შიგთავსზე გადასვლა

დინამიკური ანალიზის მეთოდები

ამ განყოფილებაში აღწერილია დინამიკური ამოცანების ანალიზის მეთოდები პირდაპირი დროითი ინტეგრაციის გამოყენებით. ქვემოთ მოცემულია არაცხადი და ცხადი მეთოდების ფორმულირებები.

მოძრაობის განტოლების დისკრეტიზაცია (საერთო ჩარჩო)

TBD (ტექსტი დაემატება შემდეგ ეტაპზე).

არაცხადი მეთოდი (Newmark-β მეთოდი)

დინამიკური ამოცანისთვის ქვემოთ მოცემული მოძრაობის განტოლების ამოსახსნელად გამოყენებულია პირდაპირი დროითი ინტეგრაციის მეთოდი.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

აქ \(M\) არის მასის მატრიცა, \(C\) — დემპფირების მატრიცა, \(Q\) — შიდა ძალის ვექტორი, ხოლო \(F\) — გარე ძალის ვექტორი. მასის მატრიცა არაწრფივი ანალიზის დროსაც დეფორმაციისგან დამოუკიდებლად მუდმივად ითვლება.

დროის ნამატში \(\Delta t\) გადაადგილების, სიჩქარისა და აჩქარების ცვლილებები Newmark-\(\beta\) მეთოდით მიახლოებით გამოისახება განტოლებებში \(\eqref{eq:2.5.2}\) და \(\eqref{eq:2.5.3}\) ნაჩვენები სახით.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

აქ \(\gamma\) და \(\beta\) არის Newmark-\(\beta\) მეთოდის პარამეტრები.

როგორც ცნობილია, \(\gamma\)-სა და \(\beta\)-ს ქვემოთ მოცემული მნიშვნელობებისას მიიღება, შესაბამისად, წრფივი აჩქარების მეთოდი ან ტრაპეციის წესი.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (წრფივი აჩქარების მეთოდი)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ტრაპეციის წესი)

განტოლებების \(\eqref{eq:2.5.2}\) და \(\eqref{eq:2.5.3}\) განტოლებაში \(\eqref{eq:2.5.1}\) ჩასმით მიიღება შემდეგი განტოლება.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

კერძოდ, წრფივი ამოცანისთვის \(K_L\) არის წრფივი სიხისტის მატრიცა და \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\); ამ გამოსახულების ზემო განტოლებაში ჩასმით მიიღება შემდეგი განტოლება.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

იმ ადგილებში, სადაც გეომეტრიულ სასაზღვრო პირობად აჩქარებაა განსაზღვრული, გადაადგილება მიიღება განტოლებიდან \(\eqref{eq:2.5.2}\) შემდეგი სახით.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

ანალოგიურად, იმ ადგილებში, სადაც სიჩქარეა განსაზღვრული, გადაადგილება მიიღება განტოლებიდან \(\eqref{eq:2.5.6}\) შემდეგი სახით.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

აქ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) არის კვანძური გადაადგილება დროს \(t+\Delta{t}\), ხოლო \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — კვანძური სიჩქარე დროს \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) არის კვანძური აჩქარება დროს \(t+\Delta{t}\), \(i\) — კვანძის თავისუფლების ხარისხის ნომერი, ხოლო \(s\) — კვანძის ნომერი. მასისა და დემპფირების წევრები მუშავდება შემდეგნაირად.

მასის წევრის დამუშავება

მასის მატრიცა, როგორც წესი, განიხილება კონცენტრირებული მასის მატრიცად.

დემპფირების წევრის დამუშავება

დემპფირების წევრი განიხილება Rayleigh-ის დემპფირებად, რომელიც გამოისახება განტოლებით \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

აქ \(R_m\) და \(R_k\) არის Rayleigh-ის დემპფირების პარამეტრები.

!DYNAMIC ბარათში მითითებული \(R_m\) და \(R_k\) ერთნაირად ვრცელდება მთელ მოდელზე. თუ სხვადასხვა მასალისთვის განსხვავებული \(R_m\) და \(R_k\) მნიშვნელობების მინიჭებაა საჭირო, შესაბამისი მასალის !MATERIAL ბლოკში მიუთითეთ !DAMPING ბარათი. !DAMPING-ით განსაზღვრულ მასალას მიკუთვნებული ელემენტებისთვის ელემენტური დემპფირების მატრიცა გამოითვლება ამ ელემენტის მასის მატრიციდან \(M_i\) და მხები სიხისტის მატრიციდან \(K_i\), როგორც \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), შემდეგ კი თავსდება გლობალურ დემპფირების მატრიცაში. ეს ფუნქცია მოქმედებს მხოლოდ არაცხადი მეთოდისთვის.

ცხადი მეთოდი (ცენტრალური სხვაობის მეთოდი)

ცხადი მეთოდი ეფუძნება ქვემოთ მოცემულ მოძრაობის განტოლებას დროს t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

აქ დროებზე \(t + \Delta t\) და \(t - \Delta t\) გადაადგილებები გამოისახება დრო \(t\)-ზე Taylor-ის გაშლით; \(\Delta t\)-ის მიმართ მეორე რიგის წევრების ჩათვლით მიიღება შემდეგი:

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

განტოლებების \(\eqref{eq:2.5.3}\) და \(\eqref{eq:2.5.4}\) სხვაობიდან და ჯამიდან მიიღება შემდეგი განტოლებები.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

განტოლებების \(\eqref{eq:2.5.12}\) და \(\eqref{eq:2.5.13}\) განტოლებაში \(\eqref{eq:2.5.9}\) ჩასმით მიიღება შემდეგი განტოლება.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

კერძოდ, წრფივი ამოცანისთვის \(Q(t) = K_L U(t)\), ამიტომ ზემო განტოლება იღებს შემდეგ სახეს

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

თუ მასის მატრიცა \(M\) კონცენტრირებული მასის მატრიცად, ხოლო დემპფირების მატრიცა პროპორციული დემპფირების მატრიცად \(C = R_m M\) ავიღეთ, განტოლება \(\eqref{eq:2.5.15}\) აღარ საჭიროებს ერთდროული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ოპერაციას.

ამიტომ განტოლებიდან \(\eqref{eq:2.5.15}\) \(U(t+\Delta t)\) შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი განტოლებით.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

დაკავშირებული თემები