Skip to content

ស្ត្រេស និងច្បាប់អភិរក្ស

ជំពូកនេះរៀបចំនិយមន័យ និងទំនាក់ទំនងរវាងតង់ស័រស្ត្រេស ព្រមទាំងសមីការសមតុល្យ និងស៊ីមេទ្រីនៃស្ត្រេស ដែលដកស្រង់ពីច្បាប់អភិរក្សម៉ាស ម៉ូម៉ង់តុំ និងម៉ូម៉ង់តុំមុំ។ តង់ស័រស្ត្រេស 3 ប្រភេទ (ស្ត្រេស Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), ស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 1 \(\boldsymbol{P}\) និងស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 2 \(\boldsymbol{S}\)) ត្រូវបានណែនាំដោយភាពខុសគ្នានៃការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដែលប្រើសម្រាប់ផ្ទៃយោង និងវ៉ិចទ័រកម្លាំង។ សម្រាប់និយមន័យនៃការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ ចលនា និងជម្រាលការខូចទ្រង់ទ្រាយ សូមមើល ចលនា ការខូចទ្រង់ទ្រាយ និងស្ត្រេន ហើយសម្រាប់បញ្ជីសញ្ញាសូមមើល បញ្ជីសញ្ញានៃបរិមាណរូបវិទ្យា។

តង់ស័រស្ត្រេស Cauchy

ឱ្យ \(d\boldsymbol{f}\) ជាកម្លាំងដែលអនុវត្តលើផ្ទៃអតិសុខុមមួយនៅចំណុច \(\boldsymbol{x}\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន (ផ្ទៃ \(d\Gamma\), វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាខាងក្រៅ \(\boldsymbol{n}\)) ហើយកំណត់ វ៉ិចទ័រស្ត្រេស \(\boldsymbol{t}\) ជាកម្លាំងក្នុងមួយឯកតាផ្ទៃដោយ \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\)។ \(\boldsymbol{t}\) ពឹងផ្អែកទាំងលើទីតាំង \(\boldsymbol{x}\) និងណរម៉ាល់ \(\boldsymbol{n}\)។ ពីការអនុវត្តច្បាប់អភិរក្សម៉ូម៉ង់តុំទៅលើ តេត្រាហេដ្រុងអតិសុខុម \(\boldsymbol{t}\) មានលីនេអ៊ែរតាម \(\boldsymbol{n}\) ហើយមានតង់ស័រលំដាប់ទី 2 \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ដូចជា

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ \(\boldsymbol{n}\) ណាមួយ (ទ្រឹស្តីបទស្ត្រេស Cauchy)។ តង់ស័រ \(\boldsymbol{\sigma}\) នេះហៅថា តង់ស័រស្ត្រេស Cauchy ហើយក៏ហៅថា ស្ត្រេសពិត ក្នុងន័យជាកម្លាំងក្នុងមួយឯកតាផ្ទៃដោយយោងទៅធរណីមាត្រនៃការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន។ សមាសធាតុ \(\sigma_{ij}\) តំណាងឱ្យសមាសធាតុតាម \(x_i\) នៃកម្លាំងក្នុងមួយឯកតាផ្ទៃលើផ្ទៃអតិសុខុមដែលកែងនឹងអ័ក្ស \(x_j\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន។

ដោយច្បាប់អភិរក្សម៉ូម៉ង់តុំមុំដែលពិភាក្សាខាងក្រោម ស្ត្រេស Cauchy ជាតង់ស័រស៊ីមេទ្រី

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ហើយក្នុង 3D វាមានសមាសធាតុឯករាជ្យ 6 (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\))។ ការធ្វើស្ត្រេសជាវ៉ិចទ័រដោយសញ្ញាសម្គាល់ Voigt ផ្អែកលើស៊ីមេទ្រីនេះ (សូមមើល សញ្ញាសម្គាល់តង់ស័រ និងមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យា)។ ស្ត្រេស Cauchy ត្រូវបានប្រើសម្រាប់លទ្ធផលស្ត្រេសក្នុងការវិភាគមិនលីនេអ៊ែរធរណីមាត្រ ដោយវិធី Updated Lagrange និងការវិភាគការខូចទ្រង់ទ្រាយតូចរបស់ FrontISTR។

ស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 1 និងទី 2

ក្នុងការខូចទ្រង់ទ្រាយមានកំណត់ ជាច្រើនករណី ការបង្ហាញស្ត្រេស ដោយយោងទៅផ្ទៃ និងវ៉ិចទ័រនៃការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងមានភាពងាយស្រួល ដូច្នេះយើងណែនាំ តង់ស័រស្ត្រេស Piola-Kirchhoff 2 ប្រភេទ។ ឱ្យផ្ទៃអតិសុខុមក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងជា \(d\Gamma_0\) និងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាខាងក្រៅជា \(\boldsymbol{N}\)។

ស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 1 (ស្ត្រេស PK ទី 1, ស្ត្រេសនាមករណ៍) \(\boldsymbol{P}\) ត្រូវបានកំណត់ជាតង់ស័រស្ត្រេសនៅពេលកម្លាំង \(d\boldsymbol{f}\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្នត្រូវបានអនុវត្តលើផ្ទៃអតិសុខុមក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង៖

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ត្រូវបានកំណត់ដូចនេះ។ ពីរូបមន្ត Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) និងទ្រឹស្តីបទស្ត្រេស Cauchy ទទួលបានទំនាក់ទំនងជាមួយស្ត្រេស Cauchy៖

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

ស្ត្រេស PK ទី 1 ជាទូទៅជាតង់ស័រមិនស៊ីមេទ្រី។

ស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 2 (ស្ត្រេស PK ទី 2) \(\boldsymbol{S}\) ត្រូវបានកំណត់ជាតង់ស័រស្ត្រេសនៅពេលកម្លាំង \(d\boldsymbol{f}\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្នត្រូវបានទាញត្រឡប់ទៅការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងដោយ \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ហើយអនុវត្តលើផ្ទៃអតិសុខុមក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង៖

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ត្រូវបានកំណត់ដូចនេះ។ ទាំងវ៉ិចទ័រកម្លាំង និងផ្ទៃសកម្មត្រូវបានបង្ហាញដោយបរិមាណក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ដូច្នេះវាមិនប្រែប្រួលក្រោមការបង្វិលរាងកាយរឹង និងជាតង់ស័រស៊ីមេទ្រី។ ទំនាក់ទំនងជាមួយស្ត្រេស PK ទី 1 និងរូបមន្តបម្លែងជាមួយស្ត្រេស Cauchy គឺ

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

ដូចនេះ។ ស្ត្រេស PK ទី 2 អាចដកស្រង់ពីអនុគមន៍ថាមពលស្ត្រេនហៃពើអេលាស្ទិក \(W(\boldsymbol{C})\) ជា \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) ហើយក្នុងវិធី Total Lagrange វាត្រូវបានប្រើជាគូស្ត្រេស–ស្ត្រេនដែលឆ្លើយគ្នាផ្នែកការងារ \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ជាមួយ Green-Lagrange ស្ត្រេន \(\boldsymbol{E}\)។

ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង និងស៊ីមេទ្រីត្រូវបានសង្ខេបក្នុងតារាងខាងក្រោម។ នៅកម្រិតការខូចទ្រង់ទ្រាយតូច (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) ស្ត្រេសទាំង 3 ប្រភេទស្របគ្នា។

តង់ស័រស្ត្រេស ផ្ទៃយោង វ៉ិចទ័រកម្លាំង ស៊ីមេទ្រី ការប្រើប្រាស់
ស្ត្រេស Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(d\boldsymbol{f}\) ស៊ីមេទ្រី វិធី Updated Lagrange និងការវិភាគការខូចទ្រង់ទ្រាយតូច
ស្ត្រេស PK ទី 1 \(\boldsymbol{P}\) ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(d\boldsymbol{f}\) ជាទូទៅមិនស៊ីមេទ្រី សមីការសមតុល្យក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង
ស្ត្រេស PK ទី 2 \(\boldsymbol{S}\) ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) ស៊ីមេទ្រី វិធី Total Lagrange និងភាពហៃពើអេលាស្ទិក

ច្បាប់អភិរក្សម៉ាស និងម៉ូម៉ង់តុំ និងសមីការសមតុល្យ

បើដង់ស៊ីតេម៉ាសក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្នជា \(\rho\) និងក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោងជា \(\rho_0\) ច្បាប់អភិរក្សម៉ាស \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) កាត់បន្ថយដោយការបម្លែងធាតុមាឌ \(dv = J\, dV\) ទៅជាទម្រង់មូលដ្ឋាន

\[ \rho_0 = J \rho \]

។

ឱ្យកម្លាំងមាឌក្នុងមួយឯកតាម៉ាសជា \(\boldsymbol{g}\) និងសំទុះជា \(\boldsymbol{a}\)។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស្ត្រេស Cauchy និងទ្រឹស្តីបទការបែកចេញរបស់ Gauss ទៅច្បាប់អភិរក្សម៉ូម៉ង់តុំ (ច្បាប់ចលនាទី 1 របស់ Euler) ទទួលបាន សមីការសមតុល្យ (សមីការចលនា) ក្នុងទម្រង់មូលដ្ឋានសម្រាប់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន៖

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

ទទួលបាន។ ប្រើរូបមន្ត Nanson និង \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) ដើម្បីសរសេរជាអាំងតេក្រាលលើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ទទួលបានទម្រង់មូលដ្ឋានក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង៖

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

ទទួលបាន។ ទម្រង់ទាំងពីរសមមូលដោយច្បាប់បម្លែងស្ត្រេស និង \(\rho_0 = J\rho\)។ នៅពេលមិនគិតពាក្យអ៊ីនើស្យា

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

គឺជាសមីការសមតុល្យស្ថិតិ និងជាសមីការចាប់ផ្តើមសម្រាប់ការវិភាគស្ថាទិក (លីនេអ៊ែរ និងមិនលីនេអ៊ែរ) របស់ FrontISTR។

ច្បាប់អភិរក្សម៉ូម៉ង់តុំមុំ និងស៊ីមេទ្រីនៃស្ត្រេស

បញ្ចូលច្បាប់អភិរក្សម៉ូម៉ង់តុំមុំ (ច្បាប់ចលនាទី 2 របស់ Euler) ជាមួយសមីការសមតុល្យពីច្បាប់អភិរក្សម៉ូម៉ង់តុំ នាំឱ្យបាន ស៊ីមេទ្រីនៃតង់ស័រស្ត្រេស Cauchy

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ដែលនាំឱ្យមានសមាសធាតុឯករាជ្យ 6 ក្នុង 3D។ ពីការបម្លែងទាំងសងខាងនៃ \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) និងភាពអាចបញ្ច្រាសបានរបស់ \(\boldsymbol{F}\) ស្ត្រេស PK ទី 2 ក៏ស៊ីមេទ្រី

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ហើយមានសមាសធាតុឯករាជ្យ 6។ ផ្ទុយទៅវិញ ស្ត្រេស PK ទី 1 \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ជាទូទៅមិនស៊ីមេទ្រីទេ; មានតែទំនាក់ទំនង \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (នោះគឺ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) ស៊ីមេទ្រី) ហើយមានសមាសធាតុឯករាជ្យ 9។

ស៊ីមេទ្រីទាំងនេះជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការធ្វើស្ត្រេសជាវ៉ិចទ័រ 6 សមាសធាតុក្នុងសញ្ញាសម្គាល់ Voigt។ សម្រាប់អនុសញ្ញា Voigt និងការបង្កើតម៉ាទ្រីសសម្ភារៈ សូមមើល សញ្ញាសម្គាល់តង់ស័រ និងមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យា និង អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ