შიგთავსზე გადასვლა

ფორმის ფუნქციების სივრცული წარმოებულები

ფორმის ფუნქციებსა და სასრულ ელემენტთა მიახლოებაში შემოღებული ფორმის ფუნქცია \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) მოცემულია ელემენტის ლოკალური კოორდინატების — ბუნებრივი კოორდინატების \(\boldsymbol{r}\) — ფუნქციად. ამავე დროს, სუსტი ფორმის ინტეგრანდში დეფორმაცია–გადაადგილების კავშირის გავლით ჩნდება ფიზიკური კოორდინატების (საწყისი კონფიგურაცია \(\boldsymbol{X}\) ან მიმდინარე კონფიგურაცია \(\boldsymbol{x}\)) მიმართ კერძო წარმოებულები \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ან \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). ამ თავში ორგანიზებულია ამ ფორმის ფუნქციების სივრცული წარმოებულების გამოთვლის პროცედურა ელემენტის კვანძური კოორდინატებისა და ბუნებრივი კოორდინატების წარმოებულებიდან.

სივრცული წარმოებულების გამოსახვა ჯაჭვის წესით

ინტერპოლაციის ფორმულაზე \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (წინა თავი) ჯაჭვის წესის გამოყენებით და ბუნებრივი კოორდინატებიდან ფიზიკურ კოორდინატებზე ასახვის იაკობის მატრიცის \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) გამოყენებით,

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

მიიღება. აქ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) და \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) არის მატრიცები, რომლებშიც სტრიქონი \(\alpha\) წარმოადგენს კვანძ \(\alpha\)-ის კერძო წარმოებულთა ვექტორს და რომელთა ზომაა \(n_e \times 3\).

იაკობის მატრიცის აგება

ინტერპოლაციის ფორმულის \(\boldsymbol{r}\)-ით დიფერენცირებისას

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

მიიღება, ამიტომ მატრიცა შეიძლება უშუალოდ აიგოს ელემენტის კვანძური კოორდინატებიდან \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) და ბუნებრივი კოორდინატების წარმოებულებიდან \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). ბუნებრივი კოორდინატების წარმოებულები განისაზღვრება ფორმის ფუნქციის ანალიზური სახით და წინასწარ არის რეალიზებული თითოეული ელემენტის ტიპისთვის.

იაკობის მატრიცის დეტერმინანტი \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) გამოიყენება რიცხვით ინტეგრაციაში მოცულობის ელემენტის გარდაქმნისთვის \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). თუ დეტერმინანტი \(0\)-ია, ელემენტი დეგენერირებულია და გამოთვლა ვერ შესრულდება.

გამოთვლის მიმდინარეობა

ზემო გამოყვანიდან სივრცული წარმოებულის \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) გამოთვლა იყოფა შემდეგ ოთხ ეტაპად.

  1. ბუნებრივი კოორდინატების წარმოებულების გამოთვლა: ელემენტის ტიპისა და შეფასების წერტილის ბუნებრივი კოორდინატების \(\boldsymbol{r}\) შეყვანით გამოითვლება ბუნებრივი კოორდინატების წარმოებულთა მატრიცა \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). რადგან ფორმის ფუნქციის სახე ელემენტის ტიპის მიხედვით განსხვავდება, გამოთვლა ელემენტის ტიპზე განშტოვდება.
  2. იაკობის მატრიცის გამოთვლა: ელემენტის კვანძური კოორდინატებიდან \(\boldsymbol{X}^e\) და \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) წინა განყოფილების ფორმულით აიგება იაკობის მატრიცა \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\).
  3. შებრუნებული მატრიცისა და დეტერმინანტის გამოთვლა: გამოითვლება იაკობის მატრიცის შებრუნებული მატრიცა \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) და დეტერმინანტი. დეტერმინანტი გამოიყენება რიცხვითი ინტეგრაციის წონაში.
  4. სივრცული წარმოებულების გამოთვლა: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)-ისა და \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)-ის ნამრავლით მიიღება სივრცული წარმოებული \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\).

ეს ოთხი ეტაპი განშტოვდება ელემენტის ტიპისა და სივრცის განზომილების (2D/3D) მიხედვით, თუმცა საერთო გამოთვლის მიმდინარეობა ერთნაირია.

საერთო პროცედურა საწყის და მიმდინარე კონფიგურაციებში

ზემო პროცედურა \(\boldsymbol{X}^e\)-ის მიმდინარე კვანძური კოორდინატებით \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ჩანაცვლებით ვრცელდება მიმდინარე კონფიგურაციის სივრცულ წარმოებულზეც \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\). ამიტომ სრული Lagrange-ისა და განახლებული Lagrange-ის მეთოდებში იგივე პროცედურა გამოიყენება, მხოლოდ შეყვანილი კვანძური კოორდინატების შეცვლით.

დაკავშირებული თემები