Skip to content

Сусымалылық

Бұл бөлімде FrontISTR қолданатын сусымалылық конститутивтік заңы қарастырылады. Қолдану жағдайлары мен енгізу параметрлерінің егжей-тегжейі үшін 03_material функциялар бөлімін қараңыз.

Сусымалылық құбылысы және деформацияның аддитивті жіктелуі

Кернеу тұрақты болғанда уақытқа тәуелді орын ауыстыру сусымалылық деп аталатын құбылыс болып табылады.

Жоғарыда сипатталған тұтқыр-серпімді мінез-құлықты да сызықтық сусымалылық құбылысының бір түрі деп қарастыруға болады. Мұнда сызықтық емес сусымалылықтың бірнеше түрі түсіндіріледі. Бұл құбылысты лездік деформацияға қосымша мүше ретінде енгізіп, конститутивтік теңдеу құру тәсілі кең қолданылады, ал белгілі бір тұрақты жүктеме әсер етіп тұрған кездегі деформация сусымалылық деформациясы \(\varepsilon^c\) деп алынады. Сусымалылық ескерілген конститутивтік теңдеуде әдетте кернеу мен толық сусымалылық деформациясының функциясы ретінде анықталған сусымалылық деформациясының жылдамдығы \(\dot{\varepsilon}^c\) қолданылады.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Мұнда лездік деформацияны серпімді деформация \(\varepsilon^e\) деп алсақ, толық деформация сусымалылық деформациясын қосу арқылы келесі түрде өрнектеледі.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

Мұнда,

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) — серпімділік коэффициенттерінің тензоры).

Norton заңы

Сусымалылық конститутивтік теңдеуінің нақты түрі ретінде FrontISTR төмендегі Norton моделін қолданады. Оның конститутивтік теңдеуінде төменде көрсетілген эквивалент сусымалылық деформациясының жылдамдығы \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) Mises кернеуі \(q\) мен уақыт \(t\) функциясы ретінде өрнектеледі.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Мұнда \(A\), \(m\), \(n\) — материал тұрақтылары.

Уақыт бойынша интегралдау және кернеуді жаңарту

Пластикалық материалдардағыдай, сусымалылықты сипаттайтын конститутивтік теңдеу үшін сандық талдауда уақыт бойынша интегралдау әдісін көрсету қажет. Сусымалылық ескерілгендегі конститутивтік теңдеу:

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

Мұнда \(\beta_{n+\theta}\)

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

түрінде алынады. Сондай-ақ сусымалылық деформациясының өсімі \(\Delta \varepsilon^c\) үшін сызықтық емес теңдеуді ықшамдап,

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

деп аламыз.

Newton-Raphson әдісіндегі итерациялық есепте бастапқы мән ретінде \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) және ақырлы элементтер әдісінен алынған деформация өсімі пайдаланылады; итерациялық шешім мен инкременттік шешім келесі теңдеумен беріледі.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

Мұнда,

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

деп аламыз. Қалдық \(R\) шамасы \(\mathbf{0}\) болғанға дейін итерациялық шешім орындалғанда, \(\sigma_{n+1}\) кернеуі және жанама коэффициент

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

қолданылады.

Қатысты тақырыптар