Hoppa yfir í efnið

Lögunarföll þrívíðra rúmstaka

Fyrir lögunarföllin \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), sem kynnt voru í Lögunarföll og nálgun með endanlegum stökum, tekur þessi kafli saman náttúruleg hnitakerfi og nákvæm form lögunarfalla fyrir þrívíð rúmstök sem FrontISTR notar í samfelldnisgreiningu. Fjallað er um sex gerðir: fjórflötungsstök af fyrsta og öðru stigi (341 og 342), þrístrendingsstök af fyrsta og öðru stigi (351 og 352) og sexflötungsstök af fyrsta og öðru stigi (361 og 362). Um röð hnúta og númer flata í HEC-MW möskvasniðinu, sjá Stakasafn í eiginleikatilvísuninni.

Samsetning stakaheildunar út frá þessum lögunarföllum og Jacobi-ákveðunni fylgir Tölulegri heildun. B-bar-, F-bar- og ósamhæfðar framsetningar fyrir 361, ásamt lögunarföllum bita- og skeljastaka, eru teknar fyrir í Háþróuðum stakaframsetningum.

Náttúruleg hnitakerfi og innri hnútarröð

Lögunarföll eru skilgreind á náttúrulegum hnitum \(\boldsymbol{r}\) hvers staks. Fyrir þrívíð rúmstök eru eftirfarandi þrjú náttúruleg hnitakerfi notuð eftir lögun staksins.

  • Sexflötungur (361 og 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Fjórflötungur (341 og 342): rúmmálshnit \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). Sem óháðar breytur eru tekin \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) og \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) er skilgreint út frá þeim.
  • Þrístrendingur (351 og 352): rúmmálshnit grunnþríhyrningsins \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) eru sameinuð ásahnitinu \(\zeta \in [-1, 1]\) þannig að \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Hjálparstærðin \(a = 1 - \xi - \eta\) er notuð sem þriðja rúmmálshnit grunnflatarins.

Fyrir fyrsta stigs stök er röð hnútanúmera sú sama í HEC-MW inntakssniðinu og innra sniði FrontISTR. Fyrir annars stigs stök er venjan fyrir röð miðhnúta kanta mismunandi milli sniðanna. FrontISTR tekur við HEC-MW sniðinu í inntaki (hornhnútarnir koma fyrst í hringröð og síðan miðhnútar kantanna í röðinni 1-2, 2-3, ...), en lögunarföll stakasafnsins eru útfærð miðað við aðra hnútarröð.

Munurinn milli sniðanna er leystur með því að hecmw2fstr_mesh_conv, sem kallað er strax eftir lestur möskvans, endurraðar hnútunum fyrir hvert stak. Af þrívíðu rúmstökum þurfa eftirfarandi tvær gerðir umbreytingu.

Stakagerð Umbreytingartafla Innihald
342 (fjórflötungur, 2. stig) Table342 Endurraðar 10 hnútum í \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (þrístrendingur, 2. stig) Table352 Endurraðar 15 hnútum í \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Endurröðunin er gerð beint á geymslufylki stakatenginga, þannig að öll síðari köll í stakasafnið nota innri hnútarröð FrontISTR. Fyrir annars stigs sexflötungsstakið 362 er engin umbreytingartafla, þar sem röð miðhnúta kanta er sú sama í HEC-MW inntakssniðinu og innra sniði FrontISTR. Við úttak niðurstaðna er andhverfa umbreytingin fstr2hecmw_mesh_conv kölluð til að færa hnútarröðina aftur í HEC-MW snið áður en gögnin eru skrifuð. Notandinn þarf því aðeins að hafa HEC-MW sniðið í huga bæði við inntak og úttak. Hnútnúmerin í lögunarföllunum hér að neðan miðast við innra snið FrontISTR eftir umbreytingu.

Lögunarföll fyrsta stigs staka

Lögunarföll fyrsta stigs fjórflötungsstaks (341) eru rúmmálshnitin sjálf:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Lögunarföll fyrsta stigs þrístrendingsstaks (351) eru margfeldi línulegu lögunarfalla grunnþríhyrningsins (\(a, \xi, \eta\)) og línulegu lögunarfallanna í ásstefnu (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Lögunarfall fyrsta stigs sexflötungsstaks (361) er tensorfeldi línulegu lögunarfallanna í ásstefnunum þremur:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Hér táknar \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) náttúruleg hnit hnút \(\alpha\) (hver hnitþáttur er \(\pm 1\)).

Lögunarföll annars stigs staka

Lögunarföll annars stigs fjórflötungsstaks (342) skiptast í fjóra hornhnúta og sex miðhnúta kanta:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Miðhnútar 5–10 samsvara miðpunktum kantanna 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 og 3-4, í þeirri röð.

Lögunarföll annars stigs þrístrendingsstaks (352) samanstanda af sex hornhnútum, sex miðhnútum kanta á þríhyrningsflötunum og þremur miðhnútum kanta í ásstefnu:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Miðhnútar 7–9 samsvara miðpunktum kanta grunnþríhyrningsins (\(\zeta = -1\)), 10–12 miðpunktum kanta efri þríhyrningsins (\(\zeta = +1\)) og 13–15 miðpunktum kanta í ásstefnu.

Annars stigs sexflötungsstakið (362) er 20 hnúta stak af Serendipity-gerð. Látum náttúruleg hnit hnút \(\alpha\) vera \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Fyrir hornhnúta (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), hver hnitþáttur er \(\pm 1\)) gildir

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Fyrir miðhnúta kanta (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), þar sem eitt af náttúrulegu hnitunum þremur er \(0\) og hin tvö eru \(\pm 1\)), fyrir hnúta þar sem \(\xi_\alpha = 0\) (kantstefnan er \(\xi\)-ásinn), gildir

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Miðhnútar kanta í \(\eta\)- og \(\zeta\)-ásstefnu eru skilgreindir á sama hátt, með því að setja samsvarandi náttúrulegt hnit í ferningsliðinn sem fellur út.

Tengd atriði