შიგთავსზე გადასვლა

ძაბვა და შენახვის კანონები

ამ თავში მოწესრიგებულია ძაბვის ტენზორების განსაზღვრებები და მათი ურთიერთკავშირები, აგრეთვე მასის, ხაზოვანი იმპულსისა და კუთხური იმპულსის შენახვის კანონებიდან მიღებული წონასწორობის განტოლებები და ძაბვის სიმეტრია. სამი ძაბვის ტენზორი — Cauchy-ის ძაბვა \(\boldsymbol{\sigma}\), პირველი Piola-Kirchhoff-ის ძაბვა \(\boldsymbol{P}\) და მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვა \(\boldsymbol{S}\) — განისაზღვრება იმის მიხედვით, თუ რომელი კონფიგურაცია გამოიყენება საცნობარო ზედაპირისა და ძალის ვექტორისთვის. კონფიგურაციის, მოძრაობისა და დეფორმაციის გრადიენტის განსაზღვრებებისთვის იხილეთ მოძრაობა, დეფორმაცია და ფარდობითი დეფორმაცია, ხოლო სიმბოლოების სიისთვის — ფიზიკური სიდიდეების სიმბოლოების სია.

Cauchy-ის ძაბვის ტენზორი

მიმდინარე კონფიგურაციაში წერტილ \(\boldsymbol{x}\)-თან მდებარე უსასრულოდ მცირე ზედაპირზე (ფართობი \(d\Gamma\), გარე ერთეულოვანი ნორმალი \(\boldsymbol{n}\)) მოქმედი ძალა აღვნიშნოთ \(d\boldsymbol{f}\)-ით და ზედაპირული ძალის ვექტორი \(\boldsymbol{t}\) განვსაზღვროთ, როგორც ერთეულ ფართობზე მოქმედი ძალა: \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) დამოკიდებულია როგორც მდებარეობაზე \(\boldsymbol{x}\), ისე ნორმალზე \(\boldsymbol{n}\). უსასრულოდ მცირე ტეტრაედრზე იმპულსის შენახვის კანონის გამოყენება აჩვენებს, რომ \(\boldsymbol{t}\) ხაზოვნად არის დამოკიდებული \(\boldsymbol{n}\)-ზე, ამიტომ არსებობს მეორე რანგის ტენზორი \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ისეთი, რომ

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ნებისმიერი \(\boldsymbol{n}\)-ისთვის (Cauchy-ის ძაბვის თეორემა). ამ ტენზორს \(\boldsymbol{\sigma}\) ეწოდება Cauchy-ის ძაბვის ტენზორი და ასევე ჭეშმარიტი ძაბვა, რადგან იგი წარმოადგენს მიმდინარე კონფიგურაციის გეომეტრიის მიმართ განსაზღვრულ ერთეულ ფართობზე მოქმედ ძალას. კომპონენტი \(\sigma_{ij}\) არის მიმდინარე კონფიგურაციაში \(x_j\) საკოორდინატო ღერძის მართობულ უსასრულოდ მცირე ზედაპირზე ერთეულ ფართობზე მოქმედი ძალის \(x_i\) კომპონენტი.

როგორც ქვემოთ კუთხური იმპულსის შენახვის კანონიდან გამოჩნდება, Cauchy-ის ძაბვა სიმეტრიული ტენზორია:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ამიტომ სამგანზომილებიან შემთხვევაში მას ექვსი დამოუკიდებელი კომპონენტი აქვს (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Voigt-ის აღნიშვნაში ძაბვის ვექტორიზაცია ამ სიმეტრიას ეყრდნობა (იხილეთ ტენზორული აღნიშვნა და მათემატიკური საფუძვლები). Cauchy-ის ძაბვა გამოიყენება FrontISTR-ის გეომეტრიულად არაწრფივ ანალიზში Updated Lagrange მეთოდით მიღებული ძაბვის გამოსატანად და მცირე დეფორმაციების ანალიზში.

პირველი და მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვები

სასრული დეფორმაციისას ხშირად მოსახერხებელია ძაბვის გამოსახვა საცნობარო კონფიგურაციის ზედაპირებისა და ვექტორების მიმართ, ამიტომ შემოდის ორი Piola-Kirchhoff-ის ძაბვის ტენზორი. საცნობარო კონფიგურაციაში უსასრულოდ მცირე ზედაპირის ფართობი იყოს \(d\Gamma_0\), ხოლო მისი გარე ერთეულოვანი ნორმალი — \(\boldsymbol{N}\).

პირველი Piola-Kirchhoff-ის ძაბვა (პირველი PK ძაბვა, ნომინალური ძაბვა) \(\boldsymbol{P}\) განისაზღვრება როგორც ძაბვის ტენზორი, რომელიც მიიღება მიმდინარე კონფიგურაციის ძალის \(d\boldsymbol{f}\) საცნობარო კონფიგურაციის უსასრულოდ მცირე ზედაპირზე მიყენებისას:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nanson-ის ფორმულის \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) და Cauchy-ის ძაბვის თეორემის გამოყენებით Cauchy-ის ძაბვასთან კავშირი მიიღება შემდეგი სახით

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

პირველი PK ძაბვა ზოგადად არასიმეტრიულია.

მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვა (მეორე PK ძაბვა) \(\boldsymbol{S}\) განისაზღვრება როგორც ძაბვის ტენზორი, რომელიც მიიღება მიმდინარე კონფიგურაციის ძალის \(d\boldsymbol{f}\) საცნობარო კონფიგურაციაში \(\boldsymbol{F}^{-1}\)-ით დაბრუნებისა და საცნობარო კონფიგურაციის უსასრულოდ მცირე ზედაპირზე მისი მოქმედების განხილვისას:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

როგორც ძალის ვექტორი, ისე ზედაპირი, რომელზეც იგი მოქმედებს, საცნობარო კონფიგურაციის სიდიდეებით არის გამოსახული; ამიტომ ტენზორი უცვლელია ხისტი სხეულის ბრუნვის მიმართ და სიმეტრიულია. მისი კავშირი პირველ PK ძაბვასთან და Cauchy-ის ძაბვიდან გარდაქმნაა

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

მეორე PK ძაბვა ჰიპერელასტიკური დეფორმაციის ენერგიის ფუნქციიდან \(W(\boldsymbol{C})\) მიიღება როგორც \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) და Total Lagrange მეთოდში Green-Lagrange-ის დეფორმაციასთან \(\boldsymbol{E}\) ერთად გამოიყენება, როგორც მუშაობის კონიუგირებული წყვილი \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

საცნობარო კონფიგურაციები და სიმეტრიის თვისებები შეჯამებულია ქვემოთ. მცირე დეფორმაციის ზღვარში (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) სამივე ძაბვა ერთმანეთს ემთხვევა.

ძაბვის ტენზორი საცნობარო ზედაპირი ძალის ვექტორი სიმეტრია გამოყენება
Cauchy-ის ძაბვა \(\boldsymbol{\sigma}\) მიმდინარე კონფიგურაცია \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) მიმდინარე კონფიგურაცია \(d\boldsymbol{f}\) სიმეტრიული Updated Lagrange მეთოდი / მცირე დეფორმაციის ანალიზი
პირველი PK ძაბვა \(\boldsymbol{P}\) საცნობარო კონფიგურაცია \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) მიმდინარე კონფიგურაცია \(d\boldsymbol{f}\) ზოგადად არასიმეტრიული წონასწორობის განტოლებები საცნობარო კონფიგურაციაში
მეორე PK ძაბვა \(\boldsymbol{S}\) საცნობარო კონფიგურაცია \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) საცნობარო კონფიგურაცია \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) სიმეტრიული Total Lagrange მეთოდი / ჰიპერელასტიკურობა

მასისა და იმპულსის შენახვა და წონასწორობის განტოლებები

მიმდინარე კონფიგურაციაში მასის სიმკვრივე იყოს \(\rho\), ხოლო საცნობარო კონფიგურაციაში — \(\rho_0\). მასის შენახვის კანონი \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), მოცულობის ელემენტის გარდაქმნასთან \(dv = J\, dV\) ერთად, ლოკალურ ფორმამდე დაიყვანება:

\[ \rho_0 = J \rho \]

ეს არის მასის შენახვის ლოკალური თანაფარდობა.

ერთეულ მასაზე მოქმედი მოცულობითი ძალა იყოს \(\boldsymbol{g}\), ხოლო აჩქარება — \(\boldsymbol{a}\). ხაზოვანი იმპულსის შენახვის კანონზე (Euler-ის მოძრაობის პირველი კანონი) Cauchy-ის ძაბვის თეორემისა და Gauss-ის დივერგენციის თეორემის გამოყენებით მიმდინარე კონფიგურაციაში მიიღება ლოკალური წონასწორობის განტოლება (მოძრაობის განტოლება):

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

ინტეგრალის საცნობარო კონფიგურაციაში გადაწერით, Nanson-ის ფორმულისა და \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) გამოყენებით, მიიღება ლოკალური ფორმა საცნობარო კონფიგურაციაში:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

ეს ორი ფორმა ეკვივალენტურია ძაბვის გარდაქმნის წესისა და \(\rho_0 = J\rho\) კავშირის საფუძველზე. ინერციული წევრის უგულებელყოფით მიიღება

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

რაც სტატიკური წონასწორობის განტოლებაა და FrontISTR-ის სტატიკური ანალიზის (წრფივი და არაწრფივი) საწყის წერტილს წარმოადგენს.

კუთხური იმპულსის შენახვა და ძაბვის სიმეტრია

კუთხური იმპულსის შენახვის კანონის (Euler-ის მოძრაობის მეორე კანონი) ხაზოვანი იმპულსის შენახვიდან მიღებულ წონასწორობის განტოლებასთან გაერთიანებით მიიღება Cauchy-ის ძაბვის ტენზორის სიმეტრია:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ამიტომ სამ განზომილებაში მას ექვსი დამოუკიდებელი კომპონენტი აქვს. გარდაქმნის \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) ორივე მხარის ტრანსპონირებით და \(\boldsymbol{F}\)-ის არაგანსაკუთრებულობის გამოყენებით ჩანს, რომ მეორე PK ძაბვაც სიმეტრიულია:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

და შესაბამისად მასაც ექვსი დამოუკიდებელი კომპონენტი აქვს. ამის საპირისპიროდ, პირველი PK ძაბვა \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ზოგადად სიმეტრიული არ არის; სრულდება მხოლოდ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (ანუ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) სიმეტრიულია), და მას ცხრა დამოუკიდებელი კომპონენტი აქვს.

ეს სიმეტრიები Voigt-ის აღნიშვნაში ძაბვის ექვსკომპონენტიანი ვექტორით გამოსახვის საფუძველია. Voigt-ის აღნიშვნის წესებისა და მასალის მატრიცების აგებისთვის იხილეთ ტენზორული აღნიშვნა და მათემატიკური საფუძვლები და წრფივი ელასტიკურობა.

დაკავშირებული თემები