Skip to content

ការវិភាគស្ថាទិកអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ (សេចក្ដីផ្ដើម)

ផ្នែកនេះបង្ហាញទម្រង់នៃការវិភាគស្ថាទិកអេលាស្ទិកផ្អែកលើទ្រឹស្តីប្រែទ្រង់ទ្រាយតូច។ សន្មតអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរសម្រាប់ទំនាក់ទំនងស្ត្រេស-ស្ត្រេន។ ជំពូកនេះមានតួនាទីជាសេចក្ដីផ្ដើមសម្រាប់យល់ពីរូបភាពទូទៅនៃការវិភាគរចនាសម្ព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្រធាតុកំណត់ ហើយត្រូវបានរៀបចំឱ្យអាចអានបានដោយឯករាជ្យក្នុងជំពូកតែមួយ។

សម្រាប់ទ្រឹស្តីទូទៅនៃគោលការណ៍ការងារនិម្មិត (ទម្រង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ទម្រង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូង និងការកាត់បន្ថយទៅការប្រែទ្រង់ទ្រាយតូច) សូមមើល គោលការណ៍ការងារនិម្មិត; សម្រាប់ព័ត៌មានលម្អិតនៃច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ សូមមើល អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ; សម្រាប់ក្បួនសញ្ញាសរសេរតង់ស័រ និង Voigt សូមមើល សញ្ញាសរសេរតង់ស័រ និងមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យា; សម្រាប់ទម្រង់ទូទៅនៃការប្រែទ្រង់ទ្រាយកំណត់ សូមមើល ចលនា ការប្រែទ្រង់ទ្រាយ និងស្ត្រេន; ហើយសម្រាប់វិធីដោះស្រាយបញ្ហាមិនលីនេអ៊ែរ សូមមើល ម៉ាទ្រីសភាពរឹងប៉ះ។

សមីការមូលដ្ឋាន

ក្រោមសន្មតការប្រែទ្រង់ទ្រាយតូច និងអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ បញ្ហាតម្លៃព្រំដែនក្នុងមេកានិចរឹង មានសមីការសមតុល្យ លក្ខខណ្ឌព្រំដែនមេកានិច និងលក្ខខណ្ឌព្រំដែនធរណីមាត្រ (លក្ខខណ្ឌព្រំដែនចាំបាច់) (សូមមើលរូប 2.1.1)៖

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

នៅទីនេះ \(\boldsymbol{\sigma}\) គឺស្ត្រេស Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) គឺកម្លាំងក្នុងវត្ថុក្នុងមួយឯកតាមាឌ, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) គឺកម្លាំងផ្ទៃដែលបានកំណត់, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) គឺការផ្លាស់ទីដែលបានកំណត់ ហើយ \(S_t, S_u\) គឺជាព្រំដែនមេកានិច និងធរណីមាត្រ។

បញ្ហាតម្លៃព្រំដែនក្នុងមេកានិចរឹង (បញ្ហាប្រែទ្រង់ទ្រាយតូច)

រូប 2.1.1 បញ្ហាតម្លៃព្រំដែនក្នុងមេកានិចរឹង (បញ្ហាប្រែទ្រង់ទ្រាយតូច)

ដោយប្រើ ប្រមាណវិធីក្រាដ្យង់ស៊ីមេទ្រី ទំនាក់ទំនងស្ត្រេន-ការផ្លាស់ទីគឺ

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

សមីការទំនាក់ទំនងសម្ភារៈអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ គឺ

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ដែល \(\boldsymbol{C}\) គឺជាតង់ស័រអេលាស្ទិកលំដាប់ទី 4។

គោលការណ៍ការងារនិម្មិត

ទម្រង់ទូទៅនៃគោលការណ៍ការងារនិម្មិត (ទម្រង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ទម្រង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូង និងការកាត់បន្ថយទៅការប្រែទ្រង់ទ្រាយតូច) ត្រូវបានសង្ខេបក្នុង គោលការណ៍ការងារនិម្មិត។ ក្រោមសន្មតការប្រែទ្រង់ទ្រាយតូច និងអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ ទម្រង់ខ្សោយគឺ

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

ដោយជំនួសសមីការទំនាក់ទំនងសម្ភារៈ \eqref{eq:2.1.5} ហើយសរសេរ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ក្នុង សញ្ញាសរសេរ Voigt ទទួលបានទម្រង់ដែលប្រើដោយផ្ទាល់សម្រាប់ការឌីសគ្រីតកម្ម៖

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

នៅទីនេះ \(D\) គឺជាម៉ាទ្រីសអេលាស្ទិកដែលកំណត់ក្នុង អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ។ សមីការ \eqref{eq:2.1.10} និង \eqref{eq:2.1.7} ជាគោលការណ៍ការងារនិម្មិតដែលត្រូវឌីសគ្រីតកម្មខាងក្រោម។

ការឌីសគ្រីតកម្ម និងការផ្គុំសមីការសរុប

ដោយឌីសគ្រីតកម្មគោលការណ៍ការងារនិម្មិតក្នុងសមីការ\( \eqref{eq:2.1.10} \) តាមធាតុកំណត់ ទទួលបានសមីការខាងក្រោម។

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

សម្រាប់ធាតុនីមួយៗ វាលការផ្លាស់ទីត្រូវបានអន្តរប៉ូលដោយប្រើការផ្លាស់ទីរបស់ថ្នាំងដែលបង្កើតធាតុ ដូចខាងក្រោម។

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

បន្ទាប់មក ស្ត្រេនត្រូវបានផ្តល់ដោយប្រើសមីការ\(\eqref{eq:2.1.4}\) ដូចខាងក្រោម។

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

ដោយជំនួសសមីការ\(\eqref{eq:2.1.12}\) និងសមីការ\(\eqref{eq:2.1.13}\) ចូលក្នុងសមីការ\(\eqref{eq:2.1.11}\) ទទួលបាន

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

សមីការ\(\eqref{eq:2.1.14}\) អាចសរសេរជា

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

នៅទីនេះ សមាសធាតុនៃម៉ាទ្រីស និងវ៉ិចទ័រដែលកំណត់ដោយសមីការ\(\eqref{eq:2.1.16}\) និងសមីការ\(\eqref{eq:2.1.17}\) អាចគណនាសម្រាប់ធាតុកំណត់នីមួយៗ ហើយផ្គុំដោយការត្រួតបូក។

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

ដោយសារសមីការ\(\eqref{eq:2.1.15}\) ត្រឹមត្រូវសម្រាប់ការផ្លាស់ទីនិម្មិតណាមួយ \(\delta \boldsymbol{U}\) ទទួលបានសមីការខាងក្រោម។

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

ម្យ៉ាងវិញទៀត លក្ខខណ្ឌព្រំដែនការផ្លាស់ទីក្នុងសមីការ\(\eqref{eq:2.1.3}\) ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម។

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

ដោយដោះស្រាយសមីការ\(\eqref{eq:2.1.18}\) ក្រោមលក្ខខណ្ឌរឹតបន្តឹងក្នុងសមីការ\(\eqref{eq:2.1.19}\) អាចកំណត់ការផ្លាស់ទីថ្នាំង \(\boldsymbol{U}\) បាន។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ