Lewati ke isi

Verifikasi Menggunakan Model Geometri Sederhana

Analisis Statik Elastis

Verifikasi ini menggunakan balok kantilever yang di-mesh seperti ditunjukkan pada Gambar 9.1.1. Analisis dilakukan untuk tujuh kasus, exA hingga exG, dengan kondisi pembebanan yang divariasikan seperti ditunjukkan pada Gambar 9.1.2. Kasus exG memiliki kondisi pembebanan yang sama dengan exA, tetapi menggunakan solver langsung.

Hasil verifikasi untuk setiap kasus ditunjukkan pada Tabel 9.1.1 hingga 9.1.7.

Contoh mesh balok kantilever (elemen heksahedral) Gbr. 9.1.1 Contoh mesh balok kantilever (elemen heksahedral)
(a) exA, G: Beban terpusat
(b) exD: Gravitasi
(c) exB: Beban terdistribusi permukaan
(d) exE: Gaya sentrifugal
(e) exC: Beban volume
(f) exF : Beban panas
Item Nilai
Modulus Young \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Panjang \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Rasio Poisson \(\nu = 0.3\)
Luas penampang \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Densitas massa \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Momen inersia luas kedua \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Percepatan gravitasi \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Koefisien muai termal linier \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Gbr. 9.1.2 Kondisi verifikasi untuk model balok kantilever

Tabel 9.1.1 : exA: Hasil verifikasi masalah beban terpusat

Nama kasus Jumlah elemen Nilai Prediksi : \(\delta_{max}= -1.000\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 node
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 node
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 node
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 node
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 node
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 node
A731 40 - - -0.991 33 node / metode langsung
A741 20 - - -0.996 33 node / metode langsung

Tabel 9.1.2 : exB: Hasil verifikasi masalah beban terdistribusi permukaan

Nama kasus Jumlah elemen Nilai prediksi : \(\delta_{max}= -3.750\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 node
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 node
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 node
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 node
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 node
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 node
B731 40 - - -3.722 33 node / metode langsung
B741 20 - - -3.743 33 node / metode langsung

Tabel 9.1.3 : exC: Hasil verifikasi masalah beban volume

Nama kasus Jumlah elemen Nilai Prediksi : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 node / masalah tegangan bidang
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 node / masalah tegangan bidang
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 node / masalah tegangan bidang
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 node / masalah tegangan bidang
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 node
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 node
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 node
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 node
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 node
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 node
C731 40 - - -2.922e-5 33 node / metode langsung
C741 20 - - -2.938e-5 33 node / metode langsung

Tabel 9.1.4 : exD: Hasil verifikasi masalah gravitasi

Nama kasus Jumlah elemen Nilai Prediksi : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 node
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 node
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 node
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 node
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 node
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 node
D731 40 - - -2.922e-5 33 node / metode langsung
D741 20 - - -2.938e-5 33 node / metode langsung

Tabel 9.1.5 : exE: Hasil verifikasi masalah gaya sentrifugal

Nama kasus Jumlah elemen Nilai prediksi : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 node
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 node
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 node
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 node
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 node
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 node
E731 40 - - 2.619e-3 33 node / metode langsung
E741 20 - - 2.622e-3 33 node / metode langsung

Tabel 9.1.6 : exF: Hasil verifikasi masalah beban tegangan termal

Nama kasus Jumlah elemen Nilai Prediksi : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 node
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 node
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 node
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 node
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 node
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 node

Tabel 9.1.7 : exG: Hasil verifikasi metode langsung (masalah beban terpusat)

Nama kasus Jumlah elemen Nilai prediksi: δmax= -1.000 Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 node
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 node
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 node
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 node
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 node
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 node
G731 40 - - -0.991 33 node / metode langsung
G741 20 - - -0.996 33 node / metode langsung

Analisis Statik Nonlinear

(2-1) exnl1: Analisis Nonlinear Geometrik

Model verifikasi untuk kasus exI identik dengan model untuk kasus exA hingga exG. Gbr. 9.1.3 menunjukkan skema model verifikasi. Analisis nonlinear geometrik dilakukan pada model ini. Hasil verifikasi ditunjukkan pada Tabel 9.1.8.

Perhitungan nonlinear menggunakan beban acuan \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), dengan inkremen beban \(0.1P\) selama 10 langkah pembebanan.

Model verifikasi Gbr. 9.1.3 Model verifikasi

Tabel 9.1.8 exI: Hasil verifikasi (riwayat defleksi maksimum)

Nama kasus 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Solusi linear
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Analisis Deformasi Elastoplastik

Masalah verifikasi ini didasarkan pada National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Uji NL1 dari NAFEMS, dan melakukan analisis deformasi elastoplastik yang mencakup nonlinieritas geometrik dan beberapa hukum pengerasan. Gambar 9.1.4 menunjukkan model analisis.

Model analisis deformasi elastoplastik

Gbr. 9.1.4 Model analisis deformasi elastoplastik

(1) Kondisi verifikasi

Item Nilai
Material Material elastoplastik Mises
Modulus Young \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Rasio Poisson \(\nu=0.25\)
Tegangan luluh awal \(5\ \mathrm{MPa}\)
Regangan luluh awal \(0.25\times10^{-4}\)
Koefisien pengerasan isotropik \(H_i = 0\) atau \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Kondisi batas

Item Kondisi batas Nilai
Langkah 1 Perpindahan yang ditentukan pada node 2 dan 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Langkah 2 Perpindahan yang ditentukan pada node 2 dan 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Langkah 3 Perpindahan yang ditentukan pada node 3 dan 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Langkah 4 Perpindahan yang ditentukan pada node 3 dan 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Langkah 5 Perpindahan yang ditentukan pada node 2 dan 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Langkah 6 Perpindahan yang ditentukan pada node 2 dan 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Langkah 7 Perpindahan yang ditentukan pada node 3 dan 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Langkah 8 Perpindahan yang ditentukan pada node 3 dan 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Semua node yang tidak tercantum di sini dikekang sepenuhnya. Solusi teoretis untuk masalah ini adalah sebagai berikut.

Regangan (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Tegangan ekuivalen (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Sebagai perbandingan, hasil perhitungannya adalah sebagai berikut.

Regangan (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Tegangan ekuivalen (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analisis Kontak (1)

Masalah verifikasi ini didasarkan pada masalah contact patch test CGS-4 dari National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), dan menguji kemampuan kontak finite-sliding dengan gesekan. Gbr. 9.1.5 menunjukkan model analisis.

Model analisis kontak

Gbr. 9.1.5 Model analisis kontak

Kondisi keseimbangan untuk masalah ini adalah sebagai berikut.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Pada tahap gesekan sticking, gaya gesek adalah

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

dan pada tahap gesekan sliding, gaya tersebut adalah

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Dengan demikian, diperoleh hubungan di atas.

Perbandingan antara hasil perhitungan dan solusi analitis adalah sebagai berikut.

\(\mu\) \(F/G\) Solusi analitis \(F/G\) Hasil perhitungan
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Analisis Kontak (2): Masalah Kontak Hertz

Verifikasi ini menganalisis masalah kontak Hertz antara silinder yang panjangnya tak hingga dan bidang tak hingga. Jari-jari silinder adalah \(R = 8\ \mathrm{mm}\), sedangkan modulus Young \(E\) dan rasio Poisson \(\mu\) dari benda yang dapat berdeformasi masing-masing adalah \(1100\ \mathrm{MPa}\) dan \(0.0\). Area kontak diasumsikan cukup kecil dibandingkan jari-jari silinder, dan dengan mempertimbangkan simetri masalah, dianalisis model seperempat silinder.

Model analisis untuk masalah kontak Hertz Gbr. 9.1.6 Model analisis untuk masalah kontak Hertz

(1) Hasil Verifikasi Jari-jari Kontak

Rumus teoretis untuk menghitung jari-jari kontak adalah sebagai berikut:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

dengan

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Dengan demikian, diperoleh persamaan di atas. Dalam kondisi perhitungan ini, ketika tekanannya \(F=100\), jari-jari kontak adalah \(a=1.36\).

Gbr. 9.1.7 menunjukkan gaya nodal ekuivalen pada titik kontak. Jari-jari kontak diperoleh dengan mengekstrapolasi distribusi gaya nodal ini.

Distribusi gaya nodal ekuivalen pada titik kontak

Gbr. 9.1.7 Distribusi gaya nodal ekuivalen pada titik kontak

(2) Hasil Verifikasi Tegangan Geser Maksimum

Dalam solusi teoretis, pada posisi kontak

\[ z = 0.78a \]

tegangan geser maksimum adalah

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Nilai tersebut merupakan tegangan geser maksimum teoretis. Dalam kondisi perhitungan ini,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Dengan demikian, diperoleh nilai teoretis di atas. Sebagai perbandingan, hasil perhitungannya adalah

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Nilai tersebut merupakan hasil perhitungan.

Distribusi tegangan geser (nilai maksimum = 15.6 Gbr. 9.1.8 Distribusi tegangan geser (nilai maksimum = 15.6)

(3) Analisis Modal

Model verifikasi untuk kasus exJ dan exK identik dengan model untuk kasus exA hingga exG. Gbr. 9.1.9 menunjukkan skema model verifikasi. Analisis modal dilakukan pada model ini. Tiga frekuensi alami pertama dihitung. Kasus exJ menggunakan solver iteratif, sedangkan kasus exK menggunakan solver langsung. Hasil verifikasi ditunjukkan pada Tabel 9.1.9 hingga 9.1.12.

Model verifikasi Gbr. 9.1.9 Model verifikasi

Frekuensi alami balok kantilever diperoleh dari persamaan berikut.

Mode pertama

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Mode kedua

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Mode ketiga

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Nilai properti model verifikasi adalah

Item Nilai
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Dengan demikian, tiga frekuensi alami pertama adalah sebagai berikut:

Nomor mode Nilai
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabel 9.1.9 : exJ: Hasil verifikasi metode iteratif untuk frekuensi alami pertama

Nama kasus Jumlah elemen Nilai prediksi : n1=3.609e3 Catatan
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 node
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 node
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 node
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 node
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 node
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 node

Tabel 9.1.10 : Hasil verifikasi metode iteratif exJ untuk frekuensi alami kedua

Nama kasus Jumlah elemen Nilai prediksi : n2=2.262e4 Catatan
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 node
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 node
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 node
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 node
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 node
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 node

Catatan) Pada model tiga dimensi, dua mode pertama terdegenerasi. Oleh karena itu, frekuensi alami ketiga yang dihitung dicantumkan dalam tabel sebagai frekuensi alami kedua.

Tabel 9.1.11 : Hasil verifikasi metode langsung exK untuk frekuensi alami pertama

Nama kasus Jumlah elemen Nilai Prediksi : n1=3.609e3 Catatan
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 node
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 node
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 node
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 node
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 node
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 node
J731 40 - 3.606e3 220 node
J741 20 - 3.594e3 220 node

Tabel 9.1.12 : Hasil verifikasi metode langsung exK untuk frekuensi alami kedua

Nama kasus Jumlah elemen Nilai prediksi : n2=2.262e4 Catatan
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 node / masalah keadaan tegangan bidang
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 node / masalah keadaan tegangan bidang
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 node / masalah keadaan tegangan bidang
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 node
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 node
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 node
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 node
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 node
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 node
J731 40 - 2.156e4 220 node
J741 20 - 2.153e4 220 node

Catatan) Pada model tiga dimensi, dua mode pertama terdegenerasi. Oleh karena itu, frekuensi alami ketiga yang dihitung dicantumkan dalam tabel sebagai frekuensi alami kedua.

(4) Analisis Konduksi Panas

Kondisi umum untuk analisis konduksi panas keadaan tunak ditunjukkan pada Gambar 9.1.10. Kondisi individual untuk kasus verifikasi exM hingga exT ditunjukkan pada Gambar 9.1.11. Pembagian mesh setara dengan yang digunakan untuk exA.

Tabel 9.1.13 hingga 9.1.20 menyajikan hasil verifikasi setiap kasus dalam bentuk tabel distribusi temperatur.

Analisis konduksi panas
Panjang antara AB \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Luas penampang \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Ketergantungan temperatur dari konduktivitas termal

Konduktivitas termal \(\lambda\) (W/(m·K)) Temperatur (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Gbr. 9.1.10 : Kondisi verifikasi analisis konduksi panas keadaan tunak
exM: Material linier
exN: Masalah temperatur yang ditentukan
exO: Masalah fluks panas terpusat
exP: Masalah fluks panas terdistribusi
exQ: Masalah perpindahan panas konvektif
exR: Masalah perpindahan panas radiasi
exS: Masalah pembangkitan panas volume
exT: Masalah celah internal

Gbr. 9.1.11 : Kondisi analisis untuk setiap kasus verifikasi

Tabel 9.1.13 : Hasil verifikasi exM (perhitungan keadaan tunak material linier)

Nama kasus Jenis elemen Elemen/node Jarak dari ujung A (m)
Ujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Ujung B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabel 9.1.14 : Hasil verifikasi exN (masalah temperatur yang ditentukan)

Nama kasus Jenis elemen Elemen/node Jarak dari ujung A (m)
Ujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Ujung B
Komersial 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabel 9.1.15 : Hasil verifikasi exO (masalah fluks panas terpusat)

Nama kasus Jenis elemen Elemen/node Jarak dari ujung A (m)
Ujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Ujung B
Komersial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabel 9.1.16 : Hasil verifikasi exP (masalah fluks panas terdistribusi)

Nama kasus Jenis elemen Elemen/node Jarak dari ujung A (m)
Ujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Ujung B
Komersial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabel 9.1.17 : Hasil verifikasi exQ (masalah perpindahan panas konvektif)

Nama kasus Jenis elemen Elemen/node Jarak dari ujung A (m)
Ujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Ujung B
Komersial 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabel 9.1.18 : Hasil verifikasi exR (masalah perpindahan panas radiasi)

Nama kasus Jenis elemen Elemen/node Jarak dari ujung A (m)
Ujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Ujung B
Komersial 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabel 9.1.19 : Hasil verifikasi exS (masalah pembangkitan panas volume)

Nama kasus Jenis elemen Elemen/node Jarak dari ujung A (m)
Ujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Ujung B
Komersial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabel 9.1.20 : Hasil verifikasi exT (masalah celah internal)

Nama kasus Jenis elemen Elemen/node Jarak dari ujung A (m)
Ujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Ujung B
Komersial 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Analisis Dinamik Linear

Pada exW, analisis dinamik linear dilakukan pada balok kantilever yang sama seperti pada item (1). Gbr. 9.1.12 menunjukkan kondisi verifikasi. Untuk pembagian mesh yang sama, pengaruh inkremen waktu terhadap hasil diverifikasi. Metode integrasi waktu implisit dan eksplisit keduanya digunakan, dengan tipe elemen 361 dan 342. Hasil verifikasi ditunjukkan pada Tabel 9.1.22 dan Gbr. 9.1.13 hingga 9.1.15.

Model analisis Model Analisis

Riwayat waktu gaya luar F Riwayat waktu gaya luar F

Solusi teoretis untuk perpindahan titik eksitasi adalah sebagai berikut:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

dengan

\[ \(F_0:\ \text{Vektor konstan}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Gbr. 9.1.12 : Kondisi verifikasi analisis dinamik linear

Kondisi verifikasi:
Panjang \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Lebar penampang \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Tinggi penampang \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Modulus Young \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Rasio Poisson \(\nu\) \(0.3\)
Densitas \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Percepatan gravitasi \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Gaya luar \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Elemen Elemen heksahedral linier
Elemen tetrahedral orde dua
Solusi Metode implisit
Parameter metode Newmark-\(\beta\) \(\gamma\) 1/2
Parameter \(\beta\) metode Newmark-\(\beta\) 1/4
Metode eksplisit
Redaman Tidak ada

Tabel 9.1.21 : Kondisi verifikasi analisis dinamik linear (lanjutan)

Nama kasus Jenis elemen Jumlah node Jumlah elemen Metode Inkremen waktu \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Metode implisit 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Metode implisit 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Metode implisit 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Metode implisit 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Metode implisit 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Metode implisit 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Metode eksplisit 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Metode eksplisit 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Metode eksplisit 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Metode eksplisit 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Metode eksplisit 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Metode eksplisit 1.0E-07

Tabel 9.1.22 : Hasil verifikasi analisis dinamik linear exW (kantilever)

Nama kasus Jenis elemen Jumlah node Jumlah elemen Metode Perpindahan arah z pada waktu \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Metode implisit 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Metode implisit 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Metode implisit 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Metode implisit 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Metode implisit 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Metode implisit 1.9753 Divergen
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Metode eksplisit 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Metode eksplisit 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Metode eksplisit 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Metode eksplisit 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Metode eksplisit 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Metode eksplisit 1.9753 Divergen

Diagram deformasi dan distribusi tegangan ekuivalen kantilever Gbr. 9.1.13 : Diagram deformasi dan distribusi tegangan ekuivalen kantilever

(a) Jenis elemen 361 : Metode implisit (a) Jenis elemen 361 : Metode implisit

(b) Jenis elemen 361 : Metode eksplisit (b) Jenis elemen 361: Metode eksplisit

Gbr. 9.1.14 Riwayat waktu perpindahan titik eksitasi \(u_z\)

(a) Jenis elemen 342: Metode implisit (a) Jenis elemen 342: Metode implisit

(b) Jenis elemen 342: Metode eksplisit (b) Jenis elemen 342: Metode eksplisit

Gbr. 9.1.15 : Riwayat waktu perpindahan titik eksitasi \(u_z\)

Analisis Respons Frekuensi

Dalam verifikasi ini, analisis respons frekuensi dilakukan pada balok kantilever dan divalidasi melalui perbandingan dengan hasil dari solver komersial serbaguna. Model analisis dan kondisi verifikasi ditunjukkan di bawah ini.

Kondisi analisis:
Modulus Young \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Rasio Poisson \(\nu\) \(0.3\)
Densitas \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Percepatan gravitasi \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Beban \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parameter redaman Rayleigh \(R_m\) \(0.0\)
Parameter redaman Rayleigh \(R_k\) \(7.2E-07\)

Gbr. 9.1.16 : Model analisis (elemen tetrahedral orde pertama (126 elemen dan 55 node))

Lima frekuensi alami pertama yang diperoleh dari analisis modal dan respons frekuensi pada titik eksitasi ditunjukkan berikut ini.

mode FrontISTR Komersial
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Ketergantungan frekuensi dari magnitudo perpindahan titik eksitasi Gbr. 9.1.17 : Ketergantungan frekuensi dari magnitudo perpindahan titik eksitasi