Analisis Modal¶

Masalah Nilai Eigen Tergeneralisasi¶

Untuk analisis getaran bebas suatu kontinum, struktur didiskretisasi secara spasial dan dimodelkan sebagai sistem multi-derajat-kebebasan dengan massa terpusat, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3.1. Untuk masalah getaran bebas tanpa redaman, persamaan pengatur (persamaan gerak) adalah sebagai berikut.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Di sini, $u$ adalah vektor perpindahan tergeneralisasi, $M$ adalah matriks massa, dan $K$ adalah matriks kekakuan. Misalkan $\omega$ adalah frekuensi sudut alami, $a$ dan $b$ adalah konstanta sembarang yang tidak keduanya nol, dan $x$ adalah sebuah vektor. Definisikan fungsi

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Turunan keduanya adalah

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Dengan mensubstitusikan Persamaan $\eqref{eq:2.3.2}$ dan Persamaan $\eqref{eq:2.3.3}$ ke dalam Persamaan $\eqref{eq:2.3.1}$, diperoleh

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Dengan demikian diperoleh persamaan di atas.

Untuk getaran nontrivial, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ tidak identik dengan nol.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Karena itu, hubungan di atas berlaku. Dengan menetapkan $\lambda=\omega^2$, diperoleh

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Dengan demikian diperoleh persamaan di atas.

Skalar $\lambda$ disebut nilai eigen, vektor $x$ disebut vektor eigen, dan masalah yang dinyatakan oleh Persamaan $\eqref{eq:2.3.5}$ disebut masalah nilai eigen tergeneralisasi.

Frekuensi sudut alami $\omega$ diperoleh dari nilai eigen $\lambda=\omega^2$, dan vektor eigen terkait $x$ menyatakan bentuk mode.

Contoh sistem multi-derajat-kebebasan untuk getaran bebas tanpa redaman

Gambar 2.3.1 Contoh Sistem Multi-Derajat-Kebebasan untuk Getaran Bebas Tanpa Redaman

Sifat dan Asumsi Matriks¶

Untuk masalah nilai eigen tergeneralisasi $Kx=\lambda Mx$ yang diperoleh pada bagian sebelumnya, manual ini mengasumsikan bahwa matriks-matriksnya simetris. Untuk matriks kompleks, hal ini bersesuaian dengan matriks Hermitian; untuk matriks real, hal ini bersesuaian dengan matriks simetris.

Misalkan $k_{ij}$ adalah entri $ij$ dari matriks $K$. Sifat Hermitian dinyatakan oleh

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

persamaan di atas, dengan $\bar{k}_{ji}$ sebagai konjugat kompleks dari $k_{ji}$. Untuk matriks real, hubungan ini menjadi $k_{ij}=k_{ji}$.

Matriks real simetris $H$ bersifat definit positif apabila, untuk setiap vektor tak nol $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

pertidaksamaan di atas berlaku. Dalam hal ini, semua nilai eigen $H$ bernilai positif.

Dalam masalah nilai eigen struktur, matriks massa $M$ biasanya diperlakukan sebagai definit positif. Namun, matriks kekakuan $K$ dapat bersifat semidefinit positif, bergantung pada kondisi kendala, dan dapat memiliki nilai eigen nol yang bersesuaian dengan mode benda tegar.

Iterasi Invers Bergeser¶

Dalam analisis struktur elemen hingga praktis, umumnya tidak diperlukan semua nilai eigen; sering kali beberapa nilai eigen orde rendah saja sudah memadai. HEC-MW ditujukan untuk masalah berskala besar, yang matriksnya berukuran besar dan sangat jarang, dengan banyak entri nol. Karena itu, penting untuk menghitung nilai eigen mode orde rendah secara efisien dengan mempertimbangkan karakteristik tersebut.

Untuk pergeseran $\sigma$, jika $-\sigma$ bukan nilai eigen dan $K+\sigma M$ tidak singular, Persamaan $\eqref{eq:2.3.5}$ dapat ditransformasikan sebagai berikut.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Transformasi ini tidak mengubah vektor eigen $x$ dan memetakan nilai eigen $\lambda$ menjadi $1/(\lambda+\sigma)$.

Akibatnya, semakin dekat $\lambda$ ke $-\sigma$, semakin besar nilai mutlak nilai eigen hasil transformasi. Untuk masalah nilai eigen struktur, $\lambda \geq 0$ dan $\sigma \geq 0$, sehingga nilai eigen terendah dipetakan menjadi nilai eigen dengan nilai mutlak terbesar. Dengan memanfaatkan sifat ini, penerapan pada Persamaan $\eqref{eq:2.3.8}$ suatu metode iteratif yang cenderung lebih dahulu konvergen ke nilai eigen bernilai mutlak besar memungkinkan nilai eigen orde rendah diperoleh secara efisien dalam urutan menaik.

Metode ini disebut iterasi invers bergeser.

Untuk analisis dengan kendala, FrontISTR menetapkan $\sigma = 0$, dan Persamaan $\eqref{eq:2.3.8}$ menjadi $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, yaitu iterasi invers tanpa pergeseran. Dalam analisis bebas-bebas tanpa kendala, $K$ singular karena memiliki nilai eigen nol yang bersesuaian dengan mode benda tegar; pemberian nilai positif pada $\sigma$ meregularisasi $K+\sigma M$. Nilai $\sigma$ ditentukan oleh SIGMA dalam !EIGEN.

Metode Lanczos¶

Alasan Penggunaan (Perbandingan dengan Metode Jacobi)¶

Metode Jacobi merupakan metode klasik yang dikenal luas.

Metode ini efektif ketika matriks berukuran kecil dan padat. Namun, karena matriks yang ditangani HEC-MW berukuran besar dan jarang, metode Jacobi tidak digunakan; sebagai gantinya digunakan metode iteratif Lanczos.

Algoritme dan Karakteristik¶

Diusulkan oleh C. Lanczos pada tahun 1950-an, metode ini merupakan algoritme untuk mentridiagonalkan matriks dan memiliki karakteristik berikut.

Metode ini bersifat iteratif dan dapat melakukan komputasi sambil mempertahankan matriks tetap jarang.
Operasinya terutama berupa perkalian matriks-vektor, sehingga sangat sesuai untuk paralelisasi.
Metode ini sangat sesuai untuk dekomposisi domain geometris yang terkait dengan mesh elemen hingga.
Komputasi dapat dilakukan secara efisien dengan membatasi jumlah nilai eigen atau rentang mode yang akan diperoleh.

Metode Lanczos dimulai dari sebuah vektor awal, membentuk vektor-vektor ortogonal secara berturut-turut, dan memperoleh basis untuk subruang Krylov.

Dalam aritmetika presisi hingga, galat pembulatan dapat menyebabkan vektor-vektor kehilangan ortogonalitas. Untuk menekan pengaruh ini, implementasi FrontISTR melakukan ortogonalisasi ulang setiap vektor terhadap vektor basis Lanczos yang telah diperoleh.

Interpretasi Geometris (Subruang Krylov)¶

Dengan menerapkan transformasi variabel berikut pada Persamaan $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

masalah dapat ditulis ulang menjadi

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Dengan demikian diperoleh persamaan di atas.

Untuk suatu vektor tak nol sembarang $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ruang yang direntang oleh vektor-vektor tersebut,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

disebut subruang Krylov.

Metode Lanczos membangun basis untuk subruang Krylov ini secara berturut-turut.

FrontISTR menggunakan hasil kali dalam berikut yang terkait dengan matriks massa $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

untuk mengortonormalkan basis. Hasil kali dalam $\langle x,y\rangle$ dan norma $\|x\|$ yang ditunjukkan pada gambar-gambar berikut dalam perhitungan FrontISTR masing-masing diartikan sebagai hasil kali dalam-$M$ ini dan norma-$M$ yang bersesuaian

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

secara berurutan.

Terapkan transformasi linear yang didefinisikan oleh matriks $A$ pada vektor sembarang $q_0$, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3.2.

$Transformasi linear $q_0$ oleh matriks $A$$

Gambar 2.3.2 Transformasi Linear $q_0$ oleh Matriks $A$

Vektor hasil transformasi diortogonalkan di dalam ruang yang direntang olehnya bersama vektor semula. Secara khusus, ortogonalisasi Gram-Schmidt dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3.3. Misalkan vektor yang dihasilkan adalah $r_1$; dengan menormalisasikannya diperoleh $q_1$.

$Vektor $q_1$ yang ortogonal terhadap $q_0$$

Gambar 2.3.3 Vektor $q_1$ yang Ortogonal terhadap $q_0$

Prosedur yang sama menghasilkan $q_2$ dari $q_1$. Di sini, $q_2$ ortogonal terhadap $q_1$ maupun $q_0$, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3.4.

$Vektor $q_2$ yang ortogonal terhadap $q_1$ dan $q_0$$

Gambar 2.3.4 Vektor $q_2$ yang Ortogonal terhadap $q_1$ dan $q_0$

Dengan cara ini, metode Lanczos secara berturut-turut membangun basis ortonormal untuk subruang Krylov. Secara teoretis, simetri masalah nilai eigen memungkinkan iterasi ini dinyatakan sebagai relasi rekurensi tiga suku yang melibatkan vektor-vektor basis terbaru.

Namun, implementasi FrontISTR melakukan ortogonalisasi ulang setiap vektor terhadap vektor basis Lanczos yang telah diperoleh dengan menggunakan hasil kali dalam-$M$, untuk menekan hilangnya ortogonalitas akibat aritmetika presisi hingga.

Tridiagonalisasi¶

Dalam iterasi Lanczos FrontISTR, vektor-vektor basis diortonormalkan terhadap hasil kali dalam-$M$ yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, sehingga

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

hubungan di atas berlaku.

Dengan menggunakan matriks $A$ dari Persamaan $\eqref{eq:2.3.10}$, iterasi Lanczos teoretis adalah

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

yang dinyatakan oleh relasi rekurensi tiga suku di atas.

Pertama, $\alpha_i$ didefinisikan sebagai berikut.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Selanjutnya, definisikan residual sementara sebagai berikut.

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

seperti ditunjukkan di atas.

Untuk menekan hilangnya ortogonalitas akibat aritmetika presisi hingga, implementasi FrontISTR melakukan ortogonalisasi ulang $\tilde{r}_{i+1}$ terhadap vektor basis Lanczos yang telah diperoleh dengan menggunakan hasil kali dalam-$M$. Jika $r_{i+1}$ adalah residual setelah ortogonalisasi ulang, maka

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

hubungan-hubungan di atas berlaku.

Susun $m$ vektor basis yang diperoleh melalui iterasi Lanczos menjadi

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Kemudian, setelah sejumlah iterasi Lanczos yang berhingga,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

hubungan di atas berlaku.

Di sini, $e_m$ adalah vektor satuan berdimensi $m$ yang komponen ke-$m$-nya bernilai 1 dan komponen lainnya bernilai nol, dan

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

merupakan matriks tridiagonal simetris.

Dengan demikian, nilai eigen masalah nilai eigen asli berskala besar dapat dihampiri dengan menghitung nilai eigen matriks tridiagonal $T_m$.

Topik Terkait¶

Analisis Respons Frekuensi — Respons frekuensi menggunakan hasil analisis modal
Jenis Analisis — Gambaran umum fungsional analisis modal