Eiginsveiflugreining¶

Almennt eigingildisvandamál¶

Við greiningu frjálsra sveiflna í samfelldu efni er burðarvirkinu skipt niður í rúmi og það sett fram sem kerfi með mörgum frelsisgráðum og samþjöppuðum mössum, eins og sýnt er á mynd 2.3.1. Fyrir ódeyfðar frjálsar sveiflur er stýrandi jafnan (hreyfijafnan) eftirfarandi.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Hér er $u$ almenni færsluvigurinn, $M$ massafylkið og $K$ stífleikafylkið. Látum $\omega$ vera náttúrulegu horntíðnina, látum $a$ og $b$ vera handahófskennda fasta sem eru ekki báðir núll og látum $x$ vera vigur. Skilgreinum fallið

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Önnur afleiða þess er

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Með því að setja jöfnu $\eqref{eq:2.3.2}$ og jöfnu $\eqref{eq:2.3.3}$ inn í jöfnu $\eqref{eq:2.3.1}$ fæst

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Þannig fæst jafnan hér að ofan.

Fyrir sveiflu sem er ekki léttvæg er $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ekki alstaðar núll.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Því fæst sambandið hér að ofan. Með því að setja $\lambda=\omega^2$ fæst

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Þannig fæst jafnan hér að ofan.

Skalarinn $\lambda$ kallast eigingildi, vigurinn $x$ kallast eiginvigur og vandamálið sem jafna $\eqref{eq:2.3.5}$ lýsir kallast almennt eigingildisvandamál.

Náttúrulega horntíðnin $\omega$ fæst úr eigingildinu $\lambda=\omega^2$, og samsvarandi eiginvigur $x$ lýsir sveifluhætti.

Dæmi um kerfi með mörgum frelsisgráðum fyrir ódeyfðar frjálsar sveiflur

Mynd 2.3.1 Dæmi um kerfi með mörgum frelsisgráðum fyrir ódeyfðar frjálsar sveiflur

Eiginleikar fylkja og forsendur¶

Fyrir almenna eigingildisvandamálið $Kx=\lambda Mx$, sem fékkst í fyrri kafla, er í þessari handbók gert ráð fyrir að fylkin séu samhverf. Fyrir tvinntölufylki samsvarar þetta hermítískum fylkjum; fyrir rauntölufylki samsvarar það samhverfum fylkjum.

Látum $k_{ij}$ vera $ij$-stak fylkisins $K$. Hermítíski eiginleikinn er

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

gefinn með jöfnunni hér að ofan, þar sem $\bar{k}_{ji}$ er tvinntölusamoka $k_{ji}$. Fyrir rauntölufylki verður þetta samband $k_{ij}=k_{ji}$.

Raunsamhverft fylki $H$ er jákvætt ákveðið ef, fyrir sérhvern vigur $x$ sem er ekki núll,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ójafnan hér að ofan gildir. Þá eru öll eigingildi $H$ jákvæð.

Í eigingildisvandamáli burðarvirkis er massafylkið $M$ venjulega talið jákvætt ákveðið. Stífleikafylkið $K$ getur hins vegar verið jákvætt hálfákveðið eftir skorðunum og getur haft núlleigingildi sem samsvara stífbúkaháttum.

Hliðruð andhverf ítrun¶

Í hagnýtri burðargreiningu með aðferð endanlegra staka er yfirleitt ekki þörf á öllum eigingildum; oft nægja í mesta lagi nokkur lægstu eigingildin. HEC-MW er ætlað stórum vandamálum þar sem fylkin eru stór og afar strjál, með mörgum núllstökum. Því er mikilvægt að reikna eigingildi lægri sveifluhátta á skilvirkan hátt með þessa eiginleika í huga.

Fyrir hliðrun $\sigma$, ef $-\sigma$ er ekki eigingildi og $K+\sigma M$ er ósérstætt, má umbreyta jöfnu $\eqref{eq:2.3.5}$ sem hér segir.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Þessi umbreyting breytir ekki eiginvigrinum $x$ og varpar eigingildinu $\lambda$ á $1/(\lambda+\sigma)$.

Því nær sem $\lambda$ er $-\sigma$, því stærra verður algildi umbreytta eigingildisins. Í eigingildisvandamáli burðarvirkis gildir $\lambda \geq 0$ og $\sigma \geq 0$, þannig að lægsta eigingildinu er varpað á eigingildið með stærsta algildið. Með því að nýta þennan eiginleika og beita á jöfnu $\eqref{eq:2.3.8}$ ítrunaraðferð sem hefur tilhneigingu til að samleita fyrst að eigingildum með stórt algildi má reikna lægri eigingildin á skilvirkan hátt í vaxandi röð.

Þessi aðferð kallast hliðruð andhverf ítrun.

Í greiningum með skorðum setur FrontISTR $\sigma = 0$, og jafna $\eqref{eq:2.3.8}$ verður $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, það er óhliðruð andhverf ítrun. Í óskorðaðri frí-frí greiningu er $K$ sérstætt vegna núlleigingilda sem samsvara stífbúkaháttum; með því að gefa $\sigma$ jákvætt gildi er $K+\sigma M$ gert ósérstætt. Gildi $\sigma$ er tilgreint með SIGMA í !EIGEN.

Lanczos-aðferðin¶

Ástæða fyrir notkun (samanburður við Jacobi-aðferðina)¶

Jacobi-aðferðin er vel þekkt klassísk aðferð.

Hún er skilvirk þegar fylkið er lítið og þétt. Þar sem fylkin sem HEC-MW meðhöndlar eru stór og strjál er Jacobi-aðferðin þó ekki notuð; í staðinn er ítrekaða Lanczos-aðferðin notuð.

Reiknirit og eiginleikar¶

Aðferðin, sem C. Lanczos lagði til á sjötta áratug 20. aldar, er reiknirit til að færa fylki á þríhornalínulegt form og hefur eftirfarandi eiginleika.

Hún er ítrunaraðferð og getur framkvæmt útreikninginn á meðan fylkið helst strjált.
Aðgerðirnar eru aðallega fylkis-vigur-margfeldi, sem gerir aðferðina vel fallna til samhliðavinnslu.
Hún hentar vel rúmfræðilegri svæðisskiptingu sem tengist netum endanlegra staka.
Hún getur framkvæmt skilvirka útreikninga með því að takmarka fjölda eigingilda eða svið sveifluhátta sem á að finna.

Lanczos-aðferðin byrjar með upphafsvigri, myndar síðan hornrétta vigra hvern af öðrum og finnur grunn fyrir Krylov-undirrúm.

Í reikningi með endanlegri nákvæmni geta námundunarvillur valdið því að vigrarnir glati hornréttleika. Til að draga úr þessum áhrifum endurhornréttar FrontISTR-útfærslan hvern vigur gagnvart þeim Lanczos-grunnvigrum sem þegar hafa fengist.

Rúmfræðileg túlkun (Krylov-undirrúm)¶

Með því að beita eftirfarandi breytubreytingum á jöfnu $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

má endurskrifa vandamálið sem

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Þannig fæst jafnan hér að ofan.

Fyrir sérhvern vigur $q_0$ sem er ekki núll,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

rúmið sem þessir vigrar spanna,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

kallast Krylov-undirrúm.

Lanczos-aðferðin myndar grunn fyrir þetta Krylov-undirrúm stig af stigi.

FrontISTR notar eftirfarandi innfeldi sem tengist massafylkinu $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

til að gera grunninn einingarhornréttan. Innfeldið $\langle x,y\rangle$ og normið $\|x\|$, sem sýnd eru á eftirfarandi myndum, eru í FrontISTR-útreikningum túlkuð sem þetta $M$-innfeldi og samsvarandi $M$-norm

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

hvort um sig.

Beitið línulegu umbreytingunni sem fylkið $A$ skilgreinir á sérhvern vigur $q_0$, eins og sýnt er á mynd 2.3.2.

$Línuleg umbreyting $q_0$ með fylkinu $A$$

Mynd 2.3.2 Línuleg umbreyting $q_0$ með fylkinu $A$

Umbreytti vigurinn er hornréttaður innan rúmsins sem hann spannar ásamt upprunalega vigrinum. Nánar tiltekið er Gram-Schmidt-hornrétting framkvæmd eins og sýnt er á mynd 2.3.3. Látum vigurinn sem fæst vera $r_1$; með því að normalísera hann fæst $q_1$.

$Vigurinn $q_1$, hornréttur á $q_0$$

Mynd 2.3.3 Vigurinn $q_1$, hornréttur á $q_0$

Með sömu aðferð fæst $q_2$ út frá $q_1$. Hér er $q_2$ hornréttur bæði á $q_1$ og $q_0$, eins og sýnt er á mynd 2.3.4.

$Vigurinn $q_2$, hornréttur á $q_1$ og $q_0$$

Mynd 2.3.4 Vigurinn $q_2$, hornréttur á $q_1$ og $q_0$

Þannig myndar Lanczos-aðferðin einingarhornréttan grunn fyrir Krylov-undirrúmið stig af stigi. Fræðilega gerir samhverfa eigingildisvandamálsins kleift að lýsa þessari ítrun með þriggja liða endurkvæmnisambandi sem notar nýjustu grunnvigrana.

FrontISTR-útfærslan endurhornréttar hins vegar hvern vigur gagnvart þeim Lanczos-grunnvigrum sem þegar hafa fengist með $M$-innfeldinu til að draga úr tapi á hornréttleika vegna reiknings með endanlegri nákvæmni.

Þríhornalínulegun¶

Í Lanczos-ítrun FrontISTR eru grunnvigrarnir gerðir einingarhornréttir með tilliti til $M$-innfeldisins sem lýst var í fyrri kafla, þannig að

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

sambandið hér að ofan gildir.

Með fylkinu $A$ úr jöfnu $\eqref{eq:2.3.10}$ er fræðilega Lanczos-ítrunin

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

gefin með þriggja liða endurkvæmnisambandinu hér að ofan.

Fyrst er $\alpha_i$ skilgreint sem hér segir.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Næst er bráðabirgðaleifin skilgreind sem

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

sýnt er hér að ofan.

Til að draga úr tapi á hornréttleika vegna reiknings með endanlegri nákvæmni endurhornréttar FrontISTR-útfærslan $\tilde{r}_{i+1}$ gagnvart þeim Lanczos-grunnvigrum sem þegar hafa fengist með $M$-innfeldinu. Ef $r_{i+1}$ er leifin eftir endurhornréttingu, þá gilda

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

samböndin hér að ofan.

Safnið þeim $m$ grunnvigrum sem Lanczos-ítrunin gefur í

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Eftir endanlegan fjölda Lanczos-ítrana gildir þá

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

sambandið hér að ofan.

Hér er $e_m$ $m$-víður einingarvigur þar sem $m$-ta stakið er 1 og öll önnur stök eru núll, og

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

er samhverft þríhornalínulegt fylki.

Því má nálga eigingildi upphaflega stóra eigingildisvandamálsins með því að reikna eigingildi þríhornalínulega fylkisins $T_m$.

Tengd efni¶

Tíðnisvörunargreining — Tíðnisvörun með niðurstöðum eiginsveiflugreiningar
Greiningargerðir — Yfirlit yfir virkni eiginsveiflugreiningar