Elenco dei simboli delle grandezze fisiche
Questa pagina elenca i simboli delle grandezze fisiche usati nel manuale teorico di FrontISTR. Per le convenzioni di notazione (grassetto per vettori e tensori, convenzione di sommatoria di Einstein e notazione di Voigt), vedere Notazione tensoriale e fondamenti matematici.
Configurazioni e sistemi di coordinate
| Simbolo | Descrizione |
| \(\boldsymbol{X}\) | Vettore posizione di un punto materiale nella configurazione di riferimento (iniziale) (coordinate materiali) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Vettore posizione di un punto materiale nella configurazione attuale (coordinate spaziali) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Mappa del moto: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Dominio occupato dal corpo nella configurazione di riferimento |
| \(\Omega\) | Dominio occupato dal corpo nella configurazione attuale |
| \(\Gamma_0\) | Confine di \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Confine di \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Confine geometrico (spostamento): confine nella configurazione attuale/di riferimento sul quale è prescritto \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Confine meccanico: confine nella configurazione attuale/di riferimento sul quale è prescritto \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (oppure \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vettore normale unitario uscente a una superficie nella configurazione attuale |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vettore normale unitario uscente a una superficie nella configurazione di riferimento |
| \(t\) | Tempo |
Convenzione: le grandezze fisiche nella configurazione di riferimento sono indicate con lettere maiuscole o con il pedice \(0\), mentre quelle nella configurazione attuale sono indicate con lettere minuscole.
Tempo e incrementi (analisi incrementale)
| Simbolo | Descrizione |
| \(\Delta t\) | Incremento temporale: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Grandezza fisica al tempo \(t\) (apice sinistro). Esempio: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) è la tensione di Cauchy al tempo \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Dominio della configurazione attuale al tempo \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Confine della configurazione attuale al tempo \(t\) |
Convenzione: nell’analisi incrementale, lo stato fino al tempo \(t\) è considerato noto e lo stato al tempo \(t + \Delta t\) viene determinato come incognito. L’apice sinistro viene omesso quando non è necessario indicare esplicitamente il tempo. Una formulazione che usa la configurazione di riferimento \(\Omega_0\) come riferimento è detta formulazione Total Lagrange, mentre una formulazione che usa come riferimento la configurazione attuale \(^{t}\Omega\) all’inizio dell’incremento è detta formulazione Updated Lagrange.
Spostamento, velocità, accelerazione e forza di massa
| Simbolo | Descrizione |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vettore spostamento: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Spostamento prescritto sul confine geometrico \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Spostamento virtuale (funzione di test): su \(\Gamma_B\), \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vettore velocità: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vettore accelerazione: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Forza di massa (per unità di massa) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vettore di trazione (per unità di area): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Trazione prescritta sul confine meccanico \(\Gamma_t\) (dato di Neumann) |
Operatori differenziali
| Simbolo | Descrizione |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Derivata temporale materiale (derivata temporale seguendo lo stesso punto materiale): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradiente nella configurazione di riferimento (gradiente rispetto alle coordinate materiali \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradiente nella configurazione attuale (gradiente rispetto alle coordinate spaziali \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operatore gradiente simmetrico: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Nota: \(\nabla_X\) e \(\nabla_x\) sono legati da \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Il gradiente senza pedice, \(\nabla\), viene usato quando la configurazione è chiara dal contesto o quando la distinzione scompare, come nei problemi a piccole deformazioni.
| Simbolo | Descrizione |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tensore gradiente di deformazione: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Rapporto di variazione del volume: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Tensore di deformazione destro di Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Tensore di deformazione sinistro di Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tensore gradiente di velocità: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tensore della velocità di deformazione (parte simmetrica di \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tensore di spin (parte antisimmetrica di \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Simbolo | Descrizione |
| \(\boldsymbol{E}\) | Tensore di deformazione di Green-Lagrange (configurazione di riferimento): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Tensore di deformazione di Almansi (configurazione attuale): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Parte lineare del tensore di deformazione di Almansi (gradiente simmetrico dello spostamento nella configurazione attuale): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tensore delle piccole deformazioni (approssimazione lineare): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Nota: \(\boldsymbol{E}\) è usato principalmente nella formulazione Total Lagrange, mentre \(\boldsymbol{D}\) è usato principalmente nella formulazione Updated Lagrange.
Tensori delle tensioni
| Simbolo | Descrizione |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Tensore delle tensioni di Cauchy (tensione vera, configurazione attuale): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Primo tensore delle tensioni di Piola-Kirchhoff (tensione nominale): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Secondo tensore delle tensioni di Piola-Kirchhoff (configurazione di riferimento, simmetrico): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Relazioni di trasformazione tra i tensori delle tensioni:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Convenzione: la formulazione Total Lagrange usa la coppia \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mentre la formulazione Updated Lagrange usa la coppia \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Densità e massa
| Simbolo | Descrizione |
| \(\rho\) | Densità di massa nella configurazione attuale |
| \(\rho_0\) | Densità di massa nella configurazione di riferimento |
Conservazione della massa: \(\rho_0 = J\rho\).
Costanti del materiale (elasticità lineare)
| Simbolo | Descrizione |
| \(E\) | Modulo di Young |
| \(\nu\) | Coefficiente di Poisson |
| \(\lambda\) | Prima costante di Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Seconda costante di Lamé (modulo di taglio): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tensore di elasticità (quarto ordine): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componenti \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (oppure \(\hat{\tilde{C}}\)) | Matrice del materiale (notazione di Voigt, \(6\times6\) in 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Componenti del tensore di elasticità per un materiale elastico lineare isotropo:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Materiali iperelastici
| Simbolo | Descrizione |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funzione potenziale elastica (funzione densità di energia di deformazione) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Invarianti principali del tensore destro di Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Invarianti ridotti di \(\boldsymbol{C}\) (separata la variazione volumetrica) |
| \(C_1, C_2\) | Costanti del materiale del modello Mooney-Rivlin |
| \(D\) | Costante del materiale relativa all’elasticità volumetrica |
Materiali elastoplastici
| Simbolo | Descrizione |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Componente elastica del tensore della velocità di deformazione |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Componente plastica del tensore della velocità di deformazione |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funzione di snervamento |
| \(\kappa\) | Variabile interna che rappresenta lo stato plastico (variabile di incrudimento isotropo) |
| \(\lambda^p\) | Moltiplicatore plastico (moltiplicatore della velocità di deformazione plastica): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potenziale plastico (\(\Theta = F\) per una regola di flusso associata) |
| \(\bar{\sigma}\) | Tensione equivalente (ad es. tensione di von Mises) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Deformazione plastica equivalente |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funzione di incrudimento isotropo |
Condizione di complementarità: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Metodo degli elementi finiti
| Simbolo | Descrizione |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Domini nelle configurazioni attuale e di riferimento approssimati mediante discretizzazione agli elementi finiti: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Dominio dell’elemento nelle configurazioni attuale e di riferimento |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Parte del confine dell’elemento appartenente al confine meccanico |
| \(\boldsymbol{r}\) | Coordinate naturali (coordinate locali dell’elemento) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punto nelle coordinate naturali corrispondente al nodo \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Funzione di forma dell’elemento \(e\) corrispondente al nodo \(\alpha\) |
| \(n_e\) | Numero di nodi che costituiscono un elemento |
| \(n_g\) | Numero totale di nodi globali |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Coordinate e spostamento del nodo \(\alpha\) dell’elemento |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vettori delle coordinate e degli spostamenti nodali dell’elemento: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), ecc. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Vettori globali delle coordinate e degli spostamenti nodali (ordinati per numero di nodo e quindi per grado di libertà) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matrice della relazione deformazione-spostamento (matrice B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matrice delle funzioni di forma: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) è, per il nodo \(\alpha\), un blocco con la funzione di forma \(N_\alpha^e\) disposta sulla diagonale, di dimensione \(d \times d\); \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matrice di rigidezza dell’elemento |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrandi della matrice di rigidezza dell’elemento (espressi nelle configurazioni di riferimento e attuale): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulazione TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulazione UL) | Vettore delle forze interne dell’elemento |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Forza esterna nodale agente sul nodo \(\alpha\) dell’elemento e vettore delle forze esterne nodali dell’elemento: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Vettore globale delle forze interne e vettore globale delle forze esterne: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogamente per \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Forza interna nodale e forza esterna nodale al nodo globale \(i_g\) (blocchi nodali di \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Matrice globale di rigidezza tangente: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrice ottenuta collocando il blocco \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) alla riga \(i_g\), colonna \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vettore residuo nell’iterazione di Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Correzione dell’iterazione di Newton-Raphson (all’iterazione \(i\), ottenuta risolvendo l’equazione lineare \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\)) |
| \(i_g\) | Numero del nodo globale (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Numero del nodo globale corrispondente, nell’elemento \(e\), al numero di nodo locale \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Insieme, per il numero di nodo globale \(i_g\), delle coppie \((e, \alpha)\) corrispondenti: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Usato nelle operazioni di assemblaggio |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Insieme, per la coppia di numeri di nodo globali \((i_g, i_h)\), delle terne \((e, \alpha, \beta)\) corrispondenti; usato per l’assemblaggio della matrice di rigidezza |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indici relativi ai nodi che costituiscono un elemento |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indici relativi ai gradi di libertà (\(1, 2, 3\) in 3D) |
Elementi avanzati ed elementi strutturali
| Simbolo | Descrizione |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matrice della relazione deformazione-spostamento con la parte volumetrica modificata mediante il metodo B-bar (la componente volumetrica viene sostituita dalla matrice B valutata al centro dell’elemento) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradiente di deformazione con la parte volumetrica modificata mediante il metodo F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Rapporto di volume del gradiente di deformazione valutato al centro dell’elemento \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vettore dei gradi di libertà interni per un elemento a modi incompatibili (coefficienti dei modi di spostamento aggiuntivi che non impongono continuità sul confine dell’elemento) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funzioni di forma dei modi incompatibili: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Spessore dell’elemento shell |
| \(A\) | Area della sezione trasversale di un elemento trave |
| \(I\) | Secondo momento d’area della sezione trasversale di un elemento trave |
| \(G\) | Modulo di taglio: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
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