Hoppa yfir í efnið

Skrið

Þessi kafli lýsir skrið-efnissambandinu sem FrontISTR notar. Nánari upplýsingar um val og inntaksskilgreiningar eru í aðgerðakaflanum 03_material.

Skriðfyrirbæri og sundurliðun formbreytingar í samlagða þætti

Tímaháð færsla við stöðugt spennuástand er fyrirbæri sem kallast „skrið“.

Hegðun með seigteygni sem lýst var hér að ofan má einnig líta á sem tegund línulegs skriðs. Hér er lýst nokkrum ólínulegum skriðhegðunum. Algeng aðferð er að setja efnissambandið fram með því að leggja þessa hegðun við formbreytinguna sem verður samstundis, og skilgreina formbreytinguna sem safnast upp á meðan tiltekið stöðugt álag varir sem skriðformbreytingu \(\varepsilon^c\). Efnissamband sem tekur tillit til skriðs er yfirleitt sett fram með skriðformbreytingarhraðanum \(\dot{\varepsilon}^c\), sem er skilgreindur sem fall af spennu og heildarskriðformbreytingu.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Ef formbreytingin sem verður samstundis er teygjuformbreytingin \(\varepsilon^e\), er heildarformbreytingin sett fram sem eftirfarandi summa sem felur í sér skriðformbreytinguna.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

þar sem

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) er teygnitensorinn).

Norton-lögmál

Sem tiltekið efnissamband fyrir skrið notar FrontISTR eftirfarandi Norton-líkan. Í þessu efnissambandi er jafngildur skriðformbreytingarhraði \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) settur fram sem fall af von Mises-spennunni \(q\) og tíma \(t\) sem hér segir.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Hér eru \(A\), \(m\) og \(n\) efnisfastar.

Tímaheildun og uppfærsla spennu

Eins og fyrir plastísk efni þarf að tilgreina tölulega tímaheildunaraðferð fyrir efnissamband sem sýnir skrið. Efnissambandið þegar tekið er tillit til skriðs er

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

þar sem \(\beta_{n+\theta}\) er

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Viðbót skriðformbreytingar \(\Delta \varepsilon^c\) er þá skilgreind með eftirfarandi einfaldaðri ólínulegri jöfnu:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

sem sett er jafnt núlli.

Í Newton–Raphson-ítruninni, með \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) sem upphafsspennu og með formbreytingarviðbótina sem fæst úr endanlegra staka aðferðinni, eru ítrunarlausnin og viðbótin gefnar með

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

þar sem

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

með Þegar ítrað er þar til leifin \(R\) verður \(\mathbf{0}\) eru spennan \(\sigma_{n+1}\) og snertilstuðullinn

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

notuð.

Tengd efni