Модальдық талдау¶

Жалпыланған меншікті мәндер есебі¶

Тұтас ортаның еркін тербелісін талдағанда кеңістіктік дискреттеу орындалып, жүйе 2.3.1-суретте көрсетілгендей шоғырланған массалары бар көп еркіндік дәрежелі жүйе түрінде модельденеді. Демпфирлеусіз еркін тербеліс есебі үшін басқарушы теңдеу (қозғалыс теңдеуі) төмендегідей.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Мұнда, $u$ — жалпыланған орын ауыстыру векторы, $M$ — масса матрицасы, ал $K$ — қатаңдық матрицасы. Меншікті бұрыштық жиілікті $\omega$ деп, $a$ мен $b$-ны бір мезгілде нөлге тең болмайтын кез келген тұрақтылар, ал $x$-ті вектор деп алып, келесі функцияны анықтайық:

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Бұл функцияның екінші туындысы

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

болады. $\eqref{eq:2.3.2}$ және $\eqref{eq:2.3.3}$ теңдеулерін $\eqref{eq:2.3.1}$ теңдеуіне қойсақ,

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

келесі өрнек алынады.

Нөлден өзгеше тербеліс үшін $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ тепе-тең түрде нөл болмайды, сондықтан

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

қатынасын аламыз. Демек, $\lambda=\omega^2$ деп қойсақ,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

қатынасы алынады.

$\lambda$ коэффициенті меншікті мән, ал $x$ векторы меншікті вектор деп аталады; $\eqref{eq:2.3.5}$ теңдеуімен берілген есеп жалпыланған меншікті мәндер есебі деп аталады.

$\lambda=\omega^2$ меншікті мәнінен $\omega$ меншікті бұрыштық жиілігі табылады, ал оған сәйкес $x$ меншікті векторы тербеліс модасын сипаттайды.

Демпфирлеусіз еркін тербеліске арналған көп еркіндік дәрежелі жүйенің мысалы

2.3.1-сурет　Демпфирлеусіз еркін тербеліске арналған көп еркіндік дәрежелі жүйенің мысалы

Матрицалардың қасиеттері және жорамалдар¶

Алдыңғы бөлімде алынған $Kx=\lambda Mx$ жалпыланған меншікті мәндер есебі үшін осы нұсқаулықта тиісті матрицалардың симметриялылығы жорамалданады. Кешенді матрицалар үшін бұл эрмиттік матрицаға, ал нақты матрицалар үшін симметриялық матрицаға сәйкес келеді.

$K$ матрицасының $ij$ элементі $k_{ij}$ болса, эрмиттік қасиет

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

түрінде өрнектеледі. Мұндағы $\bar{k}_{ji}$ — $k_{ji}$-дің кешенді түйіндесі. Нақты матрицалар үшін бұл қатынас $k_{ij}=k_{ji}$ түріне келеді.

Сонымен қатар, нақты симметриялық $H$ матрицасы кез келген нөлден өзгеше $x$ векторы үшін

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

теңсіздігі орындалса, оң анықталған деп аталады. Бұл жағдайда $H$ матрицасының барлық меншікті мәндері оң болады.

Құрылымдық меншікті мәндер есебінде $M$ масса матрицасы әдетте оң анықталған деп қарастырылады. Ал $K$ қатаңдық матрицасы шектеу шарттарына байланысты оң жартылай анықталған болуы және қатаң дене модаларына сәйкес нөлдік меншікті мәндерге ие болуы мүмкін.

Ығысумен кері итерация әдісі¶

Ақырлы элементтер әдісімен құрылымдық талдауда іс жүзінде барлық меншікті мәндер қажет емес; көбіне төменгі ретті бірнеше меншікті мән жеткілікті. HEC-MW ірі масштабты есептерге арналған, сондықтан матрицалар үлкен және өте сирек, яғни нөлдік элементтері көп болады. Сол себепті осы ерекшеліктерді ескере отырып, төменгі ретті модалардың меншікті мәндерін тиімді есептеу маңызды.

Ығысу шамасы $\sigma$ болғанда, $-\sigma$ меншікті мәнге тең болмаса және $K+\sigma M$ сингуляр емес болса, $\eqref{eq:2.3.5}$ теңдеуін төмендегідей түрлендіруге болады.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Бұл түрлендіру $x$ меншікті векторын өзгертпейді және $\lambda$ меншікті мәнін $1/(\lambda+\sigma)$ мәніне түрлендіреді.

Демек, $\lambda$ мәні $-\sigma$-ға неғұрлым жақын болса, түрлендірілген меншікті мәннің абсолют шамасы соғұрлым үлкен болады. Құрылымдық меншікті мәндер есебінде $\lambda \geq 0$ және $\sigma \geq 0$, сондықтан ең төменгі меншікті мән абсолют шамасы ең үлкен меншікті мәнге түрленеді. Осы қасиетті пайдаланып, абсолют шамасы үлкен меншікті мәндерге алдымен жинақталатын итерациялық әдісті $\eqref{eq:2.3.8}$ теңдеуіне қолдану арқылы төменгі ретті меншікті мәндерді өсу ретімен тиімді табуға болады.

Бұл әдіс ығысумен кері итерация деп аталады.

FrontISTR шектеу шарттары бар талдауларда $\sigma = 0$ деп алып, $\eqref{eq:2.3.8}$ теңдеуін $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, яғни ығысусыз кері итерация түріне келтіреді. Шектеусіз free-free талдауда $K$ матрицасы қатаң дене модаларына сәйкес нөлдік меншікті мәндерге ие болғандықтан сингуляр болады; $\sigma$-ға оң мән беру арқылы $K+\sigma M$ матрицасы сингуляр емес етіледі. Бұл кездегі $\sigma$ мәні !EIGEN ішіндегі SIGMA арқылы беріледі.

Lanczos әдісі¶

Таңдау себебі (Jacobi әдісімен салыстыру)¶

Jacobi әдісі — кеңінен белгілі классикалық әдіс.

Бұл әдіс матрица шағын және тығыз болғанда тиімді. Алайда HEC-MW өңдейтін матрицалар үлкен және сирек болғандықтан Jacobi әдісі қолданылмайды; оның орнына Lanczos итерациялық әдісі пайдаланылады.

Алгоритм және сипаттамалар¶

1950-жылдары C. Lanczos ұсынған бұл әдіс матрицаны үшдиагоналды түрге келтіретін алгоритм болып табылады және төмендегідей сипаттамаларға ие.

Бұл итерациялық әдіс және есептеуді матрицаны сирек күйінде сақтай отырып орындауға болады.
Амалдар негізінен матрица-вектор көбейтінділерінен тұрады, сондықтан әдіс параллельдеуге қолайлы.
Ақырлы элементтер торларымен байланысты геометриялық облыс декомпозициясына қолайлы.
Есептелетін меншікті мәндер санын немесе модалар ауқымын шектеу арқылы есептеуді тиімді орындауға болады.

Lanczos әдісі бастапқы вектордан басталып, ортогонал векторларды біртіндеп құрады және Krylov ішкі кеңістігінің базисін қалыптастырады.

Шекті дәлдікті арифметикада дөңгелектеу қателері векторлардың ортогоналдылығын жоғалтуы мүмкін. Бұл әсерді азайту үшін FrontISTR іске асыруы әрбір векторды бұрын алынған Lanczos базисіне қатысты қайта ортогоналдайды.

Геометриялық мағынасы (Krylov ішкі кеңістігі)¶

$\eqref{eq:2.3.8}$ теңдеуіне төмендегі айнымалы түрлендірулерін қолдану арқылы

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

есепті келесі түрде қайта жазуға болады:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

осы теңдеу алынады.

Кез келген нөлден өзгеше $q_0$ векторы үшін,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

осы векторлар керетін кеңістік

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov ішкі кеңістігі деп аталады.

Lanczos әдісі осы Krylov ішкі кеңістігінің базисін біртіндеп құрады.

FrontISTR $M$ масса матрицасына қатысты төмендегі ішкі көбейтіндіні

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

базисті ортонормалдау үшін қолданады. Төмендегі суреттерде көрсетілген $\langle x,y\rangle$ ішкі көбейтіндісі мен $\|x\|$ нормасы FrontISTR есептеулерінде тиісінше осы $M$-ішкі көбейтіндісі және оған сәйкес $M$-нормасы

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

ретінде түсіндіріледі.

2.3.2-суретте көрсетілгендей, кез келген $q_0$ векторына $A$ матрицасымен анықталатын сызықтық түрлендіруді қолданайық.

$$A$ матрицасы арқылы $q_0$ векторының сызықтық түрленуі$

2.3.2-сурет　$A$ матрицасы арқылы $q_0$ векторының сызықтық түрленуі

Түрлендірілген вектор өзі мен бастапқы вектор керетін кеңістікте ортогоналданады. Нақтырақ айтқанда, 2.3.3-суретте көрсетілгендей Gram-Schmidt ортогоналдауы орындалады. Алынған векторды $r_1$ деп белгілеп, оны нормалдау арқылы $q_1$ векторы алынады.

$$q_0$ векторына ортогонал $q_1$ векторы$

2.3.3-сурет　$q_0$ векторына ортогонал $q_1$ векторы

Дәл осындай алгоритммен $q_1$ векторынан $q_2$ векторы алынады. Бұл кезде $q_2$ векторы $q_1$ және $q_0$ векторларының екеуіне де ортогонал болады (2.3.4-сурет).

$$q_1$ және $q_0$ векторларына ортогонал $q_2$ векторы$

2.3.4-сурет　$q_1$ және $q_0$ векторларына ортогонал $q_2$ векторы

Осылайша, Lanczos әдісі Krylov ішкі кеңістігінің ортонормалды базисін біртіндеп құрады. Теориялық тұрғыдан меншікті мәндер есебінің симметриялылығын пайдалану арқылы бұл итерацияны соңғы базис векторларын қолданатын үш мүшелі рекурренттік қатынас түрінде өрнектеуге болады.

Алайда FrontISTR іске асыруы шекті дәлдікті арифметикадан туындайтын ортогоналдылықтың жоғалуын азайту үшін әрбір векторды бұрын алынған Lanczos базисіне қатысты $M$-ішкі көбейтіндісімен қайта ортогоналдайды.

Үшдиагоналдау¶

FrontISTR бағдарламасының Lanczos итерациясында базис векторлары алдыңғы бөлімде сипатталған $M$-ішкі көбейтіндісіне қатысты ортонормалданатындықтан,

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

осы қатынас орындалады.

$\eqref{eq:2.3.10}$ теңдеуіндегі $A$ матрицасын қолданғанда, теориялық Lanczos итерациясы

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

жоғарыдағы түрде өрнектеледі.

Алдымен, $\alpha_i$-ді

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

деп анықтап,

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

деп аламыз.

FrontISTR іске асыруында шекті дәлдікті арифметикадан туындайтын ортогоналдылықтың жоғалуын азайту үшін $\tilde{r}_{i+1}$ векторы бұрын алынған Lanczos базисіне қатысты $M$-ішкі көбейтіндісімен қайта ортогоналданады. Қайта ортогоналдаудан кейінгі қалдық $r_{i+1}$ болса,

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

төмендегі қатынастар орындалады.

Lanczos итерациясы арқылы алынған $m$ базис векторын

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

түрінде біріктірсек, Lanczos итерацияларының шекті санынан кейін

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

келесі қатынас орындалады.

Мұндағы $e_m$ — тек $m$-ші компоненті 1-ге, ал қалған компоненттері нөлге тең $m$ өлшемді бірлік вектор, ал

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

симметриялық үшдиагоналды матрица болып табылады.

Осылайша, бастапқы ірі масштабты меншікті мәндер есебінің меншікті мәндерін $T_m$ үшдиагоналды матрицасының меншікті мәндерін есептеу арқылы жуықтауға болады.

Қатысты бөлімдер¶

Жиіліктік жауапты талдау — модальдық талдау нәтижелерін пайдаланатын жиіліктік жауап
Талдау түрлері — модальдық талдау функцияларына шолу