អាំងតេក្រាលលេខ¶

វ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុ \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) និងម៉ាទ្រីសភាពរឹងរបស់ធាតុ \(\boldsymbol{K}^e\) ដែលបានទទួលពី ការឌីសគ្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតខាងក្នុង និង ការងារនិម្មិតខាងក្រៅ និងការផ្គុំសមីការសរុប មានទម្រង់ជាអាំងតេក្រាលលើដែនធាតុ \(\Omega^e\) ឬ \(\Omega^e_0\)។ FrontISTR វាយតម្លៃវាដោយវិធីលេខដោយប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាល Gauss។

រូបមន្តអាំងតេក្រាល Gauss និងការប្ដូរអថេរ¶

រូបមន្តអាំងតេក្រាល Gauss ប៉ាន់ប្រមាណអាំងតេក្រាលលើដែនស្តង់ដារ \(\Xi\) ដោយបន្សំលីនេអ៊ែរនៃតម្លៃអនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលនៅចំណុចអាំងតេក្រាល \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) និងទម្ងន់ \(w_i\)។ ការអនុវត្តវាទៅដែនធាតុ \(\Omega^e\) តម្រូវឱ្យប្ដូរអថេរតាមការផ្គូផ្គង \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) ដូច្នេះ

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

នៅទីនេះ \(n_q\) គឺជាចំនួនចំណុចអាំងតេក្រាល ហើយ \(J_{\xi_i}\) គឺជាដេទែរមីណង់នៃម៉ាទ្រីសយ៉ាកូប៊ី សម្រាប់ការបម្លែង។ ដែនស្តង់ដារ \(\Xi\) ត្រូវបានកំណត់តាមប្រភេទធាតុ (សម្រាប់ហិចសាហេដ្រុង គឺ \([-1,1]^3\); សម្រាប់ត្រីកោណ តេត្រាហេដ្រុង និងរាងក្រូចឆ្មារ គឺរាងយោងដែលត្រូវគ្នា) ហើយចំណុចអាំងតេក្រាល \(\boldsymbol{\xi}_i\) និងទម្ងន់ \(w_i\) ត្រូវបានផ្តល់ជាតារាងលេខ។ អាំងតេក្រាលផ្ទៃក៏ត្រូវបានដោះស្រាយក្នុងទម្រង់ដូចគ្នា ដោយផ្គូផ្គងផ្ទៃធាតុពីដែនយោងពីរវិមាត្រ។

ចំនួនចំណុចអាំងតេក្រាលតំណាងដែល FrontISTR ប្រើ ត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម (សម្រាប់ការឆ្លើយឆ្លងជាមួយប្រភេទធាតុ សូមមើល ប្រព័ន្ធលេខធាតុ និងបណ្ណាល័យអនុគមន៍រាង)។

ប្រភេទធាតុ	រូបមន្តអាំងតេក្រាល	ចំនួនចំណុចអាំងតេក្រាល
តេត្រាហេដ្រុង 4 ថ្នាំង (`tet4n`)	រូបមន្ត 1 ចំណុច	1
តេត្រាហេដ្រុង 10 ថ្នាំង (`tet10n`)	រូបមន្ត 4 ចំណុច	4
prism ត្រីកោណ 6 ថ្នាំង (`prism6n`)	រូបមន្ត 2 ចំណុច	2
prism ត្រីកោណ 15 ថ្នាំង (`prism15n`)	រូបមន្ត 9 ចំណុច	9
ហិចសាហេដ្រុង 8 ថ្នាំង (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
ហិចសាហេដ្រុង 20 ថ្នាំង (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
ចតុកោណ 4 ថ្នាំង (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
ចតុកោណ 8 ថ្នាំង (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
ត្រីកោណ 3 ថ្នាំង (`tri3n`)	រូបមន្ត 1 ចំណុច	1
ត្រីកោណ 6 ថ្នាំង (`tri6n`)	រូបមន្ត 3 ចំណុច	3

សម្រាប់ធាតុហិចសាហេដ្រុង ចតុកោណ និងបន្ទាត់ ប្រើផលគុណតង់ស័រនៃរូបមន្ត Gauss-Legendre តាមទិសកូអរដោនេនីមួយៗ។ ត្រីកោណ តេត្រាហេដ្រុង និងព្រីសត្រីកោណ ប្រើរូបមន្តជាក់លាក់សមស្របនឹងធរណីមាត្រប្រភេទ ស៊ីមផ្លិច (ការរៀបចំចំណុចដែលអាំងតេក្រាលពហុធាបានត្រឹមត្រូវលើត្រីកោណផ្ទាល់)។

ការអនុវត្តទៅអាំងតេក្រាលធាតុ¶

ក្នុងអាំងតេក្រាលធាតុ កូអរដោនេធម្មជាតិ \(\boldsymbol{r}\) ត្រូវបានប្រើជាកូអរដោនេនៃដែនស្តង់ដារ (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) ហើយការផ្គូផ្គងទៅកូអរដោនេរូបវិទ្យាត្រូវបានផ្តល់ដោយអន្តរប៉ូលកូអរដោនេថ្នាំងតាមអនុគមន៍រាង។ អាស្រ័យលើការជ្រើសរើសការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង (ក្របខណ្ឌនៃការវិភាគបន្ថែម) ប្រើទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

វិធី Total Lagrange (អាំងតេក្រាលលើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង \(\Omega^e_0\))៖ ការផ្គូផ្គង និងយ៉ាកូប៊ីគឺ

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ហើយកម្លាំងខាងក្នុង និងម៉ាទ្រីសភាពរឹងរបស់ធាតុ ត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណជា

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ទាំងអស់ ត្រូវបានវាយតម្លៃនៅចំណុចអាំងតេក្រាល \(\boldsymbol{r}_i\)។

វិធី Updated Lagrange (អាំងតេក្រាលលើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(\Omega^e\))៖ ការផ្គូផ្គង និងយ៉ាកូប៊ីគឺ

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ហើយ

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ត្រូវបានប្រើជាការប៉ាន់ប្រមាណ។

ភាពខុសគ្នាតែមួយរវាងទម្រង់ទាំងពីរ គឺថាកូអរដោនេថ្នាំងដែលផ្គត់ផ្គង់ទៅការផ្គូផ្គងជា \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ឬ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); ចំណុចអាំងតេក្រាល ទម្ងន់ និងរចនាសម្ព័ន្ធរង្វិលជុំចំណុចអាំងតេក្រាល គឺរួមគ្នា។

អាំងតេក្រាលពេញលេញ និងអាំងតេក្រាលកាត់បន្ថយ¶

អាំងតេក្រាលដែលប្រើចំនួនចំណុចអាំងតេក្រាលគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអាំងតេក្រាលដឺក្រេពហុធានៃអនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលបានត្រឹមត្រូវ ហៅថា អាំងតេក្រាលពេញលេញ ខណៈអាំងតេក្រាលដែលប្រើចំណុចអាំងតេក្រាលតិចជាងមួយកម្រិត ហៅថា អាំងតេក្រាលកាត់បន្ថយ។ អាំងតេក្រាលកាត់បន្ថយត្រូវបានប្រើដើម្បីបន្ថយ ការចាក់សោដោយកាត់ និងការចាក់សោមាឌ ប៉ុន្តែត្រូវការការដោះស្រាយម៉ូដខូចក្លែងក្លាយ ដូចជា ម៉ូដនាឡិកាខ្សាច់។ ចំនួនចំណុចអាំងតេក្រាលសម្រាប់ប្រភេទធាតុនីមួយៗ និងការជ្រើសរវាងអាំងតេក្រាលពេញលេញ/កាត់បន្ថយ ត្រូវបានពន្យល់ក្នុង ប្រព័ន្ធលេខធាតុ និងបណ្ណាល័យអនុគមន៍រាង និងផ្នែកបន្ទាប់ ព្រមទាំង ទម្រង់ធាតុសមត្ថភាពខ្ពស់។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ¶

ដេរីវេតាមលំហនៃអនុគមន៍រាង — ការគណនាយ៉ាកូប៊ី
ការឌីសគ្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតខាងក្នុង — បរិមាណដែលវាយតម្លៃដោយអាំងតេក្រាលលេខ
ទម្រង់ធាតុសមត្ថភាពខ្ពស់ — ការប្រើអាំងតេក្រាលកាត់បន្ថយ