შიგთავსზე გადასვლა

ტენზორული აღნიშვნები და მათემატიკური საფუძვლები

ამ თავში თავმოყრილია FrontISTR-ის თეორიის სახელმძღვანელოს შემდგომ თავებში გამოყენებული ტენზორული აღნიშვნების, ინდექსური აღნიშვნებისა და Voigt-ის აღნიშვნების წესები. აქ აღწერილია მხოლოდ სუფთა აღნიშვნის წესები, რომლებიც ფიზიკური სიდიდეების განსაზღვრებებზე არ არის დამოკიდებული. კონტინუუმის მოძრაობის კონფიგურაციაზე (საცნობარო/მიმდინარე კონფიგურაცია) დამოკიდებული აღნიშვნის წესები — მაგალითად, დიდი და პატარა ასოების განსხვავება და მატერიალური და სივრცითი წარმოებულების გარჩევა — მოცემულია მოძრაობა, დეფორმაცია და ფარდობითი დეფორმაციაში, სადაც კონფიგურაციის ცნება შემოდის.

ტენზორული აღნიშვნები

ვექტორებისა და ტენზორების მსხვილი შრიფტით აღნიშვნა

ტიპოგრაფიული შეთანხმების მიხედვით, სკალარული სიდიდეები და ვექტორებისა და ტენზორების კომპონენტები იწერება ჩვეულებრივი შრიფტით (მაგალითად, \(\rho\) და \(x_i\)), ხოლო თვით ვექტორული და ტენზორული სიდიდეები — მსხვილი შრიფტით (მაგალითად, \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) და \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einstein-ის შეჯამების შეთანხმება

თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, გამოიყენება Einstein-ის შეჯამების შეთანხმება: როდესაც ერთსა და იმავე წევრში ერთი და იგივე ინდექსი ორჯერ გვხვდება, ამ ინდექსზე შეჯამება იგულისხმება. მაგალითად,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ხოლო ტენზორების \(\boldsymbol{A}\) და \(\boldsymbol{B}\) ნამრავლის \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) \(i,j\) კომპონენტია

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

ინდექსების შეთანხმებით, თუ \(i, j, k, l, \ldots\) დამატებითი განმარტების გარეშე გამოიყენება ინდექსებად, ისინი აღნიშნავს თავისუფლების ხარისხებთან დაკავშირებულ ინდექსებს (სამ განზომილებაში \(1, 2, 3\)), ხოლო პატარა ბერძნული ასოები \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ინდექსებად გამოყენებისას აღნიშნავს ელემენტის შემადგენელ კვანძებთან დაკავშირებულ ინდექსებს.

შიდა ნამრავლი, ტრანსპონირება და ტენზორული ნამრავლი

ტენზორ \(\boldsymbol{A}\)-ს ტრანსპონირებული ტენზორი აღინიშნება \(\boldsymbol{A}^T\)-ით. მეორე რანგის ტენზორების \(\boldsymbol{A}\) და \(\boldsymbol{B}\) შიდა ნამრავლი (ორმაგი შეკუმშვა) იწერება

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

ვექტორების \(\boldsymbol{a}\) და \(\boldsymbol{b}\) შიდა ნამრავლია \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), ხოლო მათი ტენზორული ნამრავლია \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-ის აღნიშვნა

ძაბვა და დეფორმაცია თავისუფლების ხარისხების მიმართ სიმეტრიული მეორე რანგის ტენზორებია, ხოლო მათ შორის წრფივი დამოკიდებულების გამომხატველი კოეფიციენტები მეოთხე რანგის ტენზორს ქმნის. პროგრამაში მათი უშუალოდ დამუშავება არახელსაყრელია გამოთვლითი ღირებულებისა და კოდირების თვალსაზრისით (მრავალგანზომილებიანი მასივები და ღრმად ჩადგმული ციკლები). ამიტომ ზოგადი სასრულ ელემენტთა პროგრამები სიმეტრიას იყენებს და ძაბვასა და დეფორმაციას სვეტ-ვექტორებად, ხოლო მეოთხე რანგის ელასტიკურობის ტენზორს ორგანზომილებიან მატრიცად კუმშავს. ამას Voigt-ის აღნიშვნა ეწოდება.

შემდგომში ტენზორული სიდიდე \(\boldsymbol{A}\)-ს მატრიცულ ან ვექტორულ წარმოდგენას აღვნიშნავთ \(\hat{A}\)-ით, რათა იგი საწყისი ტენზორისგან განვასხვავოთ.

ძაბვისა და დეფორმაციის ვექტორული წარმოდგენა

სიმეტრიული ძაბვის ტენზორის \(\boldsymbol{\sigma}\) და დეფორმაციის ტენზორის \(\boldsymbol{\varepsilon}\) შემთხვევაში ორ განზომილებაში,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

სამ განზომილებაში,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ისინი ზემოთ ნაჩვენები სახით სვეტ-ვექტორებად მუშავდება. იგივე წესი ვრცელდება წარმოებულ სიდიდეებზე, მაგალითად ვარიაციებსა და დიფერენციალებზე. გაითვალისწინეთ, რომ დეფორმაციის მხარეს ჭრის კომპონენტებს აქვს 2-ის მამრავლი (ძაბვის მხარეს — არა). ამ ასიმეტრიის გამო ტენზორული შიდა ნამრავლი კომპაქტურად შეიძლება დაიწეროს ვექტორული შიდა ნამრავლით

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

განხორციელებისას ჭრის დეფორმაციის კომპონენტებზე 2-ის მამრავლის არასწორად გამოყენება ადვილია, ამიტომ ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს შეთანხმება: „ძაბვაზე არ არის / დეფორმაციაზე არის“. ზუსტად იგივე Voigt-ის შეთანხმება გამოიყენება საცნობარო კონფიგურაციის სიდიდეებისთვისაც (მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვა \(\boldsymbol{S}\) და Green-Lagrange-ის დეფორმაცია \(\boldsymbol{E}\)).

მეოთხე რანგის ტენზორის მატრიცული წარმოდგენა

ძაბვასა და დეფორმაციას შორის წრფივი დამოკიდებულებისთვის \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (კომპონენტურ ფორმაში \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ის სიმეტრიის გამოყენებით მიიღება

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

სამ განზომილებაში \(\tilde{C}\)-ის 6×6 მასალის მატრიცად \(\hat{\tilde{C}}\) დალაგებით საწყისი ტენზორული დამოკიდებულება გამოიხატება

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

შემდგომში ამ სახელმძღვანელოში, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, მასალის მატრიცა აღინიშნება \(D\)-ით (ან \(\hat{C}\)-ით). იზოტროპული წრფივი ელასტიკურობის კონკრეტული კომპონენტებისთვის იხილეთ წრფივი ელასტიკურობა.

დიფერენციალური ოპერატორების შეთანხმებები

სიმეტრიული გრადიენტის ოპერატორი

ვექტორული ველის \(\boldsymbol{u}\) სიმეტრიული გრადიენტის ოპერატორი \(\nabla_S\) განისაზღვრება

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

კომპონენტურ ფორმაში \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). უსასრულოდ მცირე დეფორმაციის \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) კომპაქტურად გამოსახვა შეიძლება ამ ოპერატორით. სასრული დეფორმაციისას გრადიენტის აღების კონფიგურაციების (საცნობარო/მიმდინარე) განსხვავება განხილულია მოძრაობა, დეფორმაცია და ფარდობითი დეფორმაციაში.

მატერიალური დროითი წარმოებული

სიდიდე \(A\)-ს მატერიალური დროითი წარმოებული (იმავე მატერიალურ წერტილზე მიმყოლი დროითი წარმოებული) აღინიშნება ზედა წერტილით, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

სიჩქარე და აჩქარებაც ამ შეთანხმებას მიჰყვება.

დაკავშირებული თემები