Listi yfir tákn eðlisstærða
Á þessari síðu eru talin upp tákn fyrir eðlisstærðir sem notaðar eru í fræðihandbók FrontISTR. Um ritunarreglur (feitletrun vigra og tensora, summureglu Einsteins og Voigt-ritun), sjá Tensorritun og stærðfræðilegur grunnur.
Stöður og hnitakerfi
| Tákn | Lýsing |
| \(\boldsymbol{X}\) | Stöðuvigur efnispunkts í viðmiðunarstöðu (upphafsstöðu) (efnishnit) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Stöðuvigur efnispunkts í núverandi stöðu (rúmhnit) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Hreyfivörpun: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Svæði sem hluturinn tekur í viðmiðunarstöðu |
| \(\Omega\) | Svæði sem hluturinn tekur í núverandi stöðu |
| \(\Gamma_0\) | Jaðar \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Jaðar \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Rúmfræðilegur (færslu-)jaðar: jaðar í núverandi/viðmiðunarstöðu þar sem \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) er fyrirskipað |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Aflfræðilegur jaðar: jaðar í núverandi/viðmiðunarstöðu þar sem \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eða \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) er fyrirskipað |
| \(\boldsymbol{n}\) | Útvísandi einingarþvervigur að yfirborði í núverandi stöðu |
| \(\boldsymbol{N}\) | Útvísandi einingarþvervigur að yfirborði í viðmiðunarstöðu |
| \(t\) | Tími |
Regla: Eðlisstærðir í viðmiðunarstöðu eru táknaðar með hástöfum eða undirvísi \(0\), en stærðir í núverandi stöðu með lágstöfum.
Tími og skref (skrefagreining)
| Tákn | Lýsing |
| \(\Delta t\) | Tímaskref: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Eðlisstærð við tímann \(t\) (vinstri yfirvísir). Dæmi: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) er Cauchy-spennan við tímann \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Svæði núverandi stöðu við tímann \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Jaðar núverandi stöðu við tímann \(t\) |
Regla: Í skrefagreiningu er ástandið fram að tíma \(t\) meðhöndlað sem þekkt og ástandið við \(t + \Delta t\) leyst sem óþekkt. Vinstri yfirvísinum er sleppt þegar ekki þarf að taka tímann sérstaklega fram. Formúlugerð sem notar viðmiðunarstöðuna \(\Omega_0\) sem viðmiðun kallast Total Lagrange-formúlugerð, en formúlugerð sem notar núverandi stöðu \(^{t}\Omega\) í upphafi skrefs sem viðmiðun kallast Updated Lagrange-formúlugerð.
Færsla, hraði, hröðun og rúmkraftur
| Tákn | Lýsing |
| \(\boldsymbol{u}\) | Færsluvigur: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Færsla fyrirskipuð á rúmfræðilega jaðrinum \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Sýndarfærsla (próffall): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) á \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Hraðavigur: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Hröðunarvigur: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Rúmkraftur (á massaeiningu) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Togvigur (á flatarmálseiningu): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Tog fyrirskipað á aflfræðilega jaðrinum \(\Gamma_t\) (Neumann-gögn) |
Mismunavirkjar
| Tákn | Lýsing |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Efnisleg tímaafleiða (tímaafleiða fylgjandi sama efnispunkti): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Stigull í viðmiðunarstöðu (stigull með tilliti til efnishnita \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Stigull í núverandi stöðu (stigull með tilliti til rúmhnita \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Samhverfur stigulvirki: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Athugasemd: \(\nabla_X\) og \(\nabla_x\) tengjast með \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Stigull án undirvísis, \(\nabla\), er notaður þegar staðan er skýr af samhengi eða þegar greinarmunurinn hverfur, eins og í smáaflögunarverkefnum.
Aflögunartensorar
| Tákn | Lýsing |
| \(\boldsymbol{F}\) | Aflögunarstigull: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Rúmmálshlutfall: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Hægri Cauchy-Green-aflögunartensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Vinstri Cauchy-Green-aflögunartensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Hraðastigultensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Aflögunarhraðatensor (samhverfi hluti \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Snúningstensor (skew-samhverfi hluti \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Bjögunartensorar
| Tákn | Lýsing |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-bjögunartensor (viðmiðunarstaða): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-bjögunartensor (núverandi staða): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Línulegur hluti Almansi-bjögunartensors (samhverfur færslustigull í núverandi stöðu): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Smábjögunartensor (línuleg nálgun): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Athugasemd: \(\boldsymbol{E}\) er fyrst og fremst notaður í Total Lagrange-formúlugerð, en \(\boldsymbol{D}\) fyrst og fremst í Updated Lagrange-formúlugerð.
Spennutensorar
| Tákn | Lýsing |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spennutensor (sönn spenna, núverandi staða): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Fyrsti Piola-Kirchhoff-spennutensor (nafnspenna): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Annar Piola-Kirchhoff-spennutensor (viðmiðunarstaða, samhverfur): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Umbreytingarsambönd milli spennutensoranna:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Regla: Total Lagrange-formúlugerðin notar parið \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), en Updated Lagrange-formúlugerðin notar parið \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Eðlismassi og massi
| Tákn | Lýsing |
| \(\rho\) | Massaeðlismassi í núverandi stöðu |
| \(\rho_0\) | Massaeðlismassi í viðmiðunarstöðu |
Varðveisla massa: \(\rho_0 = J\rho\).
Efnisfastar (línuleg teygni)
| Tákn | Lýsing |
| \(E\) | Young-stuðull |
| \(\nu\) | Poisson-hlutfall |
| \(\lambda\) | Fyrsti Lamé-fasti: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Annar Lamé-fasti (skerstuðull): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Teygjutensor (fjórða stigs): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), þættir \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (eða \(\hat{\tilde{C}}\)) | Efnisfylki (Voigt-ritun, \(6\times6\) í þrívídd): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Þættir teygjutensors fyrir samsætt línulega teygjanlegt efni:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Ofurteygin efni
| Tákn | Lýsing |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Teygjumættisfall (þéttleikafall bjögunarorku) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Höfuðóbreytur hægri Cauchy-Green-tensorsins \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Minnkaðar óbreytur \(\boldsymbol{C}\) (rúmmálsbreyting aðskilin) |
| \(C_1, C_2\) | Efnisfastar Mooney-Rivlin-líkansins |
| \(D\) | Efnisfasti tengdur rúmmálsteygni |
Teygjuplastísk efni
| Tákn | Lýsing |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Teygjuþáttur aflögunarhraðatensors |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastþáttur aflögunarhraðatensors |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Flotfall |
| \(\kappa\) | Innri breyta sem táknar plastástandið (samsæt herðingarbreyta) |
| \(\lambda^p\) | Plastmargfaldari (margfaldari plastbjögunarhraða): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastmættisfall (\(\Theta = F\) fyrir tengda flæðireglu) |
| \(\bar{\sigma}\) | Jafngild spenna (t.d. von Mises-spenna) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Jafngild plastbjögun |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Samsætt herðingarfall |
Viðbótarskilyrði: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Endanlega staka aðferðin
| Tákn | Lýsing |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Svæði í núverandi og viðmiðunarstöðu nálguð með endanlegra staka dreifingu: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Svæði staks í núverandi og viðmiðunarstöðu |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Sá hluti jaðars staks sem tilheyrir aflfræðilega jaðrinum |
| \(\boldsymbol{r}\) | Náttúruleg hnit (staðbundin hnit staks) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punktur í náttúrulegum hnitum sem samsvarar hnút \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Formfall sem samsvarar hnút \(\alpha\) í staki \(e\) |
| \(n_e\) | Fjöldi hnúta sem mynda stak |
| \(n_g\) | Heildarfjöldi hnútanna |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Hnit og færsla hnúts \(\alpha\) í staki |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Hnútahnita- og færsluvigrar staks: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), o.s.frv. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Heildarhnútahnita- og færsluvigrar (raðað eftir hnútanúmeri og síðan frelsisgráðu) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Fylki bjögunar-færslusambands (B-fylki) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Formfallafylki: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) er \(d \times d\) blokk með formfallið \(N_\alpha^e\) fyrir hnút \(\alpha\) á hornalínunni, og \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Stífleikafylki staks |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Heildunarliðir stífleikafylkis staks (settir fram í viðmiðunar- og núverandi stöðu): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formúlugerð), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formúlugerð) | Innri kraftavigur staks |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Ytri hnútarkraftur á hnút \(\alpha\) í staki og ytri hnútarkraftavigur staks: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Heildarinnri kraftavigur og heildarytri kraftavigur: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); á sama hátt fyrir \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Innri hnútarkraftur og ytri hnútarkraftur í heildarhnúti \(i_g\) (hnútablokkir \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Heildarsnertistífleikafylki: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Fylki myndað með því að setja \(3\times 3\) blokkina \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) í röð \(i_g\), dálk \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Leifarvigur í Newton-Raphson-ítrun: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Leiðrétting í Newton-Raphson-ítrun (fæst með því að leysa línulegu jöfnuna \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) í ítrun \(i\)) |
| \(i_g\) | Heildarhnútanúmer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Heildarhnútanúmer sem samsvarar staðbundnu hnútanúmeri \(\alpha\) í staki \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Mengi para \((e, \alpha)\) sem samsvara heildarhnútanúmeri \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Notað í samsetningaraðgerðum |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Mengi þrennda \((e, \alpha, \beta)\) sem samsvara pari heildarhnútanúmera \((i_g, i_h)\); notað við samsetningu stífleikafylkis |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Vísar fyrir hnúta sem mynda stak |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Vísar fyrir frelsisgráður (\(1, 2, 3\) í þrívídd) |
Háþróuð stök og burðarstök
| Tákn | Lýsing |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Fylki bjögunar-færslusambands með rúmmálshluta breyttum með B-bar-aðferðinni (rúmmálsþáttinum er skipt út fyrir B-fylkið metið í miðju staksins) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Aflögunarstigull með rúmmálshluta breyttum með F-bar-aðferðinni: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Rúmmálshlutfall aflögunarstiguls metið í miðju staksins \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Innri frelsisgráðuvigur fyrir stak með ósamhæfum hætti (stuðlar viðbótarfærsluhátta sem framfylgja ekki samfellu á jaðri staksins) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Formföll fyrir ósamhæfa hætti: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Þykkt skeljarstaks |
| \(A\) | Þverskurðarflatarmál bitastaks |
| \(I\) | Annað flatarmálsvægi þverskurðar bitastaks |
| \(G\) | Skerstuðull: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Tengd efni