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Verifica mediante modello di forma semplice

Analisi statica elastica

Questa verifica utilizza una trave a mensola discretizzata come mostrato nella Figura 9.1.1. Sono state eseguite analisi per sette casi, da exA a exG, variando le condizioni di carico come mostrato nella Figura 9.1.2. Il caso exG ha le stesse condizioni di carico di exA, ma utilizza un solver diretto.

I risultati della verifica per ciascuna condizione di carico sono riportati nelle Tabelle 9.1.1–9.1.7.

Esempio di mesh della trave a mensola (elementi esaedrici) Figura 9.1.1 Esempio di mesh della trave a mensola (elementi esaedrici)
(a) exA, G: Carico concentrato
(b) exD: Gravità
(c) exB: Carico distribuito sulla superficie
(d) exE: Forza centrifuga
(e) exC: Carico volumetrico
(f) exF : Carico termico
Voce Valore
Modulo di Young \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Lunghezza \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Coefficiente di Poisson \(\nu = 0.3\)
Area della sezione \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Densità di massa \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Momento d'inerzia della sezione \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Accelerazione di gravità \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Coefficiente lineare di dilatazione termica \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Figura 9.1.2 Condizioni di verifica del modello a trave a mensola

Tabella 9.1.1 exA: Risultati della verifica del problema con carico concentrato

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : \(\delta_{max}= -1.000\) Note
NASTRAN Software commerciale FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 nodi / problema di tensione piana
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 nodi / problema di tensione piana
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 nodi / problema di tensione piana
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 nodi / problema di tensione piana
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 nodi
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 nodi
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 nodi
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 nodi
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 nodi
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 nodi
A731 40 - - -0.991 33 nodi / metodo diretto
A741 20 - - -0.996 33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.2 exB: Risultati della verifica del problema con carico distribuito sulla superficie

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : \(\delta_{max}= -3.750\) Note
NASTRAN Software commerciale FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 nodi / problema di tensione piana
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 nodi / problema di tensione piana
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 nodi / problema di tensione piana
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 nodi / problema di tensione piana
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 nodi
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 nodi
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 nodi
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 nodi
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 nodi
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 nodi
B731 40 - - -3.722 33 nodi / metodo diretto
B741 20 - - -3.743 33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.3 exC: Risultati della verifica del problema con carico volumetrico

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Note
NASTRAN Software commerciale FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 nodi / problema di tensione piana
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 nodi / problema di tensione piana
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 nodi / problema di tensione piana
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 nodi / problema di tensione piana
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 nodi
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 nodi
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 nodi
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 nodi
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 nodi
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 nodi
C731 40 - - -2.922e-5 33 nodi / metodo diretto
C741 20 - - -2.938e-5 33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.4 exD: Risultati della verifica del problema gravitazionale

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Note
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D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 nodi / problema di tensione piana
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 nodi / problema di tensione piana
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 nodi / problema di tensione piana
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 nodi / problema di tensione piana
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 nodi
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 nodi
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 nodi
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 nodi
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 nodi
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 nodi
D731 40 - - -2.922e-5 33 nodi / metodo diretto
D741 20 - - -2.938e-5 33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.5 exE: Risultati della verifica del problema con forza centrifuga

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Note
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E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 nodi / problema di tensione piana
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 nodi / problema di tensione piana
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 nodi / problema di tensione piana
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 nodi / problema di tensione piana
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 nodi
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 nodi
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 nodi
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 nodi
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 nodi
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 nodi
E731 40 - - 2.619e-3 33 nodi / metodo diretto
E741 20 - - 2.622e-3 33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.6 exF: Risultati della verifica del problema con carico da tensione termica

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Note
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F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 nodi / problema di tensione piana
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 nodi / problema di tensione piana
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 nodi / problema di tensione piana
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 nodi / problema di tensione piana
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 nodi
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 nodi
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 nodi
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 nodi
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 nodi
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 nodi

Tabella 9.1.7 exG: Risultati della verifica del metodo diretto (problema con carico concentrato)

Nome caso Numero di elementi Valore teorico: δmax= -1.000 Note
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G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 nodi / problema di tensione piana
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 nodi / problema di tensione piana
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 nodi / problema di tensione piana
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 nodi / problema di tensione piana
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 nodi
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 nodi
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 nodi
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 nodi
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 nodi
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 nodi
G731 40 - - -0.991 33 nodi / metodo diretto
G741 20 - - -0.996 33 nodi / metodo diretto

Analisi statica non lineare

(2-1) exnl1: Analisi geometricamente non lineare

Il modello di verifica del caso exI è identico ai modelli dei casi da exA a exG. La Figura 9.1.3 mostra uno schema del modello di verifica. Su questo modello viene eseguita un'analisi geometricamente non lineare. I risultati della verifica sono riportati nella Tabella 9.1.8.

Il calcolo non lineare viene eseguito per il carico di riferimento \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), con un incremento di carico pari a \(0.1P\) in 10 passi di carico.

Modello di verifica Figura 9.1.3 Modello di verifica

Tabella 9.1.8 exI: Risultati della verifica (storia della freccia massima)

Nome caso 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Soluzione lineare
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Analisi della deformazione elastoplastica

Questo problema di verifica si basa sul Test NL1 della NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.)), ed esegue un'analisi della deformazione elastoplastica che include la non linearità geometrica e più leggi di incrudimento. La Figura 9.1.4 mostra il modello di analisi.

Modello di analisi della deformazione elastoplastica

Figura 9.1.4 Modello di analisi della deformazione elastoplastica

(１) Condizioni di verifica

Voce Valore
Materiale Materiale elastoplastico di von Mises
Modulo di Young \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Coefficiente di Poisson \(\nu=0.25\)
Tensione di snervamento iniziale \(5\ \mathrm{MPa}\)
Deformazione di snervamento iniziale \(0.25\times10^{-4}\)
Coefficiente di incrudimento isotropo \(H_i = 0\) oppure \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(２) Condizioni al contorno

Voce Condizione al contorno Valore
Passo 1 Spostamento prescritto ai nodi 2 e 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 2 Spostamento prescritto ai nodi 2 e 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 3 Spostamento prescritto ai nodi 3 e 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 4 Spostamento prescritto ai nodi 3 e 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 5 Spostamento prescritto ai nodi 2 e 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 6 Spostamento prescritto ai nodi 2 e 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 7 Spostamento prescritto ai nodi 3 e 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 8 Spostamento prescritto ai nodi 3 e 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Tutti i nodi non elencati qui sono completamente vincolati. La soluzione teorica di questo problema è la seguente.

Deformazione (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Tensione equivalente (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

A confronto, i risultati del calcolo sono i seguenti.

Deformazione (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Tensione equivalente (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analisi di contatto (1)

Questo problema di verifica si basa sul patch test di contatto CGS-4 della National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), e verifica la capacità di contatto con scorrimento finito in presenza di attrito. La Figura 9.1.5 mostra il modello di analisi.

Modello di analisi del contatto

Figura 9.1.5 Modello di analisi del contatto

La condizione di equilibrio per questo problema è la seguente.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Nella fase di attrito aderente, la forza di attrito è

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

mentre nella fase di attrito con scorrimento è

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Si ottiene quindi la relazione precedente.

Il confronto tra i risultati del calcolo e la soluzione analitica è il seguente.

\(\mu\) \(F/G\) Soluzione analitica \(F/G\) Risultati del calcolo
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Analisi di contatto (2): problema di contatto di Hertz

Questa verifica analizza il problema di contatto di Hertz tra un cilindro infinitamente lungo e un piano infinito. Il raggio del cilindro è \(R = 8\ \mathrm{mm}\); il modulo di Young \(E\) e il coefficiente di Poisson \(\mu\) del corpo deformabile sono rispettivamente \(1100\ \mathrm{MPa}\) e \(0.0\). Si assume che l'area di contatto sia sufficientemente piccola rispetto al raggio del cilindro e, considerando la simmetria del problema, viene analizzato un modello di un quarto di cilindro.

Modello di analisi per il problema di contatto di Hertz Figura 9.1.6 Modello di analisi per il problema di contatto di Hertz

(1) Risultati della verifica del raggio di contatto

La formula teorica per calcolare il raggio di contatto è la seguente:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

dove

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Si ottiene quindi l’espressione precedente. Nelle presenti condizioni di calcolo, quando la pressione è \(F=100\), il raggio di contatto è \(a=1.36\).

La Figura 9.1.7 mostra le forze nodali equivalenti nei punti di contatto. Il raggio di contatto si ottiene estrapolando questa distribuzione di forze nodali.

Distribuzione delle forze nodali equivalenti nei punti di contatto

Figura 9.1.7 Distribuzione delle forze nodali equivalenti nei punti di contatto

(2) Risultati della verifica della tensione di taglio massima

Nella soluzione teorica, nella posizione di contatto

\[ z = 0.78a \]

la tensione di taglio massima è

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Questa è la tensione di taglio massima teorica. Nelle presenti condizioni di calcolo,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Questo è il valore teorico nelle condizioni di calcolo considerate. A confronto, il calcolo fornisce

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Il calcolo fornisce invece il valore indicato sopra.

Distribuzione della tensione di taglio (valore massimo = 15.6 Figura 9.1.8 Distribuzione della tensione di taglio (valore massimo = 15.6)

(3) Analisi modale

I modelli di verifica dei casi exJ ed exK sono identici ai modelli dei casi da exA a exG. La Figura 9.1.9 mostra uno schema del modello di verifica. Su questo modello viene eseguita un'analisi modale. Vengono calcolate le prime tre frequenze naturali. Il caso exJ utilizza un solver iterativo, mentre il caso exK utilizza un solver diretto. I risultati della verifica sono riportati nelle Tabelle 9.1.9–9.1.12.

Modello di verifica Figura 9.1.9 Modello di verifica

Le frequenze naturali della trave a mensola sono ottenute dalle seguenti equazioni.

Prima frequenza naturale

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Seconda frequenza naturale

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Terza frequenza naturale

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Le proprietà del modello di verifica sono riportate nella tabella seguente.

Voce Valore
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Pertanto, le prime tre frequenze naturali sono le seguenti:

Numero del modo Valore
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabella 9.1.9 exJ: risultati della verifica del metodo iterativo (prima frequenza naturale)

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : n1=3.609e3 Note
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 nodi / problema di tensione piana
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 nodi / problema di tensione piana
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 nodi / problema di tensione piana
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 nodi / problema di tensione piana
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 nodi
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 nodi
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 nodi
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 nodi
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 nodi
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 nodi

Tabella 9.1.10 exJ: risultati della verifica del metodo iterativo (seconda frequenza naturale)

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : n2=2.262e4 Note
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 nodi / problema di tensione piana
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 nodi / problema di tensione piana
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 nodi / problema di tensione piana
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 nodi / problema di tensione piana
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 nodi
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 nodi
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 nodi
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 nodi
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 nodi
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 nodi

Nota: nei modelli tridimensionali (3D), i primi due modi sono degeneri. Pertanto, la terza frequenza naturale calcolata è riportata nella tabella come seconda frequenza naturale.

Tabella 9.1.11 exK: risultati della verifica del metodo diretto (prima frequenza naturale)

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : n1=3.609e3 Note
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 nodi / problema di tensione piana
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 nodi / problema di tensione piana
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 nodi / problema di tensione piana
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 nodi / problema di tensione piana
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 nodi
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 nodi
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 nodi
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 nodi
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 nodi
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 nodi
J731 40 - 3.606e3 220 nodi
J741 20 - 3.594e3 220 nodi

Tabella 9.1.12 exK: risultati della verifica del metodo diretto (seconda frequenza naturale)

Nome caso Numero di elementi Valore teorico : n2=2.262e4 Note
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 nodi / problema di tensione piana
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 nodi / problema di tensione piana
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 nodi / problema di tensione piana
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 nodi / problema di tensione piana
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 nodi
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 nodi
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 nodi
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 nodi
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 nodi
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 nodi
J731 40 - 2.156e4 220 nodi
J741 20 - 2.153e4 220 nodi

Nota: nei modelli 3D, i primi due modi sono degeneri. Pertanto, la terza frequenza naturale calcolata è riportata nella tabella come seconda frequenza naturale.

(4) Analisi di conduzione termica

Le condizioni comuni per le analisi di conduzione termica stazionaria sono mostrate nella Figura 9.1.10. Le condizioni individuali per i casi di verifica da exM a exT sono mostrate nella Figura 9.1.11. La suddivisione della mesh è equivalente a quella utilizzata per exA.

Le Tabelle 9.1.13–9.1.20 riportano le distribuzioni di temperatura ottenute per ciascun caso.

Analisi di conduzione termica
Lunghezza tra A e B \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Area della sezione trasversale \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Dipendenza dalla temperatura della conducibilità termica

Conducibilità termica \(\lambda\) (W/(m·K)) Temperatura (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Figura 9.1.10 Condizioni di verifica dell'analisi di conduzione termica stazionaria
exM: Materiale lineare
exN: Problema di temperatura prescritta
exO: Problema di flusso termico concentrato
exP: Problema di flusso termico distribuito
exQ: Problema di scambio termico convettivo
exR: Problema di scambio termico per irraggiamento
exS: Problema di generazione volumetrica di calore
exT: Problema di gap interno

Figura 9.1.11 Condizioni di analisi per ciascun caso di verifica

Tabella 9.1.13 Risultati della verifica di exM (calcolo stazionario con materiale lineare)

Nome caso Tipo di elemento Elementi/nodi Distanza dall’estremità A (m)
Estremità A 2.0 4.0 6.0 8,0 Estremità B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabella 9.1.14 Risultati della verifica di exN (problema di temperatura prescritta)

Nome caso Tipo di elemento Elementi/nodi Distanza dall’estremità A (m)
Estremità A 2.0 4.0 6.0 8,0 Estremità B
Software commerciale 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabella 9.1.15 Risultati della verifica di exO (problema di flusso termico concentrato)

Nome caso Tipo di elemento Elementi/nodi Distanza dall’estremità A (m)
Estremità A 2.0 4.0 6.0 8,0 Estremità B
Software commerciale 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabella 9.1.16 Risultati della verifica di exP (problema di flusso termico distribuito)

Nome caso Tipo di elemento Elementi/nodi Distanza dall’estremità A (m)
Estremità A 2.0 4.0 6.0 8,0 Estremità B
Software commerciale 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabella 9.1.17 Risultati della verifica di exQ (problema di scambio termico convettivo)

Nome caso Tipo di elemento Elementi/nodi Distanza dall’estremità A (m)
Estremità A 2.0 4.0 6.0 8,0 Estremità B
Software commerciale 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabella 9.1.18 Risultati della verifica di exR (problema di scambio termico per irraggiamento)

Nome caso Tipo di elemento Elementi/nodi Distanza dall’estremità A (m)
Estremità A 2.0 4.0 6.0 8,0 Estremità B
Software commerciale 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabella 9.1.19 Risultati della verifica di exS (problema di generazione volumetrica di calore)

Nome caso Tipo di elemento Elementi/nodi Distanza dall’estremità A (m)
Estremità A 2.0 4.0 6.0 8,0 Estremità B
Software commerciale 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabella 9.1.20 Risultati della verifica di exT (problema di gap interno)

Nome caso Tipo di elemento Elementi/nodi Distanza dall’estremità A (m)
Estremità A 2.0 4.0 6.0 8,0 Estremità B
Software commerciale 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Analisi dinamica lineare

In exW viene eseguita un'analisi dinamica lineare sulla stessa trave a mensola come nel punto (1). La Figura 9.1.12 mostra le condizioni di verifica. Per la stessa suddivisione della mesh viene verificato l'effetto dell'incremento temporale sui risultati. Vengono utilizzati sia il metodo di integrazione temporale implicito sia quello esplicito, con i tipi di elemento 361 e 342. I risultati della verifica sono riportati nella Tabella 9.1.22 e nelle Figure 9.1.13–9.1.15.

Modello di analisi Modello di analisi

Andamento temporale della forza esterna F Andamento temporale della forza esterna F

La soluzione teorica per lo spostamento del punto di eccitazione è la seguente:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

dove

\[ \(F_0:\ \text{Vettore costante}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Figura 9.1.12 Condizioni di verifica dell'analisi dinamica lineare

Condizioni di verifica:
Lunghezza \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Larghezza della sezione trasversale \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Altezza della sezione trasversale \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Modulo di Young \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Coefficiente di Poisson \(\nu\) \(0.3\)
Densità \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Accelerazione di gravità \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Forza esterna \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Elemento Elemento esaedrico lineare
Elemento tetraedrico di secondo ordine
Metodo di soluzione Metodo implicito
Parametro \(\gamma\) del metodo di Newmark-\(\beta\) 1/2
Parametro \(\beta\) del metodo di Newmark-\(\beta\) 1/4
Metodo esplicito
Smorzamento Nessuno

Tabella 9.1.21 Condizioni di verifica dell'analisi dinamica lineare (continua)

Nome caso Tipo di elemento N. di nodi N. di elementi Metodo di soluzione Incremento temporale \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Metodo implicito 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Metodo implicito 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Metodo implicito 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Metodo implicito 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Metodo implicito 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Metodo implicito 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Metodo esplicito 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Metodo esplicito 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Metodo esplicito 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Metodo esplicito 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Metodo esplicito 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Metodo esplicito 1.0E-07

Tabella 9.1.22 Risultati della verifica dell'analisi dinamica lineare di exW (trave a mensola)

Nome del caso Tipo di elemento Numero di nodi Numero di elementi Metodo Spostamento nella direzione z al tempo \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Metodo implicito 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Metodo implicito 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Metodo implicito 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Metodo implicito 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Metodo implicito 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Metodo implicito 1.9753 Divergente
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Metodo esplicito 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Metodo esplicito 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Metodo esplicito 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Metodo esplicito 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Metodo esplicito 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Metodo esplicito 1.9753 Divergente

Diagramma di deformazione e distribuzione della tensione equivalente della trave a mensola Figura 9.1.13 Diagramma di deformazione e distribuzione della tensione equivalente della trave a mensola

(a) Tipo di elemento 361: metodo implicito (a) Tipo di elemento 361: metodo implicito

(b) Tipo di elemento 361: metodo esplicito (b) Tipo di elemento 361: metodo esplicito

Figura 9.1.14 Andamento temporale dello spostamento del punto di eccitazione \(u_z\)

(a) Tipo di elemento 342: metodo implicito (a) Tipo di elemento 342: metodo implicito

(b) Tipo di elemento 342: metodo esplicito (b) Tipo di elemento 342: metodo esplicito

Figura 9.1.15 Andamento temporale dello spostamento del punto di eccitazione \(u_z\)

Analisi di risposta in frequenza

In questa verifica viene eseguita un’analisi di risposta in frequenza su una trave a mensola e i risultati vengono verificati mediante confronto con quelli di un software commerciale di uso generale. Di seguito sono mostrati il modello di analisi e le condizioni di verifica.

Condizioni di analisi:
Modulo di Young \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Coefficiente di Poisson \(\nu\) \(0.3\)
Densità \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Accelerazione di gravità \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Carico \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parametro dello smorzamento di Rayleigh \(R_m\) \(0.0\)
Parametro dello smorzamento di Rayleigh \(R_k\) \(7.2E-07\)

Figura 9.1.16 Modello di analisi (elementi tetraedrici del primo ordine: 126 elementi, 55 nodi)

Di seguito sono riportate le prime cinque frequenze naturali ottenute dall'analisi modale e la risposta in frequenza del punto di eccitazione:

modo FrontISTR Software commerciale
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Dipendenza dalla frequenza dell'ampiezza dello spostamento del punto di eccitazione Figura 9.1.17 Dipendenza dalla frequenza dell'ampiezza dello spostamento del punto di eccitazione