შიგთავსზე გადასვლა

გეომეტრიული სასაზღვრო პირობების დამუშავება

Newton-Raphson-ის მეთოდი თითოეულ იტერაციაზე ხსნის წრფივ განტოლებას \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), თუმცა ამ განტოლებაში გეომეტრიული სასაზღვრო პირობები (გადაადგილების შეზღუდვები) ჯერ არ არის შეტანილი. ამ თავში ნაჩვენებია, როგორ უნდა დამუშავდეს გადაადგილების შეზღუდვა \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) და შესაბამისად შეიცვალოს სიხისტის მატრიცა \(\boldsymbol{K}\) და ნაშთის ვექტორი \(\boldsymbol{R}\), რათა იტერაციის შემდეგ გადაადგილებამ მიაღწიოს მოცემულ მნიშვნელობას. მრავალწერტილიანი შეზღუდვები (MPC) და კონტაქტთან დაკავშირებული არაწრფივი შეზღუდვები ცალკე მუშავდება; იხილეთ მრავალწერტილიანი შეზღუდვები და კონტაქტი.

გადაადგილების შეზღუდვების უცნობ ცვლადებად დატოვების პოლიტიკა

გეომეტრიული სასაზღვრო პირობით შეზღუდული კვანძის გადაადგილება უკვე აღარ არის უცნობი ცვლადი და ფიქსირდება მოცემულ მნიშვნელობაზე \(\bar{u}_i\). ასეთი თავისუფლების ხარისხები შეიძლება მუდმივებად ჩაითვალოს და გამოირიცხოს წრფივი განტოლებიდან \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); თუმცა FrontISTR შეზღუდულ თავისუფლების ხარისხებსაც, სხვა თავისუფლების ხარისხების მსგავსად, შესწორების ვექტორში \(d\boldsymbol{u}\) ტოვებს და შეზღუდვას \(\boldsymbol{K}\)-ისა და \(\boldsymbol{R}\)-ის შეცვლით ახორციელებს.

ამ მიდგომით კოეფიციენტების მატრიცის ზომა და თავისუფლების ხარისხების თანმიმდევრობა შეზღუდვების არსებობის მიუხედავად უცვლელია, ამიტომ ცვლადების ამოღება და დაცარიელებული მწკრივებისა და სვეტების ხელახლა შეფუთვა საჭირო არ არის. ასეთი ხელახალი შეფუთვა რთულია მწირი მატრიცით განხორციელებულ იმპლემენტაციაში, ამიტომ FrontISTR იყენებს მიდგომას, სადაც შეზღუდვები მხოლოდ კოეფიციენტების მატრიცისა და მარჯვენა მხარის განახლებით ხორციელდება.

Newton-Raphson-ის შესწორების სამიზნე მნიშვნელობა

გადაადგილებით შეზღუდული თავისუფლების ხარისხისთვის \(i\) Newton-Raphson-ის იტერაციაში მიღებული შესწორება \(du_i\) განვსაზღვროთ ასე:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{პირველი იტერაცია}) \\ 0 & (\text{მეორე და შემდგომი იტერაციები}) \end{cases} \]

შეცვალეთ \(\boldsymbol{K}\) და \(\boldsymbol{R}\) ისე, რომ შესწორებამ ეს მნიშვნელობა მიიღოს. შედეგად პირველ იტერაციაზე გადაადგილების ნამატი აღწევს მოცემულ მნიშვნელობას \(\bar{u}_i\); მეორე და შემდგომ იტერაციებზე შესწორება ხდება \(0\) და მოცემული მნიშვნელობა შენარჩუნდება.

მატრიცისა და ნაშთის ვექტორის შეცვლის პროცედურა

წინა განყოფილებაში აღწერილი სამიზნე მნიშვნელობა მიიღწევა შემდეგი ორი ცვლილებით, წრფივი განტოლების \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ფორმის შენარჩუნებით.

  1. \(i\)-ე მწკრივის დიაგონალიზაცია: \(du_i\)-ის კოეფიციენტი, დიაგონალური წევრი \(K_{ii}\), შეიცვალოს \(1\)-ით, ყველა სხვა კოეფიციენტი \(K_{ij}\ (j \not= i)\) — \(0\)-ით, ხოლო მარჯვენა მხარე განისაზღვროს როგორც \(R_i \to d\bar{u}_i\). ამით \(i\)-ე მწკრივის განტოლება ხდება \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. \(j(\not= i)\) მწკრივებიდან გადატანა: თითოეული \(j(\not= i)\) მწკრივისთვის, თუ \(K_{ji} \not= 0\), წევრი \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) გადაიტანეთ მარჯვენა მხარეს. ანუ მარჯვენა მხარეს გამოაკელით \(K_{ji} d\bar{u}_i\), ხოლო \(du_i\)-ის კოეფიციენტი \(K_{ji}\) გახადეთ \(0\).

კომპონენტური სახით ცვლილებამდე და ცვლილების შემდეგ განტოლებები შეესაბამება შემდეგს.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

შეცვლილი კოეფიციენტების მატრიცა და მარჯვენა მხარე შესაბამისად აღვნიშნოთ \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\)-ით. საბოლოოდ ამოსახსნელი წრფივი განტოლებაა

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

თუ რამდენიმე შეზღუდული თავისუფლების ხარისხი არსებობს, ზემოთ მოცემული ცვლილებები 1 და 2 თანმიმდევრულად გამოიყენება თითოეულ შეზღუდულ თავისუფლების ხარისხზე \(i\).

დამუშავების არე მწირი მატრიცის იმპლემენტაციაში

იმპლემენტაციაში კოეფიციენტების მატრიცა \(\boldsymbol{K}\) ინახება მწირი მატრიცის ფორმით. ამიტომ წინა განყოფილების პროცედურა 2-ში \(j(\not= i)\) მწკრივების დამუშავება სრულდება მხოლოდ იმ მწკრივებისთვის, რომლებსაც \(i\)-ე სვეტში არანულოვანი ელემენტი აქვთ, ანუ იმ კვანძების თავისუფლების ხარისხებისთვის, რომლებიც ელემენტებით უკავშირდება შეზღუდულ თავისუფლების ხარისხს \(i\). დაუკავშირებელი თავისუფლების ხარისხებისთვის \(K_{ji} = 0\), ამიტომ წევრის გადატანა მარჯვენა მხარეს არ ცვლის. ასეთი შეზღუდვა საშუალებას იძლევა, შეზღუდვების დამუშავება შესრულდეს მხოლოდ ლოკალური ოპერაციებით, კვანძების საერთო რაოდენობის მიმართ.

დაკავშირებული თემები