შიგთავსზე გადასვლა

ვირტუალური მუშაობის პრინციპი

ძაბვასა და შენახვის კანონებში მიღებული წონასწორობის განტოლებისა და სასაზღვრო პირობების საფუძველზე გამოვიყვანთ ვირტუალური მუშაობის პრინციპს, რომელიც უწყვეტი გარემოს მექანიკის სასაზღვრო ამოცანის სუსტი ფორმაა. სასრულ ელემენტთა დისკრეტიზაცია სწორედ ამ სუსტი ფორმიდან იწყება. ამ თავში წარმოდგენილია როგორც მიმდინარე კონფიგურაციის ფორმა (Cauchy-ის ძაბვისა და Almansi-ის დეფორმაციის წრფივი ნაწილის გამოყენებით), ისე საცნობარო კონფიგურაციის ფორმა (მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვისა და Green-Lagrange-ის დეფორმაციის გამოყენებით), ნაჩვენებია მათი ეკვივალენტურობა და ბოლოს — მცირე დეფორმაციის შემთხვევამდე დაყვანა.

წონასწორობის განტოლება და სასაზღვრო პირობები

უწყვეტ გარემოზე ერთეულ მასაზე მოქმედი მოცულობითი ძალა აღვნიშნოთ \(\boldsymbol{g}\)-ით და განვიხილოთ სხეული, რომელიც მიმდინარე კონფიგურაციაში იკავებს არეს \(\Omega\). საზღვარი \(\Gamma\) იყოფა გადაადგილებით \(\bar{\boldsymbol{u}}\) განსაზღვრულ გეომეტრიულ საზღვრად \(\Gamma_B\) და ზედაპირული ძალით \(\bar{\boldsymbol{t}}\) განსაზღვრულ მექანიკურ საზღვრად \(\Gamma_t\); აქ \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) და \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). სტატიკური ამოცანისთვის ძაბვასა და შენახვის კანონებში მოცემული იმპულსის შენახვის განტოლებიდან ინერციული წევრის გამოტოვებით მიიღება წონასწორობის განტოლება:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

სასაზღვრო პირობებია

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

შემდგომ ვირტუალური მუშაობის პრინციპი გამოითვლება როგორც წონასწორობის განტოლებისა და მექანიკური სასაზღვრო პირობის \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) სუსტი ფორმა. გეომეტრიული სასაზღვრო პირობა \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) შეტანილია საცდელი ფუნქციის არჩევით.

სუსტი ფორმა მიმდინარე კონფიგურაციაში

სუსტ ფორმაში უცნობი გადაადგილების დასაშვები სივრცე და საცდელი ფუნქციების სივრცე შესაბამისად განვსაზღვროთ ასე:

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

აქ \(d\) არის სივრცის განზომილება, \(H^1(\Omega)\) — Sobolev-ის სივრცე ფუნქციებისა, რომლებიც თავიანთ პირველ სუსტ წარმოებულებთან ერთად კვადრატულად ინტეგრირებადია, ხოლო \(\delta\) აღნიშნავს ვარიაციას. მიმდინარე კონფიგურაციის წარმოდგენაში \(\Omega\) დეფორმირებული კონფიგურაციაა; რეალურ რიცხვით ამოხსნაში იგი ბრუნდება საცნობარო ან ცნობილ შუალედურ კონფიგურაციაში.

წონასწორობის განტოლების წონით \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) გამრავლებით და Gauss-ის დივერგენციის თეორემისა და მექანიკური სასაზღვრო პირობის გამოყენებით მიმდინარე კონფიგურაციაში ვირტუალური მუშაობის პრინციპი მიიღება:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

აქ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) არის Almansi-ის დეფორმაციის ტენზორის წრფივი ნაწილი, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

მისი ვარიაციაა \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). ამგვარად, უნდა მოიძებნოს \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ისეთი, რომ ვირტუალური მუშაობის განტოლება სრულდებოდეს ნებისმიერი \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)-ისთვის. მარცხენა მხარე შიდა ძალების ვირტუალური მუშაობაა, ხოლო მარჯვენა მხარე — მოცემული ზედაპირული და მოცულობითი ძალებით გამოწვეული გარე ძალების ვირტუალური მუშაობა.

რადგან ეს განტოლება დეფორმირებული (მიმდინარე) კონფიგურაციის არეზეა ჩაწერილი, რეალურ ამოხსნაში საცნობარო კონფიგურაციად ხელახლა ირჩევა საწყისი კონფიგურაცია \(\Omega_0\) ან ცნობილი შუალედური კონფიგურაცია, განტოლება ნამატურ ფორმაში გადაიწერება და შემდეგ იხსნება. საცნობარო კონფიგურაციის კონკრეტული არჩევისა (Total Lagrange / Updated Lagrange) და ნამატური დაშლისთვის იხილეთ ნაზრდული ანალიზის ჩარჩო.

სუსტი ფორმა საწყის კონფიგურაციაში

განვიხილოთ სხეული, რომელიც საცნობარო კონფიგურაციაში იკავებს არეს \(\Omega_0\), ხოლო მისი საზღვარი \(\Gamma_0\) იყოფა \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\)-ად. მიმდინარე კონფიგურაციის წარმოდგენის საცნობარო კონფიგურაციაში დაბრუნებისას კონიუგირებული ძაბვა-დეფორმაციის წყვილი ხდება მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვა \(\boldsymbol{S}\) და Green-Lagrange-ის დეფორმაცია \(\boldsymbol{E}\). ამ დროს საწყის კონფიგურაციაში ვირტუალური მუშაობის პრინციპია

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

აქ \(\rho_0\) არის მასის სიმკვრივე საცნობარო კონფიგურაციაში; მასის შენახვის თანაფარდობით \(\rho_0 = J\rho\) ეს ეკვივალენტურია მოცულობითი ძალის მიმდინარე კონფიგურაციის წარმოდგენისა.

მიმდინარე და საწყისი კონფიგურაციების წარმოდგენების ეკვივალენტურობა

ორ წარმოდგენაში შიდა ძალების ვირტუალური მუშაობა ემთხვევა დეფორმაციის გრადიენტის \(\boldsymbol{F}\) და მოცულობის ფარდობის \(J = \det \boldsymbol{F}\) გამოყენებით გარდაქმნის შედეგად; კერძოდ,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

გარე ძალების წევრებიც ეკვივალენტურია მასის შენახვისა და ზედაპირული ძალების გარდაქმნის გამო. შესაბამისად, მიმდინარე და საწყის კონფიგურაციებში ვირტუალური მუშაობის განტოლებები ერთი და იმავე პრინციპის სხვადასხვა კონფიგურაციაში გამოსახული ფორმებია. ამოხსნის მეთოდი, რომელიც საწყის საცნობარო კონფიგურაციას ეყრდნობა, შეესაბამება Total Lagrange მეთოდს, ხოლო მიმდინარე კონფიგურაციაზე (წინა კრებად კონფიგურაციაზე) დაყრდნობილი — Updated Lagrange მეთოდს.

მცირე დეფორმაციამდე დაყვანა

მცირე დეფორმაციის დაშვებებისას \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) და \(J \approx 1\) მიმდინარე და საცნობარო კონფიგურაციებს შორის განსხვავება ქრება, მეორე PK ძაბვა ემთხვევა Cauchy-ის ძაბვას (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), ხოლო Green-Lagrange-ის დეფორმაცია და Almansi-ის დეფორმაციის წრფივი ნაწილი ორივე მცირე ფარდობით დეფორმაციამდე \(\boldsymbol{\varepsilon}\) დაიყვანება.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ამ დროს ვირტუალური მუშაობის პრინციპი Cauchy-ის ძაბვის \(\boldsymbol{\sigma}\) და მცირე ფარდობითი დეფორმაციის \(\boldsymbol{\varepsilon}\) სუსტ ფორმამდე დაიყვანება:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ეს არის სუსტი ფორმა, რომელიც პირდაპირ გამოიყენება მცირე დეფორმაციის წრფივი ელასტიკური სტატიკური ანალიზის დისკრეტიზაციაში (წრფივი ელასტიკური სტატიკური ანალიზი (შესავალი და დანართი) ამ ფორმიდან იწყებს ელემენტის სიხისტის \(\boldsymbol{K}^e\) აგებას და გლობალური განტოლების \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) აწყობას).

წრფივი ელასტიკურობის კონსტიტუციური კანონის \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ჩასმით და Voigt-ის აღნიშვნაში \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ჩაწერით სუსტი ფორმა ხდება

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

შემდეგი სახის.

დაკავშირებული თემები