ដេរីវេតាមលំហរបស់អនុគមន៍រាង¶

អនុគមន៍រាង \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ដែលបានណែនាំក្នុង អនុគមន៍រាង និងការប្រហាក់ប្រហែលធាតុកំណត់ ត្រូវបានផ្តល់ជាអនុគមន៍នៃកូអរដោនេធម្មជាតិ \(\boldsymbol{r}\) ដែលជាកូអរដោនេមូលដ្ឋានរបស់ធាតុ។ ផ្ទុយទៅវិញ ក្នុងអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ខ្សោយ មានដេរីវេផ្នែក \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ឬ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) តាមកូអរដោនេរូបវន្ត (ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង \(\boldsymbol{X}\) ឬការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(\boldsymbol{x}\)) តាមរយៈទំនាក់ទំនងស្ត្រេន–ការផ្លាស់ទី។ ជំពូកនេះរៀបរាប់នីតិវិធីគណនា ដេរីវេតាមលំហរបស់អនុគមន៍រាង ទាំងនេះពីកូអរដោនេថ្នាំងធាតុ និងដេរីវេតាមកូអរដោនេធម្មជាតិ។

ការបង្ហាញដេរីវេតាមលំហដោយច្បាប់ខ្សែសង្វាក់¶

បើអនុវត្តច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ទៅសមីការអន្តរប៉ូល \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (ជំពូកមុន) ហើយប្រើ ម៉ាទ្រីស Jacobian \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) នៃផែនទីពីកូអរដោនេធម្មជាតិទៅកូអរដោនេរូបវន្ត នោះ

ត្រូវបានទទួល។ នៅទីនេះ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) និង \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ជាម៉ាទ្រីស \(n_e \times 3\) ដែលជួរដេក \(\alpha\) តំណាងវ៉ិចទ័រដេរីវេផ្នែករបស់ថ្នាំង \(\alpha\)។

ការស្ថាបនាម៉ាទ្រីស Jacobian¶

ពេលធ្វើដេរីវេផ្នែកនៃសមីការអន្តរប៉ូលតាម \(\boldsymbol{r}\)

ទទួលបានដូចនេះ ហើយអាចស្ថាបនាដោយផ្ទាល់ពីកូអរដោនេថ្នាំងធាតុ \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) និងដេរីវេតាមកូអរដោនេធម្មជាតិ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)។ ដេរីវេតាមកូអរដោនេធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់ដោយទម្រង់អនុគមន៍រាង ហើយត្រូវបានអនុវត្តជាមុនសម្រាប់ប្រភេទធាតុនីមួយៗ។

ដេទែរមីណង់ \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) របស់ម៉ាទ្រីស Jacobian ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការបម្លែងធាតុមាឌ \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) ក្នុង អាំងតេក្រាលលេខ។ បើដេទែរមីណង់ស្មើ \(0\) ធាតុបានខូចរាង ហើយការគណនាមិនអាចបន្តបាន។

លំហូរគណនា¶

ពីការដកស្រង់ខាងលើ ការគណនា​ដេរីវេតាមលំហ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) អាចបែងចែកជា 4 ជំហានដូចខាងក្រោម។

1. គណនាដេរីវេតាមកូអរដោនេធម្មជាតិ៖ បញ្ចូលប្រភេទធាតុ និងកូអរដោនេធម្មជាតិ \(\boldsymbol{r}\) នៃចំណុចវាយតម្លៃ ដើម្បីគណនាម៉ាទ្រីសដេរីវេ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)។ ព្រោះទម្រង់អនុគមន៍រាងខុសគ្នាតាមប្រភេទធាតុ ការគណនាត្រូវបែកសាខាតាមប្រភេទធាតុ។
2. គណនាម៉ាទ្រីស Jacobian៖ ស្ថាបនាម៉ាទ្រីស Jacobian \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) ពីកូអរដោនេថ្នាំងធាតុ \(\boldsymbol{X}^e\) និង \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ដោយសមីការនៅផ្នែកមុន។
3. គណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស និងដេទែរមីណង់៖ គណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) និងដេទែរមីណង់របស់ម៉ាទ្រីស Jacobian។ ដេទែរមីណង់ត្រូវបានប្រើជាទម្ងន់សម្រាប់អាំងតេក្រាលលេខ។
4. គណនាដេរីវេតាមលំហ៖ ទទួល \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ជាផលគុណរវាង \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) និង \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)។

ជំហានទាំង 4 នេះបែកសាខាតាមប្រភេទធាតុ និងវិមាត្រលំហ (2D/3D) ប៉ុន្តែលំហូរទូទៅគឺដូចគ្នា។

ការប្រើនីតិវិធីរួមសម្រាប់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង និងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន¶

នីតិវិធីខាងលើអាចអនុវត្តចំពោះដេរីវេតាមលំហ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ដោយគ្រាន់តែជំនួស \(\boldsymbol{X}^e\) ដោយកូអរដោនេថ្នាំងក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\)។ ដូច្នេះ វិធី Total Lagrange និង Updated Lagrange អាចចែករំលែកនីតិវិធីដូចគ្នា ដោយប្តូរតែកូអរដោនេថ្នាំងដែលបញ្ចូល។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ¶

• អនុគមន៍រាង និងការប្រហាក់ប្រហែលធាតុកំណត់ — និយមន័យអនុគមន៍រាង និងកូអរដោនេថ្នាំងធាតុ
• ឌីស្ក្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្នុង — ស្ថាបនាម៉ាទ្រីស B ពីដេរីវេតាមលំហ
• អាំងតេក្រាលលេខ — ការប្រើដេទែរមីណង់របស់ម៉ាទ្រីស Jacobian ក្នុងអាំងតេក្រាល Gauss