増分解析の枠組み¶
増分解析の必要性¶
前述したように微小変形問題の解析においては、平衡方程式などの基礎方程式と等価な仮想仕事の原理を用いて、この式を有限要素により離散化することによって有限要素解析を行うことができる。 構造物の大変形を扱う有限変形問題の解析においても基本的には仮想仕事の原理が用いられる点は同様である。
しかしながら、有限変形問題においては、たとえ材料の線形性を仮定しても仮想仕事の原理式は変位に関して非線形な方程式になる。 非線形式を解くためには通常、反復法による繰り返し計算が用いられる。
その反復計算においては、ある小さな荷重増分に対して区分的に行なわれ、それを積み重ねて最終的な変形状態へと至る増分解析手法が用いられる。 微小変形問題を仮定した場合、ひずみや応力を定義するための配置は、変形前と変形後とでとくに区別を行なっていなかった。 すなわち、微小変形を仮定している場合には基礎方程式を記述する配置は変形前であっても変形後であっても問題にはならなかった。
有限変形問題において増分解析を実施する場合、参照配置として初期配置をとるか、増分の開始時点の配置をとるかで定式化が異なる。 前者を total Lagrange 法、後者を updated Lagrange 法と呼ぶ。詳細については章末参考文献などを参照されたい。
出発式：時刻 \(t'\) における仮想仕事の原理¶
時刻 \(t\) までの状態が既知であり、時刻 \(t' = t + \Delta t\) の状態を未知とする増分解析を想定する（図 2.2.1 参照）。時刻 \(t'\) における平衡方程式・境界条件・仮想仕事の原理（現配置表現、Cauchy 応力 \(^{t'}\sigma\) と Almansi ひずみ線形部 \(^{t'} A_{(L)}\) による表現）は仮想仕事の原理に与えられているとおりである。
図 2.2.1 増分解析の概念
ただし、この出発式は時刻 \(t'\) の（未知の）配置で記述されているため、実際の解法では時刻 \(0\) の初期配置 \(V\) または時刻 \(t\) の現配置 \(^{t'} v\) を参照配置として選び直し、増分形に書き換えてから解く：
- Total Lagrange 法 — 初期配置 \(V\) を参照する．第 2 PK 応力 \(\boldsymbol{S}\) と Green-Lagrange ひずみ \(\boldsymbol{E}\) を用いる．
- Updated Lagrange 法 — 増分開始時点の現配置 \(^{t}v\) を参照する．Cauchy 応力 \(\boldsymbol{\sigma}\) と Almansi ひずみ線形部 \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) を用いる．
両者の空間離散化（B 行列・内力ベクトル）は内力仮想仕事の離散化，線形化と接線剛性の構成は接線剛性行列を参照．
関連項目¶
- 仮想仕事の原理 — 出発式の本体（現配置・初期配置の弱形式）
- 内力仮想仕事の離散化 — TL/UL の B 行列と内力ベクトル
- 接線剛性行列 — 線形化による \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
- Newton-Raphson 法 — 反復アルゴリズム