Skip to content

Ішкі күштердің виртуалды жұмысының дискреттелуі

Инкременттік талдау құрылымында көрсетілген \(t + \Delta t\) уақытындағы виртуалды жұмыс теңдеуі анықтамалық конфигурацияны таңдауға қарай Updated Lagrange және Total Lagrange әдістеріне бөлінеді. Бұл бөлімде пішін функциялары және ақырлы элементтік жуықтау мен пішін функциясының кеңістіктік туындысында енгізілген ақырлы элементтік жуықтауды пайдаланып, екі тұжырымдамадағы ішкі күштердің виртуалды жұмысы кеңістікте дискреттеледі және \(\boldsymbol{q}^e\) (UL әдісі) мен \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL әдісі) элементтік ішкі күш векторлары алынады.

\(e\) элементінің \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) түйіндеріндегі орын ауыстырулар \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) деп белгіленіп, элементтік түйіндік орын ауыстыру векторы \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) түрінде реттеледі; виртуалды орын ауыстыру \(\delta \boldsymbol{u}^e\) да сол ретпен анықталады. Элемент ішіндегі орын ауыстыру пішін функцияларымен \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) түрінде интерполяцияланады.

Updated Lagrange әдісіндегі ішкі күштердің виртуалды жұмысы

Updated Lagrange әдісінде \(t\) уақытындағы ағымдағы \({}^{t}\Omega\) конфигурациясы анықтамалық конфигурация ретінде алынып, Cauchy кернеуі \(\boldsymbol{\sigma}\) және Almansi деформациясының сызықтық бөлігі \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) арқылы ішкі күштердің виртуалды жұмысы

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

түрінде жазылады. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) әрбір компоненті пішін функциясының ағымдағы \(\boldsymbol{x}\) координаталары бойынша \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) туындысы мен \(\delta u^e_{i\alpha}\) түйіндік виртуалды орын ауыстыруының сызықтық комбинациясы ретінде өрнектеліп, Voigt жазылымында

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

түрінде жинақталады. \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) түйіндік блогы — \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) шамаларын Voigt ережесі бойынша орналастырған \(6 \times 3\) матрица, ал \(\boldsymbol{B}_L\) UL әдісінің деформация–орын ауыстыру матрицасы болады. Мұны ішкі күштердің виртуалды жұмысына қойып, \(\delta \boldsymbol{u}^e\) бөліп шығарсақ,

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

алынады. \(\boldsymbol{q}^e\) векторының \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) түйіндік блогы \(\Omega^e\) элементінің \(\alpha\) түйініне әсер ететін ішкі күш болып табылады.

Total Lagrange әдісіндегі ішкі күштердің виртуалды жұмысы

Total Lagrange әдісінде эталондық \(\Omega_0\) конфигурациясы анықтамалық конфигурация ретінде алынып, екінші Piola-Kirchhoff кернеуі \(\boldsymbol{S}\) пен Green-Lagrange деформациясы \(\boldsymbol{E}\) арқылы

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

түрінде жазылады. \(\delta \boldsymbol{E}\) виртуалды орын ауыстыруға қатысты сызықтық мүшеге және ағымдағы орын ауыстыру градиенті \(\partial u_k/\partial X_j\) бар көбейтінділерді қамтитын сызықтық емес мүшеге бөлінеді:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Сызықтық мүше \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) үшін UL әдісіндегідей орналастыру ережесі қолданылған \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) түйіндік блогы арқылы

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

түрінде жазылады (анықтамалық конфигурация айырмашылығына байланысты тек компоненттер \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) орнына \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) болады; белгілеу UL әдісімен ортақ). Сызықтық емес мүше ағымдағы орын ауыстыру градиенті \(\partial u_k/\partial X_j\) пен \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) көбейтінділерін Voigt ережесімен орналастырған \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) түйіндік блогы арқылы

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

түрінде жазылады. Осыдан \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) алынады, ал \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) — TL әдісінің деформация–орын ауыстыру матрицасы. Мұны ішкі күштердің виртуалды жұмысына қойсақ,

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

алынады. \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) түйіндік блогы \(\Omega^e_0\) элементінің \(\alpha\) түйініне әсер ететін ішкі күш болып табылады.

UL/TL сәйкестігі және есептеу барысы

Updated Lagrange және Total Lagrange әдістерінің элементтік ішкі күш векторлары келесідей сәйкеседі.

Тармақ Updated Lagrange әдісі Total Lagrange әдісі
Анықтамалық конфигурация Ағымдағы конфигурация \({}^{t}\Omega^e\) Эталондық конфигурация \(\Omega^e_0\)
Кернеу тензоры Cauchy кернеуі \(\boldsymbol{\sigma}\) Екінші PK кернеуі \(\boldsymbol{S}\)
Деформация вариациясы \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B матрицасы \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Элементтік ішкі күш \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Екі әдіс те бірдей процедурамен өңделеді: «пішін функцияларының кеңістіктік туындыларынан \(\boldsymbol{B}_L\) құру», «TL әдісінде ағымдағы орын ауыстыру градиентінен \(\boldsymbol{B}_{NL}\) құрып қосу», «кернеуді (\(\boldsymbol{\sigma}\) немесе \(\boldsymbol{S}\)) материалдың конститутивтік заңына сай жаңарту» және «интегралдау нүктелерінде \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) немесе \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) шамасын элемент облысы бойынша сандық интегралдау (сандық интегралдау)». Анықтамалық конфигурацияны ауыстырудан (түйін координаталары мен \(\boldsymbol{B}\) матрицасын құру) және кернеу тензорын алмастырудан басқа қадамдар ортақ болғандықтан, FrontISTR-де екі әдістің ішкі күшін есептеу ортақ ішкі бағдарламамен іске асырылады. \(\boldsymbol{q}^e\) және \(\boldsymbol{Q}^e\) элементтік ішкі күш векторларынан жалпы ішкі күш векторын жинақтау Сыртқы күштердің виртуалды жұмысы және жалпы теңдеулерді құрастыру бөлімінде қарастырылады.

Қатысты тақырыптар