ចលនា ការប្រែទ្រង់ទ្រាយ និងស្ត្រេន¶

ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង និងបច្ចុប្បន្ន¶

និយមន័យនៃការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ¶

ដើម្បីបែងចែកថា "រាងនៅពេលណា" ត្រូវបានប្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ពិពណ៌នាបរិមាណរូបវិទ្យា សៀវភៅណែនាំនេះប្រើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធពីរប្រភេទ។

ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង (reference configuration)៖ រាងមិនទាន់ប្រែទ្រង់ទ្រាយនៅពេលចាប់ផ្តើមការវិភាគ (ពេល \(0\); ក៏ហៅថា ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូង)។ ចំណុចក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងត្រូវបានបង្ហាញដោយ កូអរដោនេសម្ភារៈ \(\boldsymbol{X}\) ហើយមាឌជា \(V\) និងផ្ទៃជា \(S\)។
ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន (current configuration)៖ រាងក្រោយប្រែទ្រង់ទ្រាយនៅពេល \(t\)។ ចំណុចក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្នត្រូវបានបង្ហាញដោយ កូអរដោនេលំហ \(\boldsymbol{x}\) ហើយមាឌជា \(v\) និងផ្ទៃជា \(s\)។

ចលនាត្រូវបានបង្ហាញជាការផ្គូផ្គងរវាងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធទាំងពីរ \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) ហើយការផ្លាស់ទីត្រូវបានកំណត់ជា \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)។

ក្បួនសញ្ញាអាស្រ័យលើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ (អក្សរធំ/តូច)¶

ទំហំអក្សរនៃនិមិត្តសញ្ញាត្រូវបានប្រើដើម្បីបែងចែកថាបរិមាណរូបវិទ្យាស្ថិតក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធណា។

បរិមាណដែលស្ថិតក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ត្រូវសរសេរជា អក្សរធំ (ឧ. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))។
បរិមាណដែលស្ថិតក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ត្រូវសរសេរជា អក្សរតូច (ឧ. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))។
បរិមាណដែលឆ្លងកាត់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធទាំងពីរ ដូចជាស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 1 \(\boldsymbol{P}\) ប្រើសញ្ញាសរសេរតាមទម្លាប់ ហើយត្រូវបានបញ្ជាក់ក្នុងអត្ថបទតាមតម្រូវការ។
ក្នុងទ្រឹស្តីប្រែទ្រង់ទ្រាយតូច ភាពខុសគ្នារវាងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធទាំងពីរបាត់ទៅ ដូច្នេះប្រើតែសញ្ញាអក្សរតូច (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\))។

ក្រាដ្យង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង និងបច្ចុប្បន្ន¶

សញ្ញាសរសេរ និងអត្ថន័យខុសគ្នា អាស្រ័យលើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដែលយកដេរីវេតាមលំហ។

ក្រាដ្យង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)៖ ក្រាដ្យង់តាមកូអរដោនេសម្ភារៈ។ ឧទាហរណ៍៖ \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)។
ក្រាដ្យង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)៖ ក្រាដ្យង់តាមកូអរដោនេលំហ។ ឧទាហរណ៍៖ \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)។

ទាំងពីរមានទំនាក់ទំនងដោយ \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\)។ សម្រាប់ក្បួនដេរីវេតាមពេលវេលា (ដេរីវេពេលវេលាសម្ភារៈ \(\dot{(\cdot)}\)) សូមមើល សញ្ញាសរសេរតង់ស័រ និងមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យា។

ការពិពណ៌នាចលនា¶

ការផ្គូផ្គងចលនា និងការពិពណ៌នាសម្ភារៈ/លំហ¶

បើចាត់ទុកមជ្ឈដ្ឋានបន្តជាសំណុំចំណុចសម្ភារៈដែលដាក់ស្លាកដោយទីតាំង \(\boldsymbol{X}\) នៅពេល \(0\) នោះចលនាត្រូវបានបង្ហាញដោយការផ្គូផ្គង \(\phi\) ដែលផ្គូផ្គងចំណុចសម្ភារៈ \(\boldsymbol{X}\) ទៅទីតាំងរបស់វា \(\boldsymbol{x}\) នៅពេល \(t\)៖

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

ក្រោមក្បួនដែលយកការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងជាការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូង មាន \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\)។

មានការពិពណ៌នាពីរប្រភេទ តាមការជ្រើសរើសអថេរឯករាជ្យ។

ការពិពណ៌នាសម្ភារៈ (ការពិពណ៌នា Lagrange)៖ បង្ហាញបរិមាណរូបវិទ្យាជាអនុគមន៍នៃ \((\boldsymbol{X}, t)\)។ ក្នុងមេកានិចរឹង វាជាជម្រើសធម្មជាតិ ព្រោះការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងត្រូវបានផ្តល់ជារាងថេរ។
ការពិពណ៌នាលំហ (ការពិពណ៌នា Euler)៖ បង្ហាញបរិមាណរូបវិទ្យាជាអនុគមន៍នៃ \((\boldsymbol{x}, t)\)។ វាត្រូវបានប្រើជាស្តង់ដារក្នុងមេកានិចសារធាតុរាវ។

ការវិភាគរចនាសម្ព័ន្ធរបស់ FrontISTR ជាមូលដ្ឋានផ្អែកលើការពិពណ៌នាសម្ភារៈ ប៉ុន្តែក្នុងវិធី Updated Lagrange ក៏ប្រើបរិមាណក្នុងការពិពណ៌នាលំហផងដែរ ព្រោះការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្នត្រូវបានប្រើជាការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងថ្មី។

ការផ្លាស់ទី ល្បឿន និងសំទុះ¶

ដូចបានបញ្ជាក់ក្នុងផ្នែកមុន ការផ្លាស់ទី \(\boldsymbol{u}\) ត្រូវបានកំណត់ដោយ \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)។ មិនមានការសន្មតអំពីទំហំរបស់វាទេ ដូច្នេះរួមទាំងការប្រែទ្រង់ទ្រាយកំណត់។ វ៉ិចទ័រល្បឿន និងសំទុះត្រូវបានកំណត់ជាដេរីវេពេលវេលាសម្ភារៈនៃ \(\boldsymbol{u}\) ដោយរក្សាចំណុចសម្ភារៈថេរ៖

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

សមីការទាំងនេះកំណត់ល្បឿន និងសំទុះ។

ក្រាដ្យង់ការប្រែទ្រង់ទ្រាយ និងតង់ស័រការប្រែទ្រង់ទ្រាយ¶

តង់ស័រក្រាដ្យង់ការប្រែទ្រង់ទ្រាយ¶

បរិមាណមូលដ្ឋានក្នុងមេកានិចមជ្ឈដ្ឋានបន្តសម្រាប់ការប្រែទ្រង់ទ្រាយកំណត់ គឺ តង់ស័រក្រាដ្យង់ការប្រែទ្រង់ទ្រាយ \(\boldsymbol{F}\)។ វាជាការផ្គូផ្គងលីនេអ៊ែរ ដែលផ្គូផ្គងខ្សែតូច \(d\boldsymbol{X}\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងទៅខ្សែតូច \(d\boldsymbol{x}\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ហើយត្រូវបានកំណត់ជាក្រាដ្យង់នៃការផ្គូផ្គងចលនាតាមកូអរដោនេសម្ភារៈ៖

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

តាមនិយមន័យនេះ (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) នៅស្ថានភាពមិនប្រែទ្រង់ទ្រាយ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\)។ \(\boldsymbol{F}\) ត្រូវបានប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយសម្រាប់កំណត់ស្ត្រេន និងស្ត្រេស និងបម្លែងបរិមាណរូបវិទ្យារវាងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ។

អនុបាតបម្រែបម្រួលមាឌ¶

អនុបាតរវាងមាឌតូច \(dV\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង និងមាឌតូច \(dv\) ដែលត្រូវគ្នាក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ហៅថា អនុបាតបម្រែបម្រួលមាឌ \(J\)៖

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

ភាពអាចបញ្ច្រាសបានរបស់មជ្ឈដ្ឋានបន្តតម្រូវឱ្យ \(J > 0\)។ ច្បាប់រក្សាម៉ាសត្រូវបានបង្ហាញជា \(\rho_0 = J\rho\)។

តង់ស័រការប្រែទ្រង់ទ្រាយ Cauchy-Green ខាងស្ដាំ និងខាងឆ្វេង¶

ដោយសារក្រាដ្យង់ការប្រែទ្រង់ទ្រាយ \(\boldsymbol{F}\) រួមមានការបង្វិលរាងកាយរឹង រង្វាស់នៃការប្រែទ្រង់ទ្រាយខ្លួនវា ប្រើបរិមាណដែលបានដកការបង្វិលរាងកាយរឹងចេញ។ តង់ស័រការប្រែទ្រង់ទ្រាយ Cauchy-Green ខាងស្ដាំ \(\boldsymbol{C}\) (ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង) និង តង់ស័រការប្រែទ្រង់ទ្រាយ Cauchy-Green ខាងឆ្វេង \(\boldsymbol{b}\) (ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន) ត្រូវបានកំណត់ជា

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

ទាំងពីរជាតង់ស័រស៊ីមេទ្រី និងមានតម្លៃឯកលក្ខណៈដូចគ្នា (ការេនៃអនុបាតលាតសន្ធឹងមេ)។ អាំងវ៉ារ្យង់មេនៃអនុគមន៍ថាមពលស្ត្រេនហាយពើអេឡាស្ទិច ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើតង់ស័រទាំងនេះ។

តង់ស័រស្ត្រេន¶

តង់ស័រស្ត្រេន Green-Lagrange¶

ជារង្វាស់ស្ត្រេនយោងទៅការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង តង់ស័រស្ត្រេន Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) ត្រូវបានកំណត់ដោយ

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

វាជាតង់ស័រស៊ីមេទ្រីដែលតំណាងការផ្លាស់ប្តូរផលគុណខាងក្នុងនៃវ៉ិចទ័រតូចក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង មិនប្រែប្រួលចំពោះការបង្វិលរាងកាយរឹង និងមាន \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) នៅស្ថានភាពមិនប្រែទ្រង់ទ្រាយ។ ដោយប្រើ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ទទួលបាន

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

វាបង្ហាញស្ត្រេនជាផលបូកនៃពាក្យលំដាប់ទីមួយ និងទីពីរនៃក្រាដ្យង់ការផ្លាស់ទី; ពាក្យលំដាប់ទីពីរតំណាងភាពមិនលីនេអ៊ែរធរណីមាត្រ។ ក្នុងវិធី Total Lagrange វាត្រូវបានប្រើជាគូកម្មថាមពល \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\)។

តង់ស័រស្ត្រេន Almansi¶

ជារង្វាស់ស្ត្រេនយោងទៅការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន តង់ស័រស្ត្រេន Almansi \(\boldsymbol{e}\) ត្រូវបានកំណត់ដោយ

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

វាមានទំនាក់ទំនងជាមួយស្ត្រេន Green-Lagrange ដោយ \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back)។

តង់ស័រស្ត្រេនតូច¶

នៅពេលក្រាដ្យង់ការផ្លាស់ទីតូច (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)) ពាក្យលំដាប់ទីពីរនៃស្ត្រេន Green-Lagrange អាចមិនអើពើបាន។ ដោយសារភាពខុសគ្នារវាងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធទាំងពីរបាត់ទៅ វាកាត់បន្ថយទៅជា តង់ស័រស្ត្រេនតូច \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ដែលក្រាដ្យង់ត្រូវបានសរសេរតាមកូអរដោនេលំហ៖

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR ប្រើរង្វាស់ស្ត្រេននេះសម្រាប់ការវិភាគស្ថាទិកលីនេអ៊ែរ ការវិភាគម៉ូដ ការវិភាគឆ្លើយតបប្រេកង់ និងការវិភាគឌីណាមិចលីនេអ៊ែរ។ ការវិភាគប្រែទ្រង់ទ្រាយកំណត់ប្រើ \(\boldsymbol{E}\) ក្នុងវិធី Total Lagrange និងតង់ស័រអត្រាប្រែទ្រង់ទ្រាយ \(\boldsymbol{D}\) យោងទៅការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ក្នុងវិធី Updated Lagrange។