არაწრფივი იტერაციები და დროითი ინტეგრება¶

FrontISTR-ის ანალიზი თითოეული ბიჯის ინკრემენტული მართვის ფარგლებში წინ მიიწევს, თითოეულ ქვებიჯში არაწრფივი იტერაციებისა და დროითი ინტეგრების კომბინაციით. ეს გვერდი აღწერს გარე ბიჯების მართვასა და შიდა წრფივ ამომხსნელს შორის მდებარე იტერაციულ სტრუქტურას: Newton-Raphson-ის იტერაციებს, კონტაქტურ იტერაციებს, დინამიკური ანალიზის დროით ინტეგრებას და არასტაციონარული თბოგამტარობის დროით წინსვლასა და არაწრფივი იტერაციების ჩარჩოს.

ფუნქციების საერთო მიმოხილვა¶

ბიჯის შიგნით არაწრფივი ამოხსნა და დროითი ინტეგრება რამდენიმე ერთმანეთში ჩადგმული ციკლის სტრუქტურას ქმნის, გარე ფენიდან შიგნით. თითოეულ ფენას შემდეგი როლი აქვს.

რომელი ფენები გამოიყენება, ანალიზის ტიპის მიხედვით განსხვავდება.

კონტაქტის ტიპისა და ალგორითმის არჩევისთვის იხილეთ კონტაქტი და ჩაშენება. აქ აღწერილია, როგორ ეწყობა არჩეული ალგორითმი იტერაციულ ციკლად.

ამოხსნის მეთოდის არჩევა¶

იტერაციული სტრუქტურა ავტომატურად განისაზღვრება ანალიზის ტიპით (ანალიზის ტიპები), არაწრფივობის არსებობით (გეომეტრიული არაწრფივობა, მასალის არაწრფივობა, კონტაქტი) და კონტაქტის ალგორითმით (SLAGRANGE ან ALAGRANGE). მომხმარებელი პირდაპირ არეგულირებს იტერაციების მაქსიმალურ რაოდენობასა და კრებადობის კრიტერიუმებს.

რეგულირების ძირითადი მითითებები შემდეგია.

• იტერაციების მაქსიმალური რაოდენობის ნაგულისხმევი მნიშვნელობა ჩვეულებრივ საკმარისია სტანდარტული ანალიზებისთვის. თუ რთულად კრებად ამოცანაში მიიღება „მაქსიმალური იტერაციების მიღწევა და კრებადობის მიუღწევლობა“, ჯერ გამოიყენეთ cutback (ბიჯების მართვა); მხოლოდ თუ ესეც არ შველის, გაზარდეთ ზღვარი.
• კრებადობის კრიტერიუმები შეარჩიეთ ანალიზის სტაბილურობასა და გამოთვლის დროს შორის ბალანსით. უფრო მკაცრი კრიტერიუმი ზრდის წონასწორობის სიზუსტეს, მაგრამ ასევე ზრდის იტერაციების რაოდენობას. კონტაქტურ ან Lagrange-ის მამრავლების მქონე ანალიზებში სტაბილურობა შეიძლება გაუმჯობესდეს ნაშთის კრიტერიუმთან ერთად გადაადგილების ნამატის და Lagrange-ის კრიტერიუმების გამოყენებით.
• დინამიკური ანალიზის დროითი ინტეგრების პარამეტრებისთვის (Newmark-β კოეფიციენტები) დაიწყეთ სტანდარტული კომბინაციით და შეცვალეთ მხოლოდ მაშინ, როცა ვიბრაციული რეაქციის რიცხვითი ჩაქრობის მახასიათებლების შეცვლა გსურთ.
• არასტაციონარული თბოგამტარობის დროითი ინტეგრების სქემად გლუვი ტემპერატურული ცვლილებებისას გამოიყენეთ Crank-Nicolson, ხოლო მკვეთრი ცვლილებების ან ხანგრძლივი გამოთვლის სტაბილურობის პრიორიტეტისას — Backward Euler.

Newton-Raphson-ის იტერაციები სტატიკურ ანალიზში¶

არაწრფივ სტატიკურ ანალიზში გეომეტრიული ან მასალის არაწრფივობის შემცველი წონასწორობის განტოლება Newton-Raphson მეთოდით იტერაციულად იხსნება. თითოეული იტერაცია შემდეგი ნაბიჯებით მიმდინარეობს.

1. მიმდინარე ამონახსნისთვის შეაფასეთ ნაშთის ვექტორი \(\boldsymbol{R}\).
2. ააწყვეთ მხები სიხისტის მატრიცა \(\boldsymbol{K}_T\).
3. ამოხსენით წრფივი სისტემა \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) და მიიღეთ გადაადგილების კორექცია \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. განაახლეთ ამონახსნი: \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. შეადარეთ კრებადობის კრიტერიუმებს; თუ კრებადობა მიღწეულია, დაასრულეთ იტერაცია, წინააღმდეგ შემთხვევაში დაბრუნდით ნაბიჯ 1-ზე.

წრფივი სისტემის ამოხსნას (ნაბიჯი 3) წრფივი ამომხსნელი ასრულებს. ამომხსნელისა და პრეკონდიცირების არჩევისთვის იხილეთ ამომხსნელი და პრეკონდიცირება.

იტერაციები კონტროლდება !STEP-ის ბიჯის მართვის პარამეტრებით. ძირითადი მნიშვნელობებია შემდეგი.

ბიჯების მართვაში ავტომატური ინკრემენტისა და cutback-ის განსაზღვრისთვის გამოყენებული Newton-ის იტერაციების მაქსიმალური რაოდენობა სწორედ აქ აღწერილი Newton-ის იტერაციების რაოდენობას ნიშნავს. ავტომატური ინკრემენტი ზრდის დროის ინკრემენტს ქვებიჯის შემდეგ, რომელსაც ცოტა იტერაცია დასჭირდა, და ამცირებს მას ქვებიჯის შემდეგ, რომელსაც ბევრი იტერაცია დასჭირდა.

კონტაქტური იტერაციები სტატიკურ ანალიზში¶

კონტაქტურ ანალიზში კონტაქტის მდგომარეობა იტერაციებისას იცვლება ზედაპირების მიწებების, განცალკევებისა და სრიალის გამო, ამიტომ Newton-ის იტერაციები კონტაქტის მდგომარეობის განახლებასთან ერთად ეწყობა. სტრუქტურა კონტაქტის ამოხსნის ალგორითმზეა დამოკიდებული.

ორივე ალგორითმისთვის ყველაზე გარეთ მოთავსებულია კონტაქტის მდგომარეობის ძიების ციკლი. მისი ყოველი გავლისას შიდა Newton-ის იტერაციების კრებადობის მიღწევის შემდეგ ხელახლა ფასდება კონტაქტის მდგომარეობა (მიწებება/განცალკევება); თუ მდგომარეობა შეიცვალა, განახლდება სიხისტის მატრიცის სტრუქტურა და შიდა იტერაციები თავიდან იწყება. ციკლი მთავრდება მაშინ, როცა კონტაქტის მდგომარეობა წინა ციკლთან შედარებით აღარ იცვლება და შესრულებულია კონტაქტის კრებადობის კრიტერიუმებიც (კონტაქტური ძალისა და Lagrange-ის მამრავლის კრიტერიუმები). მაქსიმალური რაოდენობა მითითებულია !STEP-ის MAXCONTITER-ით.

SLAGRANGE კონტაქტში სტანდარტული Lagrange-ის მამრავლების მეთოდით კონტაქტის თავისუფლების ხარისხები წრფივ სისტემაში ერთიანდება; შედეგად მიიღება ორფენიანი სტრუქტურა, სადაც კონტაქტის მდგომარეობის ძიების ციკლის შიგნით უშუალოდ Newton-ის იტერაციაა. გაფართოებული Lagrange-ის იტერაცია არ გამოიყენება.

ALAGRANGE კონტაქტში კონტაქტის მდგომარეობის ძიების ციკლის შიგნით დამატებით მოთავსებულია გაფართოებული Lagrange-ის იტერაცია, ხოლო მის შიგნით — Newton-ის იტერაცია, ანუ სტრუქტურა სამფენიანია. გაფართოებული Lagrange-ის ყოველი იტერაცია ხელახლა აფასებს კონტაქტურ შეზღუდვას ჯარიმის წევრისა და Lagrange-ის მამრავლის კომბინაციით და ეტაპობრივად აუმჯობესებს შეზღუდვის სიზუსტეს. გაფართოებული Lagrange-ის იტერაციების მაქსიმალური რაოდენობა მითითებულია !CONTACT_ALGO-ის AUGITER-ით.

კონტაქტური იტერაციების მართვის მნიშვნელობები შემდეგია.

ბიჯების მართვის ავტომატური ინკრემენტის განსაზღვრისას გამოყენებული კონტაქტური იტერაციების რაოდენობა ნიშნავს აქ აღწერილი იტერაციების რაოდენობას, რომლებიც კონტაქტის მდგომარეობის განახლებასაც მოიცავს. ანალიზებში, სადაც მიწებება და განცალკევება ხშირად იცვლება, კონტაქტური იტერაციების რაოდენობა ჩვეულებრივ იზრდება, რაც ავტომატური ინკრემენტისა და cutback-ის გადაწყვეტილებაზეც მოქმედებს. კონტაქტის ტიპის, წყვილის განსაზღვრისა და ალგორითმის არჩევისთვის იხილეთ კონტაქტი და ჩაშენება. კონტაქტის თავისუფლების ხარისხების შემცველი წრფივი სისტემის ამოხსნისთვის იხილეთ ამომხსნელი და პრეკონდიცირება.

დროითი ინტეგრება დინამიკურ ანალიზში (არაცხადი მეთოდი)¶

დინამიკური ანალიზის არაცხადი მეთოდი იყენებს Newmark-β მეთოდს, რათა ყოველ დროით ბიჯზე ერთმანეთთან დააკავშიროს შემდეგი დროის გადაადგილება, სიჩქარე და აჩქარება და მოძრაობის განტოლებასთან ერთად გამოთვალოს მდგომარეობა \(t + \Delta t\) დროს. დროის ბიჯზე \(\Delta t\) სტაბილურობის შეზღუდვა შედარებით რბილია, რაც დაბალი სიხშირის კომპონენტებით დომინირებული სტრუქტურული რეაქციის ეფექტურად გამოთვლას იძლევა.

დროითი ინტეგრების ორი პარამეტრია:

კომბინაციას \(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\) ეწოდება საშუალო აჩქარების მეთოდი; იგი უპირობოდ სტაბილურია და რიცხვითი ჩაქრობა არ აქვს, ამიტომ სტანდარტული არჩევანია. რიცხვითი ჩაქრობის შესატანად აირჩიეთ \(\gamma\) \(1/2\)-ზე მეტი. პარამეტრების კომბინაციის, სტაბილურობისა და ცდომილების თვისებების მათემატიკური დეტალებისთვის იხილეთ თეორიული სახელმძღვანელო.

არაწრფივობის (გეომეტრიული, მასალის ან კონტაქტური) არსებობისას Newton-ის იტერაციები სრულდება თითოეულ დროით ბიჯში; იტერაციის შიგნით იხსნება წრფივი სისტემა და განახლდება მდგომარეობა. კრებადობის კრიტერიუმებად გამოიყენება სტატიკური ანალიზის საერთო CONVERG და სხვ. კონტაქტის მქონე დინამიკურ ანალიზში დროით ბიჯში ჩაშენებულია იგივე იტერაციული სტრუქტურა, რაც სტატიკური ანალიზის კონტაქტურ იტერაციებში.

დინამიკური ანალიზის დროის ბიჯი ძირითადად !STEP-ის დროითი პირობებით კონტროლდება. ფიქსირებული ინკრემენტისას !STEP-ის DTIME არის დროის ბიჯი, ხოლო ETIME — ბიჯის დროითი სიგრძე. !DYNAMIC-ის n_step და t_delta გამოიყენება ნაგულისხმევ მნიშვნელობებად, როდესაც !STEP გამოტოვებულია, ან უკუთავსებადობისთვის. არაწრფივ არაცხად მეთოდში !STEP-ის INC_TYPE=AUTO ააქტიურებს ავტომატურ ინკრემენტსა და cutback-ს და დროის ბიჯი Newton-ისა და კონტაქტური იტერაციების მდგომარეობის მიხედვით იზრდება ან მცირდება. როგორც ფიქსირებული, ისე ავტომატური ინკრემენტისას დროის ბიჯი შეარჩიეთ კრებადობისა და საჭირო სიზუსტის გათვალისწინებით.

დროითი ინტეგრება დინამიკურ ანალიზში (ცხადი მეთოდი)¶

დინამიკური ანალიზის ცხადი მეთოდი ცენტრალური სხვაობის მეთოდით შემდეგი დროის მდგომარეობას პირდაპირ ითვლის მხოლოდ წინა დროის გადაადგილების, სიჩქარისა და აჩქარებისგან. რადგან განტოლებათა სისტემა არ იხსნება, თითო ბიჯის გამოთვლითი ღირებულება მცირეა. არაწრფივობის შემთხვევაშიც ყოველი დროითი ბიჯი ერთსაფეხურიანი განახლებაა Newton-ის იტერაციის გარეშე.

დროის ბიჯს აქვს სისტემის უმცირეს საკუთარ პერიოდზე დაფუძნებული სტაბილურობის პირობის (CFL პირობა) ზედა ზღვარი. ამ ზღვარზე დიდი ბიჯისას რიცხვითი ამონახსნი დივერგირდება, ამიტომ არაცხადი მეთოდის მსგავსად დიდი ბიჯის აღება შეუძლებელია. ცხადი მეთოდი ხელსაყრელია დარტყმის, ტალღის გავრცელებისა და სწრაფი კონტაქტის მსგავს მოვლენებში, სადაც ისედაც მცირე დროის ბიჯია საჭირო.

კონტაქტის არსებობისას შეზღუდვა მუშავდება Forward Increment Lagrange მეთოდით და კონტაქტური ძალა ფასდება ცხადი მეთოდის ერთსაფეხურიან განახლებასთან თავსებადი ფორმით.

სიხშირული პასუხის ანალიზის ამოხსნის მეთოდი¶

სიხშირული პასუხის ანალიზი მოდალური სუპერპოზიციის მეთოდით პირდაპირ პოულობს პერიოდულ სტაციონარულ რეაქციას სიხშირის დომენში. რეაქცია ფასდება აგზნების სიხშირის ცვლილებისას და დროის ისტორიის იტერაციულად მიყოლა საჭირო არ არის. არც არაწრფივი იტერაციები და არც დროითი ინტეგრება არ ტარდება.

სიხშირული პასუხის ანალიზისთვის წინასწარ საჭიროა იმავე სისტემის მოდალური ანალიზი და საჭირო რაოდენობის საკუთარი მოდების ამოღება. მხარდაჭერილია მხოლოდ წრფივი მოდელები; გეომეტრიული ან მასალის არაწრფივობის ჩართვისას ანალიზი ვერ შესრულდება. ანალიზის ტიპის პოზიციონირებისთვის იხილეთ ანალიზის ტიპები.

არასტაციონარული თბოგამტარობის დროითი წინსვლა და არაწრფივი იტერაციები¶

არასტაციონარულ თბოგამტარობას აქვს საკუთარი სრულად დამოუკიდებელი დროითი ციკლი !HEAT-ის შიგნით. დროის ბიჯი კონტროლდება სტრუქტურული ანალიზის !STEP და !AUTOINC_PARAM-ისგან განსხვავებული გზით, ხოლო ტემპერატურაზე დამოკიდებული მასალის თვისებებისას თითოეულ დროით ბიჯში არაწრფივი იტერაციები სრულდება.

დროითი ინტეგრების სქემა აირჩევა !HEAT-ის \(\beta\) პარამეტრით.

დროის ბიჯი ადაპტურად კონტროლდება საწყისი დროის ბიჯის, მინიმალური დროის ბიჯისა და ერთ ბიჯზე მაქსიმალური ტემპერატურული ცვლილების კომბინაციით. თუ გამოთვლის შემდეგ ტემპერატურის ცვლილება DELTMX-ს აჭარბებს, დროის ბიჯი მცირდება და გამოთვლა მეორდება. თუ ბიჯი მინიმალურ DTMIN-ზე ნაკლები ხდება, ანალიზი წყდება.

თუ მასალის თვისებები ტემპერატურაზეა დამოკიდებული, ყოველ დროით ბიჯში სრულდება არაწრფივი იტერაციები. მათი მართვა შემდეგია.

სტაციონარულ თბოგამტარობაში დროის ბიჯი არ გამოიყენება და, თუ მასალა ტემპერატურაზეა დამოკიდებული, სრულდება მხოლოდ არაწრფივი იტერაციები. თბოგამტარობის დროის მართვა დამოუკიდებელია სტრუქტურული ანალიზის !STEP-ისგან, ამიტომ დროის ბიჯის შესაცვლელად შეამოწმეთ !HEAT-ის პარამეტრები.

დაკავშირებული თემები¶

• ანალიზის ტიპები — თითოეული ანალიზის ტიპის ადგილი სისტემაში.
• კონტაქტი და ჩაშენება — კონტაქტის ტიპები, წყვილების განსაზღვრა და ამოხსნის ალგორითმის არჩევა.
• ამომხსნელი და პრეკონდიცირება — Newton-ის იტერაციებში გამოძახებული წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა.
• ბიჯების მართვა — გარე ბიჯების/ქვებიჯების მართვა და ავტომატური ინკრემენტი/cutback.
• Newton-Raphson მეთოდი (თეორია) — იტერაციული ამოხსნის ფორმულირება.
• კრებადობის კრიტერიუმები (თეორია) — კრებადობის მაჩვენებლების მათემატიკური განსაზღვრება.
• დინამიკური ანალიზის მეთოდები (თეორია) — Newmark-β და ცენტრალური სხვაობის მეთოდების ფორმულირება.
• არასტაციონარული თბოგამტარობის ანალიზი (თეორია) — თბოგამტარობის დროითი ინტეგრების ფორმულირება.
• კონტაქტური ანალიზი (თეორია) — Lagrange-ის მამრავლების მეთოდის ფორმულირება.
• საკვანძო სიტყვების ცნობარი: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.