შიგთავსზე გადასვლა

წრფივი დრეკადი სტატიკური ანალიზი (შესავალი)

აქ წარმოდგენილია მცირე დეფორმაციების თეორიაზე დაფუძნებული დრეკადი სტატიკური ანალიზის ფორმულირება. ძაბვასა და ფარდობით დეფორმაციას შორის კავშირისთვის მიღებულია წრფივი დრეკადობის ჰიპოთეზა. ეს თავი შესავალი ხასიათისაა და მიზნად ისახავს სასრული ელემენტების მეთოდით სტრუქტურული ანალიზის საერთო სურათის გაგებას; იგი ისეა შედგენილი, რომ დამოუკიდებლად, ერთ თავად წაიკითხოთ.

ვირტუალური მუშაობის პრინციპის ზოგადი განხილვისთვის (მიმდინარე კონფიგურაცია, საწყისი კონფიგურაცია და მცირე დეფორმაციებზე დაყვანა) იხილეთ ვირტუალური მუშაობის პრინციპი, წრფივი დრეკადი კონსტიტუციური კანონის დეტალებისთვის — წრფივი დრეკადობა, ტენზორული აღნიშვნებისა და Voigt-ის წარმოდგენის შეთანხმებებისთვის — ტენზორული აღნიშვნები და მათემატიკური საფუძვლები, სასრული დეფორმაციების ზოგადი ფორმულირებისთვის — მოძრაობა, დეფორმაცია და ფარდობითი დეფორმაცია, ხოლო არაწრფივი ამოცანების ამოხსნის მეთოდებისთვის — მხები სიხისტის მატრიცა.

ძირითადი განტოლებები

მცირე დეფორმაციისა და წრფივი დრეკადობის დაშვებებში მყარი სხეულის მექანიკის სასაზღვრო ამოცანა შედგება წონასწორობის განტოლებისგან, მექანიკური სასაზღვრო პირობებისა და გეომეტრიული (არსებითი) სასაზღვრო პირობებისგან (იხ. სურათი 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{შიგნით} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{ზე} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{ზე} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

აქ \(\boldsymbol{\sigma}\) არის კოშის ძაბვა, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) — სხეულური ძალა ერთეულ მოცულობაზე, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) — ზედაპირული ძალა (მოცემული მნიშვნელობა), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) — მოცემული გადაადგილება, ხოლო \(S_t, S_u\) — შესაბამისად მექანიკური და გეომეტრიული საზღვრები.

მყარი სხეულის მექანიკის სასაზღვრო ამოცანა (მცირე დეფორმაციის ამოცანა)

სურათი 2.1.1 მყარი სხეულის მექანიკის სასაზღვრო ამოცანა (მცირე დეფორმაციის ამოცანა)

დეფორმაცია–გადაადგილების კავშირი სიმეტრიული გრადიენტის ოპერატორის გამოყენებით იწერება როგორც

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

წრფივი დრეკადი კონსტიტუციური განტოლებაა

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

სადაც \(\boldsymbol{C}\) არის მეოთხე რიგის დრეკადობის ტენზორი.

ვირტუალური მუშაობის პრინციპი

ვირტუალური მუშაობის პრინციპის ზოგადი ფორმა (მიმდინარე კონფიგურაციის გამოსახულება, საწყისი კონფიგურაციის გამოსახულება და მცირე დეფორმაციებზე დაყვანა) თავმოყრილია ვირტუალური მუშაობის პრინციპში. მცირე დეფორმაციისა და წრფივი დრეკადობის დაშვებებში სუსტი ფორმაა

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{ზე} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

და კონსტიტუციური განტოლების \eqref{eq:2.1.5} ჩასმით და Voigt-ის წარმოდგენის გამოყენებით \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) სახით ჩაწერისას მიიღება დისკრეტიზაციისთვის პირდაპირ გამოსაყენებელი ფორმა

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

(აქ \(D\) არის წრფივი დრეკადობის დრეკადობის მატრიცა). განტოლებები \eqref{eq:2.1.10} და \eqref{eq:2.1.7} წარმოადგენს ვირტუალური მუშაობის პრინციპს, რომელიც ქვემოთ დისკრეტიზდება.

დისკრეტიზაცია და გლობალური განტოლების აწყობა

ვირტუალური მუშაობის პრინციპის განტოლება \( \eqref{eq:2.1.10} \) დისკრეტიზდება თითოეული სასრული ელემენტისთვის, რის შედეგადაც მიიღება შემდეგი განტოლება.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

თითოეული ელემენტისთვის გადაადგილების ველი ინტერპოლირდება ელემენტის შემადგენელი კვანძების გადაადგილებების გამოყენებით, როგორც ქვემოთაა ნაჩვენები.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

ამ შემთხვევაში დეფორმაცია, განტოლება \(\eqref{eq:2.1.4}\)-ის გამოყენებით, შემდეგნაირად განისაზღვრება.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

განტოლებები \(\eqref{eq:2.1.12}\) და \(\eqref{eq:2.1.13}\) ჩასვით განტოლება \(\eqref{eq:2.1.11}\)-ში, რის შედეგადაც მიიღება შემდეგი განტოლება.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

განტოლება \(\eqref{eq:2.1.14}\) შეიძლება შემდეგნაირად შეჯამდეს.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

სადაც: განტოლებებით \(\eqref{eq:2.1.16}\) და \(\eqref{eq:2.1.17}\) განსაზღვრული მატრიცისა და ვექტორის კომპონენტები შეიძლება გამოითვალოს თითოეული სასრული ელემენტისთვის და ერთმანეთზე დაიდოს.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

რადგან განტოლება \(\eqref{eq:2.1.15}\) უნდა სრულდებოდეს ნებისმიერი ვირტუალური გადაადგილებისთვის \(\delta \boldsymbol{U}\), მიიღება შემდეგი განტოლება.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

მეორე მხრივ, გადაადგილების სასაზღვრო პირობა, განტოლება \(\eqref{eq:2.1.3}\), შემდეგნაირად იწერება.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

განტოლება \(\eqref{eq:2.1.18}\)-ის ამოხსნით შეზღუდვის განტოლება \(\eqref{eq:2.1.19}\)-ის პირობებში შესაძლებელია კვანძური გადაადგილების \(\boldsymbol{U}\) განსაზღვრა.

დაკავშირებული თემები