Skip to content

ការឌីសគ្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតខាងក្នុង

សមីការការងារនិម្មិតនៅពេល \(t + \Delta t\) ដែលបានបង្ហាញក្នុង ក្របខណ្ឌនៃការវិភាគបន្ថែម មានពីរទម្រង់ គឺ Updated Lagrange និង Total Lagrange អាស្រ័យលើការជ្រើសរើសការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង។ ក្នុងជំពូកនេះ ការប៉ាន់ប្រមាណធាតុកំណត់ដែលបានណែនាំក្នុង អនុគមន៍រាង និងការប៉ាន់ប្រមាណធាតុកំណត់ និង ដេរីវេតាមលំហនៃអនុគមន៍រាង ត្រូវបានប្រើដើម្បីឌីសគ្រីតកម្មតាមលំហនៃការងារនិម្មិតខាងក្នុងសម្រាប់ទម្រង់ទាំងពីរ និងទទួលបានវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុ \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) និង \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL)។

សម្រាប់ធាតុ \(e\) កំណត់ថ្នាំងសមាសភាពជា \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) និងការផ្លាស់ទីជា \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) ហើយរៀបវ៉ិចទ័រការផ្លាស់ទីថ្នាំងរបស់ធាតុជា \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)។ ការផ្លាស់ទីនិម្មិត \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងលំដាប់ដូចគ្នា។ ការផ្លាស់ទីក្នុងធាតុត្រូវបានអន្តរប៉ូលដោយអនុគមន៍រាងជា \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\)។

ការងារនិម្មិតខាងក្នុងក្នុងទម្រង់ Updated Lagrange

ក្នុងទម្រង់ Updated Lagrange ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \({}^{t}\Omega\) នៅពេល \(t\) ត្រូវបានប្រើជាការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ហើយការងារនិម្មិតខាងក្នុងត្រូវបានសរសេរដោយប្រើស្ត្រេស Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) និងផ្នែកលីនេអ៊ែរនៃស្ត្រេន Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ជា

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

សមាសធាតុនីមួយៗនៃ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) អាចបង្ហាញជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃដេរីវេអនុគមន៍រាង \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) តាមកូអរដោនេការកំណត់បច្ចុប្បន្ន \(\boldsymbol{x}\) និងការផ្លាស់ទីនិម្មិតថ្នាំង \(\delta u^e_{i\alpha}\)។ ក្នុងសញ្ញាសរសេរ Voigt វាអាចប្រមូលបានជា

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

ប្លុកថ្នាំង \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) គឺជាម៉ាទ្រីស \(6 \times 3\) ដែលបានរៀប \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) តាមក្បួន Voigt ហើយ \(\boldsymbol{B}_L\) គឺជាម៉ាទ្រីសទំនាក់ទំនងស្ត្រេន-ការផ្លាស់ទីសម្រាប់ទម្រង់ UL។ ដោយជំនួសវាចូលក្នុងការងារនិម្មិតខាងក្នុង និងដក \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ចេញ យើងបាន

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

សម្រាប់ \(\boldsymbol{q}^e\) ប្លុកថ្នាំង \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) គឺជាកម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុ \(\Omega^e\) ដែលអនុវត្តលើថ្នាំងសមាសភាព \(\alpha\)។

ការងារនិម្មិតខាងក្នុងក្នុងទម្រង់ Total Lagrange

ក្នុងទម្រង់ Total Lagrange ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូង \(\Omega_0\) ត្រូវបានប្រើជាការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ហើយការងារនិម្មិតខាងក្នុងត្រូវបានសរសេរដោយប្រើស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 2 \(\boldsymbol{S}\) និងស្ត្រេន Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) ជា

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

បម្រែបម្រួល \(\delta \boldsymbol{E}\) ត្រូវបានបែងចែកជាពាក្យដែលលីនេអ៊ែរចំពោះការផ្លាស់ទីនិម្មិត និងពាក្យមិនលីនេអ៊ែរដែលមានផលគុណជាមួយក្រាដ្យង់ការផ្លាស់ទីបច្ចុប្បន្ន \(\partial u_k/\partial X_j\)៖

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

ពាក្យលីនេអ៊ែរ អាចសរសេរដោយអនុវត្តក្បួនរៀបដូចក្នុងទម្រង់ UL ទៅលើ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ដើម្បីបានប្លុកថ្នាំង \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\)៖

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

ដោយសារការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងខុសគ្នា មានតែដេរីវេសមាសធាតុប៉ុណ្ណោះដែលប្ដូរពី \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ទៅ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ហើយប្រើនិមិត្តសញ្ញាដូចគ្នានឹងទម្រង់ UL។ ពាក្យមិនលីនេអ៊ែរ ប្រើផលគុណនៃក្រាដ្យង់ការផ្លាស់ទីបច្ចុប្បន្ន \(\partial u_k/\partial X_j\) និង \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ដែលរៀបតាមក្បួន Voigt ដើម្បីបង្កើតប្លុកថ្នាំង \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\)៖

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

ដូច្នេះ \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ហើយ \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) គឺជាម៉ាទ្រីសទំនាក់ទំនងស្ត្រេន-ការផ្លាស់ទីសម្រាប់ទម្រង់ TL។ ដោយជំនួសវាចូលក្នុងការងារនិម្មិតខាងក្នុង យើងបាន

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

ប្លុកថ្នាំង \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) គឺជាកម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុ \(\Omega^e_0\) ដែលអនុវត្តលើថ្នាំងសមាសភាព \(\alpha\)។

ការឆ្លើយឆ្លងរវាង UL/TL និងលំហូរគណនា

វ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុនៅក្នុងទម្រង់ Updated Lagrange និង Total Lagrange មានការឆ្លើយឆ្លងដូចខាងក្រោម។

ធាតុ ទម្រង់ Updated Lagrange ទម្រង់ Total Lagrange
ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \({}^{t}\Omega^e\) ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូង \(\Omega^e_0\)
តង់ស័រស្ត្រេស ស្ត្រេស Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ស្ត្រេស PK ទី 2 \(\boldsymbol{S}\)
បម្រែបម្រួលស្ត្រេន \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
ម៉ាទ្រីស B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
កម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុ \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

ទាំងពីរត្រូវបានដំណើរការដោយនីតិវិធីដូចគ្នា៖ បង្កើត \(\boldsymbol{B}_L\) ពីដេរីវេតាមលំហនៃអនុគមន៍រាង; ក្នុងទម្រង់ TL បង្កើត និងបូក \(\boldsymbol{B}_{NL}\) ពីក្រាដ្យង់ការផ្លាស់ទីបច្ចុប្បន្ន; ធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពស្ត្រេស (\(\boldsymbol{\sigma}\) ឬ \(\boldsymbol{S}\)) តាមច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈ; ហើយអាំងតេក្រាលលេខ \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ឬ \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) លើដែនធាតុនៅចំណុចអាំងតេក្រាល (អាំងតេក្រាលលេខ)។ លើកលែងតែការប្ដូរការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង (កូអរដោនេថ្នាំង និងការបង្កើតម៉ាទ្រីស \(\boldsymbol{B}\)) និងការជំនួសតង់ស័រស្ត្រេស ដំណើរការផ្សេងទៀតជារួម ដូច្នេះ FrontISTR អនុវត្តការគណនាកម្លាំងខាងក្នុងសម្រាប់ទម្រង់ទាំងពីរដោយប្រើសាប់រូទីនរួម។ ការផ្គុំវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុ \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) ទៅជាវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងសរុប ត្រូវបានពន្យល់ក្នុង ការងារនិម្មិតខាងក្រៅ និងការផ្គុំសមីការសរុប។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ