Skip to content

ការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្រៅ និងការផ្គុំសមីការសកល

ក្នុង ឌីស្ក្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្នុង យើងបានប្រមូលផ្តុំផ្នែកខាងឆ្វេងនៃទម្រង់ខ្សោយទៅជាវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងធាតុ \(\boldsymbol{q}^e\) (វិធី UL) ឬ \(\boldsymbol{Q}^e\) (វិធី TL)។ ជំពូកនេះណែនាំវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្រៅនៅថ្នាំងធាតុ \(\boldsymbol{F}^e\) ពីការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្រៅ ហើយតាមរយៈ ការផ្គុំ ដែលរៀបចំ និងបូកបរិមាណរូបវន្តរបស់ថ្នាំងធាតុតាមលេខថ្នាំងសកល ទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការមិនលីនេអ៊ែរសម្រាប់ការផ្លាស់ទីថ្នាំងដែលការវិភាគរចនាសម្ព័ន្ធមិនលីនេអ៊ែររបស់ FrontISTR ត្រូវដោះស្រាយ។

ការបំបែកការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្រៅតាមធាតុ

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ គោលការណ៍ការងារនិម្មិត អាចបំបែកតាមធាតុជាការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្រៅ ដែលមានកម្លាំងមាឌ (កម្លាំងរាងកាយ) និងកម្លាំងផ្ទៃកំណត់លើព្រំដែនមេកានិច។ ដើម្បីសរសេរអន្តរប៉ូលការផ្លាស់ទីដែលបានណែនាំក្នុង អនុគមន៍រាង និងការប្រហាក់ប្រហែលធាតុកំណត់ ជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស កំណត់ប្លុកអង្កត់ទ្រូង \(d \times d\) ឈ្មោះ \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ដែលមានអនុគមន៍រាង \(N_\alpha^e\) នៃថ្នាំង \(\alpha\) និង \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ដែលដាក់ប្លុកទាំងនេះតាមទិសផ្ដេក ដូច្នេះ \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)។ ដាក់វាចូលក្នុងការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្រៅដែលសរសេរក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង នោះ

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

ត្រូវបានទទួល។ នៅទីនេះ វ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្រៅនៅថ្នាំងធាតុ ត្រូវបានរៀបជា \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)។ ដូច្នេះ ការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្រៅត្រូវបានរៀបជាទម្រង់ដូចផ្នែកកម្លាំងខាងក្នុង គឺ «វ៉ិចទ័រថ្នាំងធាតុ × អនុគមន៍សាកល្បង» (បើសរសេរក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ក៏មានទម្រង់ដូចគ្នាដោយជំនួស \(dV \to dv\)，\(\rho_0 \to \rho\)，\(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\))។

ការផ្គុំបរិមាណរូបវន្តនៅថ្នាំងធាតុ

បរិមាណរូបវន្តនៅថ្នាំង \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) ដែលទទួលបានសម្រាប់ធាតុនីមួយៗ ត្រូវបានរៀបតាមលេខថ្នាំងសកល ហើយបូកចូលវ៉ិចទ័រសកល។ លេខថ្នាំងសកលដែលត្រូវនឹងលេខថ្នាំងក្នុងធាតុ \(\alpha\) នៃធាតុ \(\Omega^e\) ត្រូវបានសរសេរជា

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

បន្ទាប់មក បរិមាណរូបវន្តនៅថ្នាំងធាតុស្មើនឹងសមាសភាគត្រូវគ្នានៃបរិមាណរូបវន្តនៅថ្នាំងសកល (ឧ. \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\))។ ជាទូទៅ ថ្នាំង \(i_g\) ត្រូវបានចែករំលែកដោយធាតុច្រើន ដូច្នេះកំណត់សំណុំគូ \((e, \alpha)\) ដែលលេខថ្នាំងសកលស្មើ \(i_g\) ជា

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

ដោយប្រើសំណុំនេះ និងសរសេរផលបូកឡើងវិញជា \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) នោះទទួលបាន កម្លាំងខាងក្នុងនៅថ្នាំង និង វ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងសកល សម្រាប់ថ្នាំងសរុប \(n_g\)

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

។ \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) ស្មើនឹងផលបូកកម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុដែលសកម្មលើថ្នាំង \(i_g\) ហើយបើគ្មានកម្លាំងខាងក្រៅ និងស្ថិតក្នុងសមតុល្យ វាគឺ \(\boldsymbol{0}\)។ វិធី UL ក៏ទទួលបាន \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ដោយនីតិវិធីដូចគ្នា ហើយដោយតម្លៃ \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) ដូច្នេះចាប់ពីនេះទៅ ប្រើ \(\boldsymbol{Q}\) ជាសញ្ញារួម លើកលែងតែកន្លែងដែលត្រូវបែងចែក។ វ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្រៅសកល \(\boldsymbol{F}\) ក៏ទទួលបានដោយការបូកដូចគ្នា។

ក្នុងការអនុវត្ត មិនបង្កើតសំណុំ \(\mathcal{E}(i_g)\) ដោយផ្ទាល់ទេ ប៉ុន្តែបូកចូលសមាសភាគត្រូវគ្នានៅក្នុងរង្វិលជុំធាតុ។

កំណត់វ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងសកល Q ជា 0៖ Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (ចំនួនធាតុ)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

វ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្រៅសកល \(\boldsymbol{F}\) ក៏ត្រូវបានស្ថាបនាដោយនីតិវិធីដូចគ្នា។ ប្រតិបត្តិការដែលបន្ថែម និងរក្សាទុកបរិមាណរូបវន្តនៅថ្នាំងធាតុក្នុងវ៉ិចទ័រ/ម៉ាទ្រីសដែលបានដាក់លេខដោយលេខថ្នាំងសកលនេះ ហៅថា ការផ្គុំ។ សម្រាប់តង់ស័រលំដាប់ទីពីរដែលពាក់ព័ន្ធនឹងលេខថ្នាំងពីរ (ដូចជា ម៉ាទ្រីសភាពរឹង) អាចទទួលបានប្រតិបត្តិការផ្គុំដូចគ្នាដោយប្រើសំណុំ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (សម្រាប់ការស្ថាបនាជាក់លាក់ សូមមើល ម៉ាទ្រីសភាពរឹងតង់សង់)។

សមីការមិនលីនេអ៊ែរដែលត្រូវដោះស្រាយ

ដាក់លទ្ធផលនៃការផ្គុំកម្លាំងខាងក្នុង និងខាងក្រៅចូលក្នុង គោលការណ៍ការងារនិម្មិត ហើយដោយសារវាត្រូវពិតសម្រាប់អនុគមន៍សាកល្បងណាមួយ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែនធរណីមាត្រ នោះ

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

ត្រូវបានទទួល។ ក្នុងបរិបទការវិភាគបង្កើនជំហាន (ក្របខណ្ឌការវិភាគបង្កើនជំហាន) បើស្ដារលេខសម្គាល់ពេល \(_{n+1}\) ហើយលុបលេខសម្គាល់លើ \(^n\) ដែលបង្ហាញវ៉ិចទ័រថ្នាំងសកល សមីការដែលត្រូវដោះស្រាយគឺ

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

។ បញ្ហាតម្លៃព្រំដែនដែលបានឌីស្ក្រីតសម្រាប់រកការផ្លាស់ទីថ្នាំង \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) នៅពេល \(t_{n+1}\) ត្រូវបានបម្លែងទៅជាការដោះស្រាយសមីការមិនលីនេអ៊ែរនេះជាមួយលក្ខខណ្ឌព្រំដែនធរណីមាត្រ។ ការធ្វើលីនេអ៊ែរ និងការស្ថាបនាម៉ាទ្រីសភាពរឹងតង់សង់ ត្រូវបានពិពណ៌នាក្នុង ម៉ាទ្រីសភាពរឹងតង់សង់ ហើយវិធីដោះស្រាយជុំវិញត្រូវបានពិពណ៌នាក្នុង វិធី Newton-Raphson។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ