អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ¶

ជំពូកនេះពិពណ៌នាអំពីច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈ របស់សម្ភារៈអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ (ច្បាប់ Hooke)។ សម្រាប់ព័ត៌មានលម្អិតអំពីការជ្រើសរើសប្រើ និងការកំណត់ទិន្នន័យបញ្ចូល សូមមើលផ្នែកមុខងារ 03_material។

បាតុភូត (ការឆ្លើយតបអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ)¶

អង្គធាតុអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ គឺជាសម្ភារៈដែលក្នុងតំបន់ដែលស្ត្រេនតូចគ្រប់គ្រាន់ មានទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងស្ត្រេស និងស្ត្រេន ហើយនៅពេលដកបន្ទុក ស្ត្រេនទាំងអស់ត្រឡប់ទៅស្ថានភាពដើមវិញ។ ដូច្នេះ វាបង្ហាញការឆ្លើយតបដែលអាចត្រឡប់វិញបាន និងមិនអាស្រ័យលើប្រវត្តិ។ ខុសពីប្លាស្ទិច ឬការលូន វាមិនមានអថេរផ្ទៃក្នុងសម្រាប់តំណាងស្ថានភាព ដូចជា ស្ត្រេនប្លាស្ទិច ឬស្ត្រេនវិស្កូសឡើយ ហើយស្ត្រេសត្រូវបានកំណត់តែមួយគត់ដោយស្ត្រេននៅពេលបច្ចុប្បន្ន។

ក្នុងតំបន់ខូចទ្រង់ទ្រាយតូច ប្រើស្ត្រេស Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) និងស្ត្រេនតូច \(\boldsymbol{\varepsilon}\)។ ក្នុងតំបន់ខូចទ្រង់ទ្រាយកំណត់ (បញ្ហាដែលអាចមានការបង្វិលធំ ប៉ុន្តែស្ត្រេនខ្លួនវានៅតែតូច) ប្រើស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 2 \(\boldsymbol{S}\) និងស្ត្រេន Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (សម្ភារៈ St.Venant-Kirchhoff)។

ច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈ¶

អង្គធាតុអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ អ៊ីសូត្រូពិក¶

ច្បាប់ Hooke អ៊ីសូត្រូពិកក្នុងតំបន់ខូចទ្រង់ទ្រាយតូច អាចសរសេរដោយប្រើថេរ Lamé \(\lambda, \mu\) ដូចជា

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

។ ក្នុងទម្រង់សមាសភាគ វាត្រូវបានសរសេរជា

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ហើយដោយការកុងត្រាក់ទ្វេជាមួយស្ត្រេន ទទួលបាន \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\)។ ថេរ Lamé មានទំនាក់ទំនងជាមួយម៉ូឌុល Young \(E\) និងសមាមាត្រ Poisson \(\nu\) ដូចខាងក្រោម៖

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

ក្នុងសញ្ញាសម្គាល់ Voigt ទំនាក់ទំនងរវាងវ៉ិចទ័រស្ត្រេន \(\hat{\varepsilon}\) និងវ៉ិចទ័រស្ត្រេស \(\hat{\sigma}\) ត្រូវបានសរសេរ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ហើយម៉ាទ្រីសសម្ភារៈបីវិមាត្រ \(D\) គឺ

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(ក្នុងការអនុវត្តកម្មវិធី ប្រើទម្រង់ម៉ាទ្រីសនេះ)។

អង្គធាតុអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ អរតូត្រូពិក¶

សម្រាប់សម្ភារៈដែលថេរអេឡាស្ទិចខុសគ្នាតាមទិសអ័ក្សមេ ប្រើម៉ូដែលអរតូត្រូពិកដែលមានថេរឯករាជ្យ 9៖ ម៉ូឌុល Young តាមអ័ក្សមេ \(E_1, E_2, E_3\) សមាមាត្រ Poisson រវាងអ័ក្សមេ \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) និងម៉ូឌុលកាត់ \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)។ ទម្រង់ជាក់លាក់របស់ម៉ាទ្រីស \(D\) អាចរកមើលក្នុងឯកសារយោងទូទៅ។

តំបន់ខូចទ្រង់ទ្រាយកំណត់៖ សម្ភារៈ St.Venant-Kirchhoff¶

សម្រាប់បញ្ហាដែលមានការបង្វិលធំ ប៉ុន្តែស្ត្រេនខ្លួនវាតូច ប្រើសម្ភារៈ St.Venant-Kirchhoff ជាច្បាប់អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែររវាងស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 2 \(\boldsymbol{S}\) និងស្ត្រេន Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)៖

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

និយមន័យថេរ Lamé \(\lambda, \mu\) ដូចគ្នានឹងករណីខូចទ្រង់ទ្រាយតូច។ ទោះជាយ៉ាងណា គួរកត់សម្គាល់ថា ដោយសារគូនិយមន័យស្ត្រេស–ស្ត្រេនខុសគ្នា វាជាច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈខុសពីច្បាប់ Hooke សម្រាប់ខូចទ្រង់ទ្រាយតូច។

សម្ភារៈហាយពូអេឡាស្ទិច¶

ក្នុងវិធី Updated Lagrange ប្រើសម្ភារៈហាយពូអេឡាស្ទិចដែលអនុវត្តច្បាប់អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែររវាងអត្រា Jaumann នៃតង់ស័រស្ត្រេស Kirchhoff ទាក់ទង \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) និងតង់ស័រអត្រាខូចទ្រង់ទ្រាយ \(\boldsymbol{D}\)៖

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

នៅទីនេះ និយមន័យរបស់ \(\boldsymbol{C}\) ដោយថេរ Lamé ក៏ដូចខាងលើដែរ ប៉ុន្តែដោយសារគូស្ត្រេស–ស្ត្រេនខុសគ្នា វាជាច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈផ្សេងទៀត។ សម្រាប់ព័ត៌មានលម្អិតអំពីនីតិវិធីអាំងតេក្រាលតាមពេលវេលា (អាំងតេក្រាល Euler ទៅមុខ និងប្រហាក់ប្រហែលភាពខុសកណ្ដាល) ដែលប្រើធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពស្ត្រេស \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) សូមមើល tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex។

ការកាត់បន្ថយសម្រាប់ការវិភាគ 2 វិមាត្រ និងធាតុសែល¶

ស្ត្រេសប្លង់ (\(\sigma_{33} = 0\))¶

សម្រាប់ស្ត្រេសប្លង់ ដែលតំណាងឱ្យការផ្ទុកលើបន្ទះស្តើង ឬសែល សន្មត់ថា \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) ហើយប្រើ \(D\) ដែលទទួលបានដោយលុបសមាសភាគស្ត្រេនក្រៅប្លង់ \(\varepsilon_{33}\) តាមលក្ខខណ្ឌ៖

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ស្ត្រេនប្លង់ (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

សម្រាប់ស្ត្រេនប្លង់ ដែលតំណាងឱ្យផ្នែកកាត់នៃរចនាសម្ព័ន្ធវែងដែលត្រូវបានទប់ក្នុងទិសកម្រាស់ សន្មត់ថា \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\)៖

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ស៊ីមេទ្រីតាមអ័ក្ស¶

ក្នុងការវិភាគស៊ីមេទ្រីតាមអ័ក្ស ដែលដោះស្រាយបញ្ហាឯកសណ្ឋានតាមទិស \(\theta\) ក្នុងកូអរដោនេស៊ីឡាំង \((r, \theta, z)\) រក្សាទុកសមាសភាគ 4 របស់ \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) និង \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ហើយ

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ទទួលបានដូចនេះ។

ធាតុសែល (ស្ត្រេសប្លង់ + កាត់ឆ្លងកម្រាស់)¶

ក្នុងធាតុសែល ស្ត្រេសក្នុងប្លង់ត្រូវបានគ្រប់គ្រងជាស្ត្រេសប្លង់ ហើយសម្រាប់សមាសភាគស្ត្រេនកាត់ឆ្លងកម្រាស់ \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) ប្រើ \(\kappa\, G\) ដែលមានមេគុណកែសម្រួលកាត់ \(\kappa\) (ជាទូទៅ \(\kappa = 5/6\))។ សម្រាប់រូបមន្តលម្អិតតាមប្រភេទធាតុ សូមមើល រូបមន្តធាតុកម្រិតខ្ពស់។ លក្ខណៈក្នុងផ្នែកមុខងារ 03_material ដែលថា «ធាតុសែលគាំទ្រតែអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ» គឺផ្អែកលើការសម្រួលដែលចាត់ទុកផ្នែកក្នុងប្លង់ជាស្ត្រេសប្លង់នេះ។

ការពឹងផ្អែកលើសីតុណ្ហភាព¶

ម៉ូឌុល Young \(E\) សមាមាត្រ Poisson \(\nu\) និងមេគុណពង្រីកកម្ដៅ \(\alpha\) ជាទូទៅអាចកំណត់ជាអនុគមន៍នៃសីតុណ្ហភាព \(T\)។ ក្នុង FrontISTR បញ្ចូលតម្លៃនៅចំណុចសីតុណ្ហភាពមានកំណត់ \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) ហើយសម្រាប់សីតុណ្ហភាព \(T\) ក្នុងការគណនា វាយតម្លៃដោយអន្តរប៉ូលលីនេអ៊ែររវាងចំណុចជាប់គ្នា។ សម្រាប់សីតុណ្ហភាពក្រៅជួរ (\(T < T_1\) ឬ \(T > T_n\)) ប្រើតម្លៃនៅចុងជិតបំផុត \(T_1\) ឬ \(T_n\) (អេកស្ត្រាប៉ូលថេរ)។

សម្រាប់ការពឹងផ្អែកលើសីតុណ្ហភាពនៃលក្ខណៈកម្ដៅ និងការបញ្ជូនកម្ដៅ (ដង់ស៊ីតេ កម្ដៅជាក់លាក់ និងសមត្ថភាពបញ្ជូនកម្ដៅ) សូមមើល លក្ខណៈកម្ដៅ។ ក្បួនអន្តរប៉ូលគឺដូចគ្នា។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ¶

សញ្ញាសម្គាល់តង់ស័រ និងមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យា — ក្បួនសញ្ញាសម្គាល់ Voigt និងតួនាទីរបស់ម៉ាទ្រីសសម្ភារៈ \(D\)
ចលនា ខូចទ្រង់ទ្រាយ និងស្ត្រេន — ទិដ្ឋភាពទូទៅនៃក្រាឌីយ៉ង់ខូចទ្រង់ទ្រាយ និងតង់ស័រស្ត្រេន
ហាយពើអេឡាស្ទិច — ការពង្រីកទៅការឆ្លើយតបដែលអាចត្រឡប់វិញបាន រួមទាំងស្ត្រេនធំ
អេលាស្តូប្លាស្ទិក — ម៉ូដែលហាយពូអេឡាស្ទិច និងប្លាស្ទិច ដែលរួមបញ្ចូលស្ត្រេនប្លាស្ទិច
លក្ខណៈកម្ដៅ — លក្ខណៈសម្ភារៈសម្រាប់ភ្ជាប់ជាមួយការបញ្ជូនកម្ដៅ និងស្ត្រេសកម្ដៅ
ទិន្នន័យសម្ភារៈ (មុខងារ) — ជម្រើសម៉ូដែល និងរបៀបជ្រើសរើសប្រើ