შიგთავსზე გადასვლა

ფორმის ფუნქციები და სასრულ ელემენტთა მიახლოება

ვირტუალური მუშაობის პრინციპის სუსტი ფორმის კომპიუტერული დამუშავებისთვის სხეულის არე იყოფა სასრულ რაოდენობის ელემენტებად, ხოლო ელემენტის შიგნით მატერიალური წერტილის კოორდინატები, გადაადგილება და სატესტო ფუნქცია ინტერპოლირდება კვანძური მნიშვნელობებისა და ფორმის ფუნქციების გამოყენებით. ფორმის ფუნქციების სივრცული წარმოებულები განხილულია ფორმის ფუნქციების სივრცულ წარმოებულებში, სუსტი ფორმის დისკრეტიზაცია — შიდა ძალის ვირტუალური მუშაობის დისკრეტიზაციაში, ხოლო თითოეული ელემენტის ტიპისთვის ფორმის ფუნქციების კონკრეტული სახეები — ელემენტების ნომერაციის სისტემასა და ფორმის ფუნქციების ბიბლიოთეკაში და შემდგომ თავებში.

არეს დაყოფა და ინტეგრალის ელემენტურ ჯამად წარმოდგენა

საწყისი კონფიგურაციის არე \(\Omega_0\) და მიმდინარე კონფიგურაციის არე \(\Omega\) მიახლოებით წარმოდგენილია, შესაბამისად, ელემენტების \(\Omega^e_0\) და \(\Omega^e\) გაერთიანებით:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) არის ელემენტის ნომერი, ხოლო ელემენტების საზღვრები მეზობელ ელემენტებს შორის საერთოა). შედეგად, ვირტუალური მუშაობის პრინციპის მოცულობითი და ზედაპირული ინტეგრალები იშლება თითოეული ელემენტის ინტეგრალების ჯამად:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(მიმდინარე კონფიგურაციისთვისაც ანალოგიურად, \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) ჩანაცვლებით). შემდგომში სუსტი ფორმის შეფასება დაიყვანება ელემენტის დონეზე ინტეგრალების აგებაზე.

ინტერპოლაცია კვანძური მნიშვნელობებითა და ფორმის ფუნქციებით (იზოპარამეტრული ელემენტები)

თითოეულ ელემენტს \(\Omega^e_0\) მიეკუთვნება \(n_e\) კვანძი. ელემენტის კვანძის \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) საწყისი კონფიგურაციის კოორდინატები და კვანძური გადაადგილება აღინიშნება \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)-ით. მათგან შედგენილი ელემენტის კვანძური ვექტორები \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) მიიღება სრული კვანძური ვექტორებიდან \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (სადაც \(n_g\) კვანძების სრული რაოდენობაა), ელემენტ \(e\)-ს შემადგენელი კვანძების კომპონენტების ამოღებით.

ელემენტის ლოკალური კოორდინატების — ბუნებრივი კოორდინატების \(\boldsymbol{r}\) — პარამეტრად გამოყენებული ფორმის ფუნქციებით \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ელემენტის შიგნით მატერიალური კოორდინატები, გადაადგილება და სატესტო ფუნქცია ერთიდაიგივე ფორმის ფუნქციებით ინტერპოლირდება (იზოპარამეტრული ელემენტი, Galerkin-ის მეთოდი):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

ფორმის ფუნქციები აგებულია ისე, რომ აკმაყოფილებდეს ქვემოთ მოცემულ ორ თვისებას, ხოლო ბუნებრივი კოორდინატებიდან მატერიალურ კოორდინატებზე ასახვა \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) ელემენტის შიგნით ერთ-ერთზე იყოს; ამისათვის შესაბამისი ელემენტის ფორმა უნდა შეირჩეს:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) არის კვანძ \(\alpha\)-ს შესაბამისი ბუნებრივი კოორდინატების წერტილი, ხოლო \(\delta_{\alpha\beta}\) — Kronecker-ის დელტა). პირველი განტოლება უზრუნველყოფს მყარი სხეულის ტრანსლაციის აღდგენას, მეორე კი — რომ ინტერპოლირებული მნიშვნელობა კვანძში ემთხვევა კვანძურ მნიშვნელობას. თითოეული ელემენტის ტიპისთვის \(n_e\)-ისა და \(N_\alpha^e\)-ის კონკრეტული სახეები ნაჩვენებია ელემენტების ნომერაციის სისტემასა და ფორმის ფუნქციების ბიბლიოთეკაში და შემდგომ. აღნიშვნების ზედმეტი გართულების თავიდან ასაცილებლად, ელემენტის ტიპზე დამოკიდებულება წარმოდგენილია ელემენტური ზედა ინდექსით \(e\).

ამ ინტერპოლაციის წესებით სუსტი ფორმის ინტეგრანდი შეიძლება გამოისახოს მხოლოდ ელემენტის კვანძური მნიშვნელობებით \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) და \(N_\alpha^e\)-ით. ამავე დროს, დეფორმაცია მიიღება ინტერპოლირებული გადაადგილებისა და დეფორმაცია–გადაადგილების კავშირის საფუძველზე, ხოლო ძაბვა — ამ დეფორმაციისა და მასალის კონსტიტუციური კანონის საფუძველზე; ისინი უშუალოდ კვანძური მნიშვნელობებიდან არ ინტერპოლირდება. ეს სიდიდეები ფასდება ელემენტის შიგნით ინტეგრაციის წერტილებში (რიცხვითი ინტეგრაცია).

სრული კვანძური ვექტორის დალაგების წესი

კვანძებზე მინიჭებული ფიზიკური სიდიდეები სრულ კვანძურ ვექტორში ზრდადობით ლაგდება კვანძის ნომერი → თავისუფლების ხარისხი თანმიმდევრობით. თუ კვანძ \(\alpha\)-ზე თავისუფლების ხარისხის \(i\) კომპონენტია \(u_{i\alpha}\), მაშინ სამგანზომილებიან (\(i=1,2,3\)) და ორგანზომილებიან (\(i=1,2\)) შემთხვევებში, შესაბამისად,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

ასეთ სახეს იღებს. კოორდინატები \(\boldsymbol{X}^n\) და სატესტო ფუნქცია \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ასევე იმავე დალაგების წესს მიჰყვება. შემდგომ მატრიცული და ვექტორული გარდაქმნები სამგანზომილებიანი შემთხვევის წარმომადგენლობით ჩაიწერება.

დაკავშირებული თემები