentukan. FrontISTR mencetak hal ini, baik untuk residu maupun untuk koreksi, ke log untuk setiap iterasi.

Kombinasi Penentuan

Setiap besaran penentuan sejauh ini (residu, koreksi, dan pengali Lagrange; komponen translasi dan komponen rotasi; norma L2 dan nilai maksimum) dapat ditentukan secara individual apakah dipakai untuk penentuan (CHECK) atau tidak (SKIP). Secara bawaan, semua penentuan berdasarkan norma L2 berstatus CHECK, dan semua penentuan berdasarkan nilai maksimum berstatus SKIP.

Kriteria norma residu dan kriteria norma koreksi dianggap konvergen jika salah satunya terpenuhi. Sementara itu, karena kriteria pengali Lagrange adalah konfirmasi bahwa kendala kontak terpenuhi, kriteria ini selalu disyaratkan pada analisis yang memiliki pengali Lagrange. Di dalam satu kriteria, semua item berstatus CHECK di antara komponen translasi dan komponen rotasi, serta di antara norma L2 dan nilai maksimum, harus terpenuhi.

Untuk menyatakan hal ini dalam persamaan, ditetapkan dua hal berikut untuk sekelompok besaran penentuan \(G\):

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ terpenuhi} \ \vee\ m \text{ berstatus SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ berstatus CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) bernilai benar jika \(G\) tidak memuat satu pun besaran penentuan berstatus CHECK. Kondisi konvergensi adalah

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Kriteria Pengali Lagrange}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Kriteria Norma Koreksi}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Kriteria Norma Koreksi}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Kriteria Norma Residu}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Kriteria Norma Residu}) \right) \right\} \]

Alasan \(\mathrm{any\_check}\) dipasang pada kedua kelompok yang dihubungkan dengan "atau" adalah agar kelompok yang sama sekali tidak memiliki item CHECK tidak melewatkan penentuan tanpa diperiksa. Komponen rotasi pada analisis tanpa derajat kebebasan rotasi, dan kriteria pengali Lagrange pada analisis tanpa pengali Lagrange, tidak digunakan untuk penentuan meskipun berstatus CHECK. Dengan pengaturan bawaan, kondisi konvergensi menjadi

\[ \left( \text{Kriteria Pengali Lagrange} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{Kriteria Norma Koreksi} \right) \ \vee\ \left( \text{Kriteria Norma Residu} \right) \right\} \]

sehingga pada analisis dengan derajat kebebasan rotasi, komponen translasi dan komponen rotasi keduanya dievaluasi, sedangkan pada analisis tanpa pengali Lagrange, dievaluasi kondisi tanpa kriteria pengali Lagrange.

Untuk cara penetapan dan nilai bawaan ambang \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) pada penentuan berdasarkan norma L2, lihat !STEP; untuk ambang penentuan CHECK／SKIP dan berdasarkan nilai maksimum, lihat !CONVERG_PARAM; dan untuk pedoman pemilihan di antara kriteria, lihat Iterasi Nonlinear dan Integrasi Waktu (Fungsi).

Topik Terkait