შიგთავსზე გადასვლა

ნაზრდული ანალიზის ჩარჩო

ნაზრდული ანალიზის აუცილებლობა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, მცირე დეფორმაციის ამოცანების ანალიზში სასრულ ელემენტთა ანალიზი შეიძლება შესრულდეს ვირტუალური მუშაობის პრინციპის გამოყენებით, რომელიც ეკვივალენტურია წონასწორობის განტოლებებისა და სხვა ძირითად განტოლებებთან, და ამ განტოლების სასრულ ელემენტებად დისკრეტიზაციით. სტრუქტურების დიდი დეფორმაციის შემცველი სასრული დეფორმაციის ამოცანების ანალიზშიც გამოიყენება ვირტუალური მუშაობის იგივე ძირითადი პრინციპი.

თუმცა სასრული დეფორმაციის ამოცანებში, თუნდაც მასალის წრფივობა იყოს დაშვებული, ვირტუალური მუშაობის პრინციპის განტოლება გადაადგილების მიმართ არაწრფივი ხდება. არაწრფივი განტოლებების ამოსახსნელად ჩვეულებრივ გამოიყენება იტერაციული მეთოდები და განმეორებითი გამოთვლები.

ამ განმეორებით გამოთვლებში გამოიყენება ნაზრდული ანალიზის მეთოდი, სადაც გამოთვლა ეტაპობრივად ტარდება მცირე დატვირთვის ნაზრდებისთვის და ნაზრდები ჯამდება საბოლოო დეფორმირებულ მდგომარეობამდე. მცირე დეფორმაციის ამოცანის დაშვებისას ფარდობითი დეფორმაციისა და ძაბვის განსაზღვრისას დეფორმაციამდე და დეფორმაციის შემდეგ კონფიგურაციებს შორის განსაკუთრებული განსხვავება არ კეთდება. ანუ მცირე დეფორმაციის დაშვებაში მნიშვნელობა არ აქვს, ძირითადი განტოლებების აღსაწერად დეფორმაციამდე თუ დეფორმაციის შემდეგ კონფიგურაცია გამოიყენება.

სასრული დეფორმაციის ამოცანის ნაზრდული ანალიზისას ფორმულირება განსხვავდება იმის მიხედვით, საწყისი კონფიგურაცია მიიღება საცნობარო კონფიგურაციად თუ ნაზრდის დასაწყისის კონფიგურაცია. პირველს ეწოდება სრული Lagrange-ის მეთოდი, მეორეს — განახლებული Lagrange-ის მეთოდი. დეტალებისთვის იხილეთ თავის ბოლოს მოცემული ლიტერატურა და დაკავშირებული მასალა.

საწყისი განტოლება: ვირტუალური მუშაობის პრინციპი დროს \(t'\)

განვიხილოთ ნაზრდული ანალიზი, სადაც დრო \(t\)-მდე მდგომარეობა ცნობილია, ხოლო დრო \(t' = t + \Delta t\)-ზე მდგომარეობა უცნობია (იხ. ნახ. 2.2.1). დრო \(t'\)-ზე წონასწორობის განტოლებები, სასაზღვრო პირობები და ვირტუალური მუშაობის პრინციპი (მიმდინარე კონფიგურაციაში Cauchy-ის ძაბვის \(^{t'}\sigma\) და Almansi-ის დეფორმაციის წრფივი ნაწილის \(^{t'} A_{(L)}\) გამოყენებით) მოცემულია ვირტუალური მუშაობის პრინციპში.

ნაზრდული ანალიზის კონცეფცია

ნახ. 2.2.1 ნაზრდული ანალიზის კონცეფცია

თუმცა, რადგან ეს საწყისი განტოლება დაწერილია დრო \(t'\)-ის (უცნობ) კონფიგურაციაში, რეალურ ამოხსნის პროცედურაში საცნობარო კონფიგურაციად აირჩევა ან დრო \(0\)-ის საწყისი კონფიგურაცია \(V\), ან ნაზრდის დასაწყისის დრო \(t\)-ის მიმდინარე კონფიგურაცია \(^{t'} v\), შემდეგ განტოლება გადაიწერება ნაზრდული სახით და იხსნება:

  • სრული Lagrange-ის მეთოდი — საცნობაროდ იყენებს საწყის კონფიგურაციას \(V\). გამოიყენება მე-2 PK ძაბვა \(\boldsymbol{S}\) და Green-Lagrange-ის დეფორმაცია \(\boldsymbol{E}\).
  • განახლებული Lagrange-ის მეთოდი — საცნობაროდ იყენებს ნაზრდის დასაწყისის მიმდინარე კონფიგურაციას \(^{t}v\). გამოიყენება Cauchy-ის ძაბვა \(\boldsymbol{\sigma}\) და Almansi-ის დეფორმაციის წრფივი ნაწილი \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

ორივე ფორმულირების სივრცითი დისკრეტიზაციისთვის (B მატრიცა და შიდა ძალის ვექტორი) იხილეთ შიდა ვირტუალური მუშაობის დისკრეტიზაცია; წრფივებისა და მხები სიხისტის აგებისთვის იხილეთ მხები სიხისტის მატრიცა.

დაკავშირებული თემები