Skip to content

រូបមន្តធាតុប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់

រូបមន្តស្តង់ដារផ្អែកលើការផ្លាស់ទីដែលបានបង្ហាញក្នុង រូបមន្តធាតុសូលីដ 3D អាចបង្ហាញភាពរឹងខ្លាំងមិនត្រឹមត្រូវដែលហៅថា ភាពរឹងលើសកម្រិត (ភាពរឹងលើសកម្រិតមាឌ និង ភាពរឹងលើសកម្រិតកាត់) នៅពេលអនុវត្តទៅសម្ភារៈជិតមិនអាចបង្ហាប់បានឬរចនាសម្ព័ន្ធជញ្ជាំងស្តើងដែលគ្រប់គ្រងដោយការពត់។ ដើម្បីជៀសវាងបញ្ហានេះ FrontISTR មានវិធី B-bar និង F-bar ដែលជំនួសតែផ្នែកមាឌនៃម៉ាទ្រីស B ឬក្រាឌីយ៉ង់នៃការខូចទ្រង់ទ្រាយ, ធាតុមិនសមស្របដែលណែនាំដឺក្រេនៃសេរីភាពខាងក្នុង, ធាតុចម្រុះ u-p ដែលយកសម្ពាធជាវាលមិនស្គាល់ឯករាជ្យនិងធាតុ MITC សំបក/ធ្នឹមដែលឯកទេសសម្រាប់រចនាសម្ព័ន្ធបន្ទះនិងធ្នឹម។

ជំពូកនេះរៀបចំរូបមន្តរបស់ធាតុប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់និងធាតុរចនាសម្ព័ន្ធទាំងនេះតាមប្រភេទធាតុ។

វិធី B-bar

បើប្រើធាតុហិចសាហេដ្រាល់ លីនេអ៊ែរ 8 ថ្នាំងសម្រាប់សម្ភារៈជិតមិនអាចបង្ហាប់បានស្ត្រេនក្នុងធាតុមួយអាចផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌមាឌថេរហើយបង្កើតភាពរឹងខ្លាំងដែលហៅថា ភាពរឹងលើសកម្រិតមាឌ។ វិធី B-bar ជំនួសសមាសភាគនៃម៉ាទ្រីស B ដែលរួមចំណែកដល់ការពង្រីកមាឌដោយតម្លៃវាយតម្លៃនៅកណ្ដាលធាតុដើម្បីបន្ធូរលក្ខខណ្ឌលើសកម្រិត [Hughes1980]។

កំណត់ម៉ាទ្រីស B ដែលគណនាពីដេរីវេតាមលំហរបស់អនុគមន៍រាងនៅកណ្ដាលធាតុ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ជា \(\bar{\boldsymbol{B}}\) និងម៉ាទ្រីស B ធម្មតាដែលគណនានៅចំណុចអាំងតេក្រាល \(\boldsymbol{r}\) ជា \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\)។ ក្នុងទំនាក់ទំនងការផ្លាស់ទី–ស្ត្រេនសម្រាប់ដឺក្រេនៃសេរីភាព \(i\) នៃថ្នាំង \(\alpha\) ចំពោះសមាសភាគស្ត្រេនមាឌ \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) បន្ថែម

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ហើយសម្រាប់សមាសភាគកាត់ \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) ប្រើ \(\boldsymbol{B}\) ធម្មតា។ ម៉ាទ្រីសភាពរឹងធាតុនិងវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងត្រូវបានផ្គុំដោយម៉ាទ្រីស B-bar ដែលទទួលបានដូចនេះ។

FrontISTR ផ្តល់រូបមន្តនេះសម្រាប់ធាតុហិចសាហេដ្រាល់ លីនេអ៊ែរ 8 ថ្នាំង (ធាតុ ID 361, ប្រព័ន្ធលេខធាតុ) តែប៉ុណ្ណោះហើយអាចអនុវត្តបានទាំងខូចទ្រង់ទ្រាយតូច Total Lagrange និង Updated Lagrange។

វិធី F-bar

ក្រោមខូចទ្រង់ទ្រាយកំណត់ការផ្លាស់ប្តូរមាឌមានឥទ្ធិពលមិនលីនេអ៊ែរតាមក្រាឌីយ៉ង់នៃការខូចទ្រង់ទ្រាយ \(\boldsymbol{F}\)។ ដូច្នេះវិធី F-bar [deSouzaNeto1996] ដោះស្រាយ ភាពរឹងលើសកម្រិតមាឌ ក្នុងកម្រិតក្រាឌីយ៉ង់នៃការខូចទ្រង់ទ្រាយតាមគំនិតដូចវិធី B-bar។

កំណត់សមាមាត្រមាឌនៃក្រាឌីយ៉ង់នៃការខូចទ្រង់ទ្រាយដែលវាយតម្លៃនៅកណ្ដាលធាតុ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ជា \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) និងសមាមាត្រមាឌនៅចំណុចអាំងតេក្រាលជាដូចជា \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) ហើយជំនួសក្រាឌីយ៉ង់នៃការខូចទ្រង់ទ្រាយនៅចំណុចអាំងតេក្រាលដោយ

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

។ ដូចនេះ \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) ហើយសមាមាត្រមាឌនៅទូទាំងធាតុត្រូវបានស្មើនឹងតម្លៃកណ្ដាលធាតុ។ ប្រើ \(\bar{\boldsymbol{F}}\) ក្រោយជំនួសសម្រាប់វាយតម្លៃស្ត្រេសនិងស្ថាបនាម៉ាទ្រីសស្ត្រេន–ការផ្លាស់ទីហើយក្នុងភាពរឹងធាតុផ្គុំម៉ាទ្រីសតង់សង់ដោយរួមបញ្ចូលអង្គបន្ថែមដែលកើតពីការជំនួសនេះ។

FrontISTR អនុវត្តវិធី F-bar សម្រាប់ធាតុហិចសាហេដ្រាល់ លីនេអ៊ែរ 8 ថ្នាំងតែប៉ុណ្ណោះហើយអាចប្រើសម្រាប់ខូចទ្រង់ទ្រាយតូចនិងធរណីមាត្រមិនលីនេអ៊ែរទាំង Total Lagrange / Updated Lagrange។

ធាតុមិនសមស្រប

ធាតុហិចសាហេដ្រាល់ លីនេអ៊ែរ 8 ថ្នាំងមិនមានដឺក្រេនៃសេរីភាពស្ត្រេនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ម៉ូដពត់ហើយបង្ហាញ ភាពរឹងលើសកម្រិតពេលពត់ ក្នុងបញ្ហាដែលគ្រប់គ្រងដោយការពត់។ ធាតុមិនសមស្រប [Taylor1976] បន្ថែមម៉ូដការផ្លាស់ទីខាងក្នុងធាតុដើម្បីបំពេញចន្លោះនេះ។

ក្រៅពីការផ្លាស់ទីថ្នាំងធាតុ \(\boldsymbol{u}^e\) ណែនាំដឺក្រេនៃសេរីភាពម៉ូដមិនសមស្រប \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ដែលមានតែនៅខាងក្នុងធាតុចំនួន 3 ទិស × 3 ម៉ូដក្នុងមួយធាតុហើយប្រហាក់ប្រហែលវាលការផ្លាស់ទីជា

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

។ សម្រាប់កូអរដោនេធម្មជាតិ \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) អនុគមន៍រាងមិនសមស្របត្រូវយកជា \(M_1 = 1 - \xi^2\)，\(M_2 = 1 - \eta^2\)，\(M_3 = 1 - \zeta^2\)។ វាមិនធានាភាពបន្តនៅព្រំដែនធាតុទេប៉ុន្តែបន្ថែមលំហដែលអាចតំណាងស្ត្រេននៃម៉ូដពត់នៅខាងក្នុងធាតុ។

ភាពរឹងធាតុត្រូវបានផ្គុំជាប្លុកបែងចែករវាងដឺក្រេនៃសេរីភាពខាងក្រៅនិងខាងក្នុង

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

បន្ទាប់មកធ្វើការកាត់បន្ថយស្ថាទិកដោយលុបដឺក្រេនៃសេរីភាពខាងក្នុងតាម \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) ហើយទទួលភាពរឹងធាតុដែលមានតែដឺក្រេនៃសេរីភាពខាងក្រៅ

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ដែលត្រូវផ្ញើទៅការផ្គុំសកល។

FrontISTR អនុវត្តធាតុមិនសមស្របសម្រាប់ធាតុហិចសាហេដ្រាល់ លីនេអ៊ែរ 8 ថ្នាំង (C3D8IC) តែប៉ុណ្ណោះហើយអាចប្រើបានសម្រាប់ខូចទ្រង់ទ្រាយតូច Total Lagrange និង Updated Lagrange។

ធាតុចម្រុះ U-P

ខណៈវិធី B-bar និង F-bar កែសម្រួលសមាសភាគមាឌក្នុងក្របខណ្ឌផ្អែកលើការផ្លាស់ទីធាតុចម្រុះ u-p (U-P) គឺជារូបមន្តចម្រុះ [Bathe1996] ដែលណែនាំសម្ពាធ \(\lambda\) ជាវាលមិនស្គាល់ឯករាជ្យពីការផ្លាស់ទី។ សម្រាប់សម្ភារៈជិតមិនអាចបង្ហាប់បាន (ឧ. សម្ភារៈកៅស៊ូដែលសមាមាត្រ Poisson ជិត 0.5 យ៉ាងខ្លាំងឬលោហៈបន្ទាប់ពីខូចទ្រង់ទ្រាយប្លាស្ទិច) ការបំពេញលក្ខខណ្ឌមាឌថេរដោយវាលការផ្លាស់ទីតែមួយនឹងបង្ក ភាពរឹងលើសកម្រិតមាឌ ប៉ុន្តែការយកសម្ពាធជាអថេរឯករាជ្យអាចបន្ធូរលក្ខខណ្ឌនេះ។

បំបែកស្ត្រេសជាសមាសភាគឌីវីអាទ័រ និងសម្ពាធហើយសរសេរ

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

។ នៅទីនេះ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) គឺម៉ាទ្រីសអេឡាស្ទិចឌីវីអាទ័រ ដែលបានដកផ្នែកមាឌសមាមាត្រនឹង ម៉ូឌុលបរិមាណ \(K\) ចេញពីម៉ាទ្រីសអេឡាស្ទិច។ សម្ពាធ \(\lambda\) និងស្ត្រេនមាឌ \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយលក្ខខណ្ឌទប់តាម ភាពអាចបង្ហាប់បាន \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

។ ពីឌីស្ក្រីតកម្មដែលយកការផ្លាស់ទី \(\boldsymbol{u}\) និងសម្ពាធ \(\lambda\) ជាអថេរមិនស្គាល់ទទួលបានប្រព័ន្ធរួមរបស់ធាតុ

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

។ នៅទីនេះ \(\mathbf{K}_{uu}\) មានសមាសភាគអេឡាស្ទិចឌីវីអាទ័រ និង (ក្នុងខូចទ្រង់ទ្រាយកំណត់) ភាពរឹងធរណីមាត្រ, \(\mathbf{K}_{up}\) ជាម៉ាទ្រីសភ្ជាប់ស្ត្រេនមាឌនិងសម្ពាធនិង \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ជាអង្គស្ថេរភាពសម្ពាធ (\(\boldsymbol{N}_p\) គឺអនុគមន៍រាងសម្ពាធ)។ ដោយសារដឺក្រេនៃសេរីភាពសម្ពាធបិទនៅក្នុងធាតុ

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ធ្វើការកាត់បន្ថយស្ថាទិកទៅទម្រង់នេះហើយផ្ញើភាពរឹងមានប្រសិទ្ធភាពដែលមានតែដឺក្រេនៃសេរីភាពខាងក្រៅ (ការផ្លាស់ទី) ទៅការផ្គុំសកល។

FrontISTR អនុវត្តធាតុ U-P សម្រាប់ធាតុហិចសាហេដ្រាល់ លីនេអ៊ែរ 8 ថ្នាំងតែប៉ុណ្ណោះហើយប្រើដឺក្រេនៃសេរីភាពសម្ពាធ 1 ក្នុងមួយធាតុ (ថេរនៅក្នុងធាតុ)។ អាចអនុវត្តបានសម្រាប់ខូចទ្រង់ទ្រាយតូច Total Lagrange និង Updated Lagrange។ ក្នុង Updated Lagrange បន្ទាប់ពីធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពស្ត្រេសឌីវីអាទ័រ ដោយ អត្រាប្រែប្រួលស្ត្រេសដែលមិនអាស្រ័យលើស៊ុមយោង (ប្រភេទ Jaumann/Hughes-Winget) សម្ពាធ \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) ត្រូវបានដាក់ពីតម្លៃដែលទទួលដោយការកាត់បន្ថយស្ថាទិក។

ធាតុសំបក

សម្រាប់រចនាសម្ព័ន្ធបន្ទះ/សែលស្តើងប្រើធាតុសំបកផ្អែកលើទ្រឹស្តីបន្ទះ Reissner-Mindlin។ ធាតុបន្ទះសែលផ្អែកលើការផ្លាស់ទីលំដាប់ទាបអាចវាយតម្លៃស្ត្រេនកាត់ឆ្លងកម្រាស់ខ្ពស់ពេកតាមយន្តការស្រដៀង ភាពរឹងលើសកម្រិតមាឌ (ភាពរឹងលើសកម្រិតកាត់) ពេលកម្រាស់ស្តើងហើយភាពរឹងចំពោះម៉ូដពត់កើនឡើងខ្លាំង។ វិធី MITC (ចម្រុះ អន្តរប៉ូលនៃសមាសភាគតង់ស័រ) [Dvorkin1984] [Bathe1986] ជៀសវាងបញ្ហានេះដោយយកសំណាកឡើងវិញតែសមាសភាគស្ត្រេនកាត់នៅ ចំណុចចង ដែលបានកំណត់ក្នុងធាតុហើយអន្តរប៉ូលតម្លៃសំណាកត្រឡប់ទៅក្នុងធាតុ។

ថ្នាំងរបស់ធាតុ MITC សំបកគឺថ្នាំងផ្ទៃកណ្ដាលលើផ្ទៃកោងហើយថ្នាំងនីមួយៗមាន 6 ដឺក្រេនៃសេរីភាព៖ ការផ្លាស់ទី 3 សមាសភាគនិងការបង្វិល 3 សមាសភាគជុំវិញទិសកែង នៃផ្ទៃកណ្ដាល។ ភាពរឹងធាតុត្រូវបានវាយតម្លៃដោយ Gauss អាំងតេក្រាល 3D ដែលរួមកូអរដោនេធម្មជាតិនៃផ្ទៃកណ្ដាលនិងទិសកម្រាស់ហើយកម្រាស់បន្ទះ \(h\) ត្រូវបានផ្តល់ជាគុណលក្ខណៈធាតុពេលគណនាច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈ។

FrontISTR ផ្តល់ MITC3 (ធាតុ ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743) ដែលប្រើផ្ទៃកណ្ដាល 1 ស្រទាប់និងធាតុសំបកស្រទាប់ MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 ថ្នាំង, 3 ដឺក្រេនៃសេរីភាពក្នុងមួយថ្នាំង) និង MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 ថ្នាំង, 3 ដឺក្រេនៃសេរីភាពក្នុងមួយថ្នាំង) ដែលដាក់ថ្នាំង 2 ស្រទាប់តាមទិសកម្រាស់។ ក្នុងធាតុសំបកស្រទាប់ថ្នាំងមានតែការផ្លាស់ទី 3 សមាសភាគហើយម៉ូដពត់ដែលស្មើនឹងដឺក្រេនៃសេរីភាពបង្វិលត្រូវបានតំណាងដោយការដាក់ 2 ស្រទាប់។

ធាតុធ្នឹម

សមាសភាគបន្ទាត់ដូចជា ធ្នឹមធំ និងស៊ុម ត្រូវបានឌីស្ក្រីតដោយធាតុធ្នឹម។ FrontISTR ប្រើរូបមន្តធ្នឹម Timoshenko ដែលគិតបញ្ចូលខូចទ្រង់ទ្រាយកាត់ហើយសរសេរការពត់និងការកាត់ជាអនុគមន៍នៃដឺក្រេនៃសេរីភាពការផ្លាស់ទីនិងការបង្វិល។

ថ្នាំងធាតុធ្នឹមមាន 6 ដឺក្រេនៃសេរីភាព៖ ការផ្លាស់ទី 3 សមាសភាគនិងការបង្វិល 3 សមាសភាគជុំវិញអ័ក្សនិងអ័ក្សឆ្លង។ ភាពរឹងធាតុត្រូវបានវាយតម្លៃដោយអាំងតេក្រាលលេខ 1D តាមអ័ក្សធ្នឹម។ ផ្ទៃកាត់ \(A\) និង ម៉ូម៉ង់ទីពីរនៃផ្ទៃកាត់ \(I\) ក្នុងទិសពត់/បង្វិលត្រូវបានផ្តល់ជាថេរផ្ទៃកាត់ក្នុងគុណលក្ខណៈធាតុហើយរួមជាមួយម៉ូឌុល Young \(E\) និងម៉ូឌុលកាត់ \(G\) របស់សម្ភារៈដើម្បីបង្កើតមេគុណភាពរឹងសម្រាប់ការលាតការពត់ការបង្វិលនិងការកាត់។

FrontISTR ផ្តល់ធាតុធ្នឹមត្រង់ 2 ថ្នាំង (ធាតុ ID 611) និងធាតុចម្រុះ តេត្រាហេដ្រាល់សូលីដ–ធ្នឹម 4 ថ្នាំងដែលតំណាងដោយ 3 ថ្នាំង (641, សម្រាប់លាយដឺក្រេនៃសេរីភាព)។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ