Skip to content

អនុគមន៍រាង និងការប៉ាន់ប្រមាណធាតុកំណត់

ដើម្បីដោះស្រាយទម្រង់ខ្សោយនៃ គោលការណ៍ការងារនិម្មិត ដោយកុំព្យូទ័រ ដែនរបស់វត្ថុត្រូវបានបែងចែកជាធាតុចំនួនកំណត់ ហើយកូអរដោនេចំណុចសម្ភារៈ ការផ្លាស់ទី និងអនុគមន៍សាកល្បងក្នុងធាតុនីមួយៗ ត្រូវបានអន្តរប៉ូលពីតម្លៃថ្នាំង និងអនុគមន៍រាង។ ដេរីវេតាមលំហនៃអនុគមន៍រាងត្រូវបានពន្យល់ក្នុង ដេរីវេតាមលំហនៃអនុគមន៍រាង, ការឌីសគ្រីតកម្មនៃទម្រង់ខ្សោយក្នុង ការឌីសគ្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតខាងក្នុង, ហើយទម្រង់ជាក់លាក់នៃអនុគមន៍រាងសម្រាប់ប្រភេទធាតុនីមួយៗនៅក្នុង ប្រព័ន្ធលេខធាតុ និងបណ្ណាល័យអនុគមន៍រាង និងផ្នែកបន្ទាប់។

ការបែងចែកដែន និងផលបូកអាំងតេក្រាលតាមធាតុ

ដែន \(\Omega_0\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង និងដែន \(\Omega\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណដោយសហភាពរបស់ធាតុ \(\Omega^e_0\) និង \(\Omega^e\) រៀងៗខ្លួន៖

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) គឺជាលេខធាតុ ហើយព្រំដែនធាតុត្រូវបានចែករំលែករវាងធាតុជាប់គ្នា។) ដោយនេះ អាំងតេក្រាលមាឌ និងផ្ទៃក្នុង គោលការណ៍ការងារនិម្មិត ត្រូវបានបំបែកជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលលើធាតុនីមួយៗ៖

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(អនុវត្តដូចគ្នាចំពោះការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ដោយជំនួស \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) និង \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)។) ចាប់ពីនេះទៅ ការវាយតម្លៃទម្រង់ខ្សោយស្មើនឹងការបង្កើតអាំងតេក្រាលតាមធាតុ។

អន្តរប៉ូលដោយប្រើតម្លៃថ្នាំង និងអនុគមន៍រាង (ធាតុ isoparametric)

ធាតុនីមួយៗ \(\Omega^e_0\) ត្រូវបានផ្ដល់ថ្នាំង \(n_e\)។ កំណត់កូអរដោនេការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង និងការផ្លាស់ទីថ្នាំងរបស់ថ្នាំងធាតុ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ជា \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)។ វ៉ិចទ័រថ្នាំងធាតុ \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) និង \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ដែលបានរៀបពីតម្លៃទាំងនេះ មានតែសមាសធាតុនៃថ្នាំងដែលបង្កើតធាតុ \(e\) ប៉ុណ្ណោះ ដែលបានដកចេញពីវ៉ិចទ័រថ្នាំងសរុប \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) គឺជាចំនួនថ្នាំងសរុប)។

ដោយប្រើ កូអរដោនេធម្មជាតិ \(\boldsymbol{r}\) ដែលជាកូអរដោនេមូលដ្ឋានក្នុងធាតុ ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ អនុគមន៍រាង \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) អន្តរប៉ូលកូអរដោនេសម្ភារៈ ការផ្លាស់ទី និងអនុគមន៍សាកល្បងក្នុងធាតុដោយអនុគមន៍រាងដូចគ្នា (ធាតុ isoparametric និងវិធី Galerkin)៖

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

អនុគមន៍រាងត្រូវបានបង្កើតឱ្យបំពេញលក្ខណៈពីរខាងក្រោម ហើយធរណីមាត្រធាតុត្រូវបានជ្រើសដើម្បីឱ្យការផ្គូផ្គង \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) ពីកូអរដោនេធម្មជាតិទៅកូអរដោនេសម្ភារៈ មានទំនាក់ទំនងមួយទល់មួយក្នុងធាតុ៖

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) គឺជាចំណុចក្នុងកូអរដោនេធម្មជាតិដែលត្រូវនឹងថ្នាំង \(\alpha\) ហើយ \(\delta_{\alpha\beta}\) គឺជាដែលតា Kronecker។) សមីការទីមួយធានាការបង្កើតឡើងវិញនៃការផ្លាស់ទីរាងកាយរឹង ហើយសមីការទីពីរធានាថាតម្លៃអន្តរប៉ូលស្របនឹងតម្លៃថ្នាំងនៅគ្រប់ថ្នាំង។ ទម្រង់ជាក់លាក់របស់ \(n_e\) និង \(N_\alpha^e\) សម្រាប់ប្រភេទធាតុនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ក្នុង ប្រព័ន្ធលេខធាតុ និងបណ្ណាល័យអនុគមន៍រាង និងផ្នែកបន្ទាប់។ ដើម្បីជៀសវាងសញ្ញាសរសេរស្មុគស្មាញ ភាពអាស្រ័យលើប្រភេទធាតុត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរលើ \(e\) តាមធាតុ។

ដោយច្បាប់អន្តរប៉ូលខាងលើ អនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ខ្សោយអាចបង្ហាញដោយប្រើតែតម្លៃថ្នាំងធាតុ \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) និង \(N_\alpha^e\)។ ផ្ទុយទៅវិញ ស្ត្រេនត្រូវបានដកស្រង់ពីការផ្លាស់ទីដែលបានអន្តរប៉ូល និង ទំនាក់ទំនងស្ត្រេន-ការផ្លាស់ទី, ខណៈស្ត្រេសត្រូវបានដកស្រង់ពីស្ត្រេននោះ និង ច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈ; បរិមាណទាំងនេះមិនត្រូវបានអន្តរប៉ូលដោយផ្ទាល់ពីតម្លៃថ្នាំងទេ។ វាត្រូវបានវាយតម្លៃនៅចំណុចអាំងតេក្រាលក្នុងធាតុ (អាំងតេក្រាលលេខ)។

ច្បាប់រៀបលំដាប់វ៉ិចទ័រថ្នាំងសរុប

បរិមាណរូបវិទ្យាដែលបានផ្ដល់ទៅថ្នាំង ត្រូវបានរៀបក្នុងវ៉ិចទ័រថ្នាំងសរុបតាមលំដាប់កើននៃ លេខថ្នាំង → ដឺក្រេសេរីភាព។ ប្រសិនបើសមាសធាតុដឺក្រេសេរីភាព \(i\) នៅថ្នាំង \(\alpha\) ត្រូវបានសម្គាល់ជា \(u_{i\alpha}\) នោះសម្រាប់បីវិមាត្រ (\(i=1,2,3\)) និងពីរវិមាត្រ (\(i=1,2\)) រៀងៗខ្លួន

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

កូអរដោនេ \(\boldsymbol{X}^n\) និងអនុគមន៍សាកល្បង \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ក៏អនុវត្តតាមលំដាប់ដូចគ្នា។ ចាប់ពីនេះទៅ ការបម្លែងសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស និងវ៉ិចទ័រ នឹងសរសេរដោយយកករណីបីវិមាត្រជាតំណាង។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ