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Integrazione numerica

I vettori delle forze interne dell'elemento \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) e la matrice di rigidezza dell'elemento \(\boldsymbol{K}^e\) ottenuti in Discretizzazione del lavoro virtuale interno e Lavoro virtuale esterno e assemblaggio dell'equazione globale assumono la forma di integrali sul dominio dell'elemento \(\Omega^e\) o \(\Omega^e_0\). FrontISTR li valuta numericamente mediante quadratura di Gauss.

Quadratura di Gauss e cambio di variabili

La quadratura di Gauss approssima un integrale sul dominio di riferimento \(\Xi\) mediante una combinazione lineare dei valori dell'integranda nei punti di integrazione \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) e dei pesi \(w_i\). Applicandola al dominio dell'elemento \(\Omega^e\) si effettua un cambio di variabili tramite la mappatura \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), ottenendo

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

dove \(n_q\) è il numero di punti di integrazione e \(J_{\xi_i}\) è il determinante dello Jacobiano della trasformazione. Il dominio di riferimento \(\Xi\) è definito per ciascun tipo di elemento (per un esaedro, \([-1,1]^3\); per triangoli, tetraedri e prismi, le corrispondenti forme di riferimento), mentre i punti di integrazione \(\boldsymbol{\xi}_i\) e i pesi \(w_i\) sono forniti come tabelle numeriche. Gli integrali di superficie sono trattati nello stesso modo mappando una faccia dell'elemento da un dominio di riferimento bidimensionale.

Di seguito sono riportati i numeri rappresentativi di punti di integrazione utilizzati da FrontISTR (per la corrispondenza con i tipi di elemento, vedere Schema di numerazione degli elementi e libreria delle funzioni di forma).

Tipo di elemento Regola di quadratura Numero di punti di integrazione
Tetraedro a 4 nodi (tet4n) Regola a 1 punto 1
Tetraedro a 10 nodi (tet10n) Regola a 4 punti 4
Prisma triangolare a 6 nodi (prism6n) Regola a 2 punti 2
Prisma triangolare a 15 nodi (prism15n) Regola a 9 punti 9
Esaedro a 8 nodi (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
Esaedro a 20 nodi (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
Quadrilatero a 4 nodi (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
Quadrilatero a 8 nodi (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
Triangolo a 3 nodi (tri3n) Regola a 1 punto 1
Triangolo a 6 nodi (tri6n) Regola a 3 punti 3

Per gli elementi esaedrici, quadrilateri e lineari si utilizzano prodotti tensoriali della regola di Gauss-Legendre in ciascuna direzione coordinata. Triangoli, tetraedri e prismi triangolari utilizzano regole dedicate adatte a geometrie di tipo simplesso (disposizioni di punti che integrano esattamente i polinomi sul triangolo stesso).

Applicazione all'integrazione degli elementi

Nell'integrazione degli elementi, le coordinate naturali \(\boldsymbol{r}\) sono utilizzate come coordinate del dominio di riferimento (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), e la mappatura verso le coordinate fisiche è data dall'interpolazione delle coordinate nodali mediante le funzioni di forma. A seconda della scelta della configurazione di riferimento (Quadro dell'analisi incrementale), si utilizzano le seguenti formulazioni.

Metodo lagrangiano totale (integrazione sulla configurazione di riferimento \(\Omega^e_0\)): la mappatura e lo Jacobiano sono

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

e il vettore delle forze interne dell'elemento e la matrice di rigidezza sono approssimati come

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Tutti i termini \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) sono valutati nel punto di integrazione \(\boldsymbol{r}_i\).

Metodo lagrangiano aggiornato (integrazione sulla configurazione attuale \(\Omega^e\)): la mappatura e lo Jacobiano sono

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

e

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

sono utilizzati come approssimazioni.

L'unica differenza tra le due formulazioni consiste nel fatto che le coordinate nodali fornite alla mappatura siano \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) oppure \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); i punti di integrazione, i pesi e la struttura del ciclo sui punti di integrazione sono comuni.

Integrazione completa e integrazione ridotta

L'integrazione che utilizza un numero di punti sufficiente a integrare esattamente il grado polinomiale dell'integranda è detta integrazione completa, mentre quella che utilizza un livello in meno di punti di integrazione è detta integrazione ridotta. L'integrazione ridotta viene utilizzata per attenuare il locking di taglio e volumetrico, ma richiede il trattamento di modi di deformazione spurii, come i modi hourglass. Il numero di punti di integrazione per ciascun tipo di elemento e la scelta tra integrazione completa e ridotta sono trattati in Schema di numerazione degli elementi e libreria delle funzioni di forma e nelle sezioni successive, nonché in Formulazioni avanzate degli elementi.

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