მოდალური ანალიზი¶

განზოგადებული საკუთარი მნიშვნელობის ამოცანა¶

უწყვეტი სხეულის თავისუფალი რხევის ანალიზისას სივრცული დისკრეტიზაციის შემდეგ სისტემა მოდელირდება კონცენტრირებული მასებით მრავალთავისუფლების ხარისხის სისტემად, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 2.3.1-ზე. დემპფირების გარეშე თავისუფალი რხევის ამოცანისთვის მმართველი განტოლება (მოძრაობის განტოლება) შემდეგია.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

აქ $u$ არის განზოგადებული გადაადგილების ვექტორი, $M$ — მასის მატრიცა, ხოლო $K$ — სიხისტის მატრიცა. ავიღოთ საკუთარი კუთხური სიხშირე $\omega$, ნებისმიერი მუდმივები $a$ და $b$, რომლებიც ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, და ვექტორი $x$. განვსაზღვროთ ფუნქცია

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

განვსაზღვროთ. ამ გამოსახულებისა და მისი მეორე წარმოებულის, ანუ

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

განტოლებების $\eqref{eq:2.3.2}$ და $\eqref{eq:2.3.3}$ განტოლებაში $\eqref{eq:2.3.1}$ ჩასმით მიიღება

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

მიიღება ზემოთ მოცემული განტოლება.

არატრივიალური რხევისას $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ იდენტურად ნულის ტოლი არ არის.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

ამიტომ სრულდება ზემოთ მოცემული დამოკიდებულება. თუ $\lambda=\omega^2$, მაშინ მიიღება

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

მიიღება ზემოთ მოცემული განტოლება.

სკალარს $\lambda$ ეწოდება საკუთარი მნიშვნელობა, ვექტორს $x$ — საკუთარი ვექტორი, ხოლო განტოლებით $\eqref{eq:2.3.5}$ გამოსახულ ამოცანას — განზოგადებული საკუთარი მნიშვნელობის ამოცანა.

საკუთარი კუთხური სიხშირე $\omega$ მიიღება საკუთარი მნიშვნელობიდან $\lambda=\omega^2$, ხოლო შესაბამისი საკუთარი ვექტორი $x$ მოდის ფორმას წარმოადგენს.

დემპფირების გარეშე თავისუფალი რხევის მრავალთავისუფლების ხარისხის სისტემის მაგალითი

ნახ. 2.3.1　დემპფირების გარეშე თავისუფალი რხევის მრავალთავისუფლების ხარისხის სისტემის მაგალითი

მატრიცების თვისებები და დაშვებები¶

წინა განყოფილებაში მიღებული განზოგადებული საკუთარი მნიშვნელობის ამოცანისთვის $Kx=\lambda Mx$ ამ სახელმძღვანელოში მატრიცები სიმეტრიულად მიიჩნევა. კომპლექსური მატრიცებისთვის ეს ერმიტულ მატრიცებს შეესაბამება, ხოლო ნამდვილი მატრიცებისთვის — სიმეტრიულ მატრიცებს.

ავიღოთ $K$ მატრიცის $ij$ ელემენტი $k_{ij}$. ერმიტული თვისება გამოისახება როგორც

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

ზემოთ მოცემული განტოლება, სადაც $\bar{k}_{ji}$ არის $k_{ji}$-ის კომპლექსურად შეუღლებული მნიშვნელობა. ნამდვილი მატრიცებისთვის ეს დამოკიდებულება ხდება $k_{ij}=k_{ji}$.

ნამდვილი სიმეტრიული მატრიცა $H$ დადებითად განსაზღვრულია, თუ ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორისთვის $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

სრულდება ზემოთ მოცემული უტოლობა. ამ შემთხვევაში $H$-ის ყველა საკუთარი მნიშვნელობა დადებითია.

სტრუქტურულ საკუთარი მნიშვნელობის ამოცანაში მასის მატრიცა $M$ ჩვეულებრივ დადებითად განსაზღვრულად განიხილება. თუმცა სიხისტის მატრიცა $K$, შეზღუდვებიდან გამომდინარე, შეიძლება დადებითად ნახევრადგანსაზღვრული იყოს და ჰქონდეს ხისტი სხეულის მოდების შესაბამისი ნულოვანი საკუთარი მნიშვნელობები.

წანაცვლებიანი შებრუნებული იტერაციის მეთოდი¶

სასრულ ელემენტთა მეთოდით სტრუქტურულ ანალიზში პრაქტიკულად ხშირად ყველა საკუთარი მნიშვნელობა საჭირო არ არის და რამდენიმე დაბალი რიგის საკუთარი მნიშვნელობაც საკმარისია. ამასთან, HEC-MW განკუთვნილია მასშტაბური ამოცანებისთვის, ამიტომ მატრიცები დიდი ზომისა და ძალიან იშვიათია (მრავალი ნულოვანი ელემენტით). ამ გარემოების გათვალისწინებით მნიშვნელოვანია დაბალი რიგის მოდების საკუთარი მნიშვნელობების ეფექტურად გამოთვლა.

$\sigma$ წანაცვლებისთვის, თუ $-\sigma$ საკუთარი მნიშვნელობა არ არის და $K+\sigma M$ არასინგულარულია, განტოლება $\eqref{eq:2.3.5}$ შეიძლება შემდეგნაირად გარდაიქმნას.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

ეს გარდაქმნა საკუთარ ვექტორს $x$ უცვლელს ტოვებს, ხოლო საკუთარ მნიშვნელობას $\lambda$ ასახავს $1/(\lambda+\sigma)$-ზე.

შესაბამისად, რაც უფრო ახლოსაა $\lambda$ $-\sigma$-თან, მით უფრო დიდია გარდაქმნილი საკუთარი მნიშვნელობის აბსოლუტური მნიშვნელობა. სტრუქტურული საკუთარი მნიშვნელობის ამოცანისთვის $\lambda \geq 0$ და $\sigma \geq 0$, ამიტომ ყველაზე დაბალი საკუთარი მნიშვნელობა აისახება უდიდესი აბსოლუტური მნიშვნელობის მქონე საკუთარ მნიშვნელობაზე. ამ თვისების გამოყენებით, განტოლებაზე $\eqref{eq:2.3.8}$ ისეთი იტერაციული მეთოდის გამოყენება, რომელიც თავდაპირველად დიდი აბსოლუტური მნიშვნელობის საკუთარ მნიშვნელობებთან კრებადობისკენ არის მიდრეკილი, საშუალებას იძლევა დაბალი რიგის საკუთარი მნიშვნელობები ეფექტურად, ზრდადი რიგით მივიღოთ.

ამ მეთოდს წანაცვლებიანი შებრუნებული იტერაცია ეწოდება.

შეზღუდვების მქონე ანალიზებისთვის FrontISTR ადგენს $\sigma = 0$-ს და განტოლება $\eqref{eq:2.3.8}$ ხდება $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, ანუ შებრუნებული იტერაცია წანაცვლების გარეშე. შეუზღუდავ თავისუფალ-თავისუფალ ანალიზში $K$ სინგულარულია, რადგან აქვს ხისტი სხეულის მოდების შესაბამისი ნულოვანი საკუთარი მნიშვნელობები; $\sigma$-სთვის დადებითი მნიშვნელობის მინიჭება $K+\sigma M$-ს არეგულარიზებს. $\sigma$-ს მნიშვნელობა მიეთითება !EIGEN-ში SIGMA-თი.

Lanczos-ის მეთოდი¶

არჩევის მიზეზი (Jacobi-ის მეთოდთან შედარება)¶

კლასიკურ მეთოდებს შორის Jacobi-ის მეთოდი ფართოდ არის ცნობილი.

ეს მეთოდი ეფექტურია მცირე ზომის მკვრივი მატრიცებისთვის. თუმცა HEC-MW-ში გამოყენებული მატრიცები დიდი და იშვიათია, ამიტომ Jacobi-ის მეთოდი არ გამოიყენება და არჩეულია Lanczos-ის იტერაციული მეთოდი.

ალგორითმი და მახასიათებლები¶

1950-იან წლებში C. Lanczos-ის მიერ შემოთავაზებული ეს მეთოდი მატრიცის სამდიაგონალურ ფორმამდე დაყვანის ალგორითმია და აქვს შემდეგი მახასიათებლები.

ეს იტერაციული მეთოდია და გამოთვლა შეიძლება შესრულდეს მატრიცის იშვიათი სახით შენარჩუნებით.
ოპერაციები ძირითადად მატრიცა-ვექტორის ნამრავლებისგან შედგება, ამიტომ მეთოდი პარალელიზაციისთვის კარგად არის მორგებული.
იგი კარგად შეესაბამება სასრულ ელემენტთა ბადესთან დაკავშირებულ გეომეტრიულ დომენურ დეკომპოზიციას.
ეფექტური გამოთვლა შესაძლებელია მოსაძებნი საკუთარი მნიშვნელობების რაოდენობის ან მოდების დიაპაზონის შეზღუდვით.

Lanczos-ის მეთოდი იწყება საწყისი ვექტორიდან, თანმიმდევრულად აგებს ორთოგონალურ ვექტორებს და Krylov-ის ქვესივრცის ბაზისს იღებს.

სასრული სიზუსტის არითმეტიკაში დამრგვალების შეცდომამ შეიძლება ვექტორების ორთოგონალობის დაკარგვა გამოიწვიოს. ამ ეფექტის შესამცირებლად FrontISTR-ის იმპლემენტაცია თითოეულ ვექტორს უკვე მიღებულ Lanczos-ის ბაზისის ვექტორებთან ხელახლა აორთოგონალებს.

გეომეტრიული მნიშვნელობა (Krylov-ის ქვესივრცე)¶

განტოლებაში $\eqref{eq:2.3.8}$ ცვლადების შემდეგი გარდაქმნით

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

ამოცანის გადაწერისას

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

მიიღება ზემოთ მოცემული განტოლება.

ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორისთვის $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ამ ვექტორებით წარმოქმნილ სივრცეს,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov-ის ქვესივრცე ეწოდება.

Lanczos-ის მეთოდი თანმიმდევრულად აგებს ამ Krylov-ის ქვესივრცის ბაზისს.

FrontISTR იყენებს მასის მატრიცა $M$-თან დაკავშირებულ შემდეგ სკალარულ ნამრავლს

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

ბაზისის ორთონორმირებისთვის. შემდეგ სურათებზე ნაჩვენები სკალარული ნამრავლი $\langle x,y\rangle$ და ნორმა $\|x\|$ FrontISTR-ის გამოთვლებში ინტერპრეტირდება როგორც ეს $M$-სკალარული ნამრავლი და შესაბამისი $M$-ნორმა

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

შესაბამისად.

ნებისმიერ ვექტორზე $q_0$ გამოვიყენოთ მატრიცა $A$-ით განსაზღვრული წრფივი გარდაქმნა, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 2.3.2-ზე.

$მატრიცა $A$-ით $q_0$-ის წრფივი გარდაქმნა$

ნახ. 2.3.2　მატრიცა $A$-ით $q_0$-ის წრფივი გარდაქმნა

გარდაქმნილი ვექტორი ორთოგონალიზდება მის მიერ საწყის ვექტორთან ერთად წარმოქმნილ სივრცეში. კერძოდ, სრულდება Gram-Schmidt-ის ორთოგონალიზაცია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 2.3.3-ზე. მიღებული ვექტორი აღვნიშნოთ $r_1$-ით; მისი ნორმირებით მიიღება $q_1$.

$q_0\)-ის მიმართ ორთოგონალური ვექტორი \(q_1$

ნახ. 2.3.3　 $q_0$-ის მიმართ ორთოგონალური ვექტორი $q_1$

იმავე პროცედურით $q_1$-დან მიიღება $q_2$. აქ $q_2$ ორთოგონალურია როგორც $q_1$-ის, ისე $q_0$-ის მიმართ, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 2.3.4-ზე.

$q_1\)-ისა და $q_0$-ის მიმართ ორთოგონალური ვექტორი \(q_2$

ნახ. 2.3.4　 $q_1$-ისა და $q_0$-ის მიმართ ორთოგონალური ვექტორი $q_2$

ამგვარად Lanczos-ის მეთოდი თანმიმდევრულად აგებს Krylov-ის ქვესივრცის ორთონორმირებულ ბაზისს. თეორიულად, საკუთარი მნიშვნელობის ამოცანის სიმეტრია საშუალებას იძლევა ეს იტერაცია უახლესი ბაზისის ვექტორების შემცველი სამწევრიანი რეკურენტული დამოკიდებულებით გამოისახოს.

თუმცა FrontISTR-ის იმპლემენტაცია, სასრული სიზუსტის არითმეტიკით გამოწვეული ორთოგონალობის დაკარგვის შესამცირებლად, თითოეულ ვექტორს $M$-სკალარული ნამრავლის გამოყენებით უკვე მიღებულ Lanczos-ის ბაზისის ვექტორებთან ხელახლა აორთოგონალებს.

სამდიაგონალიზაცია¶

FrontISTR-ის Lanczos-ის იტერაციაში ბაზისის ვექტორები წინა განყოფილებაში აღწერილი $M$-სკალარული ნამრავლის მიმართ ორთონორმირებულია, ამიტომ

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

სრულდება ზემოთ მოცემული დამოკიდებულება.

განტოლებიდან $\eqref{eq:2.3.10}$ მატრიცა $A$-ს გამოყენებით, თეორიული Lanczos-ის იტერაცია

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

გამოისახება ზემოთ მოცემული სამწევრიანი რეკურენტული დამოკიდებულებით.

თავდაპირველად $\alpha_i$ განისაზღვრება შემდეგნაირად.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

შემდეგ დროებითი ნაშთი განვსაზღვროთ როგორც

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

როგორც ზემოთ არის ნაჩვენები.

სასრული სიზუსტის არითმეტიკით გამოწვეული ორთოგონალობის დაკარგვის შესამცირებლად FrontISTR-ის იმპლემენტაცია $\tilde{r}_{i+1}$-ს $M$-სკალარული ნამრავლის გამოყენებით უკვე მიღებულ Lanczos-ის ბაზისის ვექტორებთან ხელახლა აორთოგონალებს. თუ $r_{i+1}$ არის ხელახალი ორთოგონალიზაციის შემდეგ მიღებული ნაშთი, მაშინ

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

სრულდება ზემოთ მოცემული დამოკიდებულებები.

Lanczos-ის იტერაციით მიღებული $m$ ბაზისის ვექტორი გავაერთიანოთ როგორც

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

მაშინ Lanczos-ის სასრული რაოდენობის იტერაციების შემდეგ

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

სრულდება ზემოთ მოცემული დამოკიდებულება.

აქ $e_m$ არის $m$-განზომილებიანი ერთეულოვანი ვექტორი, რომლის $m$-ე კომპონენტი 1-ია, ხოლო დანარჩენი კომპონენტები — ნული, და

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

არის სიმეტრიული სამდიაგონალური მატრიცა.

ამრიგად, საწყისი დიდი მასშტაბის საკუთარი მნიშვნელობის ამოცანის საკუთარი მნიშვნელობები შეიძლება მიახლოებით მივიღოთ სამდიაგონალური მატრიცის $T_m$ საკუთარი მნიშვნელობების გამოთვლით.

დაკავშირებული თემები¶

სიხშირული პასუხის ანალიზი — სიხშირული პასუხი მოდალური ანალიზის შედეგების გამოყენებით
ანალიზის ტიპები — მოდალური ანალიზის ფუნქციების მიმოხილვა