Skip to content

គោលការណ៍ការងារនិម្មិត

ដោយផ្អែកលើសមីការសមតុល្យ និងលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដែលបានដកស្រង់ក្នុង ស្ត្រេស និងច្បាប់អភិរក្ស យើងដកស្រង់ គោលការណ៍ការងារនិម្មិត ដែលជាទម្រង់ខ្សោយនៃបញ្ហាតម្លៃព្រំដែនក្នុងមេកានិចមេឌៀបន្ត។ ការឌីស្ក្រីតដោយវិធីធាតុកំណត់ចាប់ផ្តើមពីទម្រង់ខ្សោយនេះ។ ជំពូកនេះបង្ហាញទាំងទម្រង់ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន (ស្ត្រេស Cauchy និងផ្នែកលីនេអ៊ែរនៃ Almansi ស្ត្រេន) និងទម្រង់ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង (2nd Piola-Kirchhoff ស្ត្រេស និង Green-Lagrange ស្ត្រេន) បន្ទាប់មកបង្ហាញភាពសមមូល និងការកាត់បន្ថយទៅករណីការខូចទ្រង់ទ្រាយតូច។

សមីការសមតុល្យ និងលក្ខខណ្ឌព្រំដែន

ពិចារណាវត្ថុដែលកាន់កាប់ដែន \(\Omega\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ហើយឱ្យកម្លាំងមាឌក្នុងមួយឯកតាម៉ាសជា \(\boldsymbol{g}\)។ ព្រំដែន \(\Gamma\) ត្រូវបានបែងចែកជា ព្រំដែនធរណីមាត្រ \(\Gamma_B\) ដែលបម្លាស់ទីត្រូវបានកំណត់ជា \(\bar{\boldsymbol{u}}\) និងព្រំដែនមេកានិច \(\Gamma_t\) ដែលកម្លាំងផ្ទៃត្រូវបានកំណត់ជា \(\bar{\boldsymbol{t}}\) ដោយ \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) និង \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\)។ សម្រាប់បញ្ហាស្ថិតិ យើងដកពាក្យអ៊ីនើស្យាចេញពីច្បាប់អភិរក្សម៉ូម៉ង់តុំដែលបានបង្ហាញក្នុង ស្ត្រេស និងច្បាប់អភិរក្ស ហើយទទួលបាន

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

ជាសមីការសមតុល្យ។ លក្ខខណ្ឌព្រំដែនគឺ

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ដូចបានផ្តល់ខាងលើ។ ចាប់ពីនេះ គោលការណ៍ការងារនិម្មិតត្រូវបានដកស្រង់ជាទម្រង់ខ្សោយនៃសមីការសមតុល្យ និងលក្ខខណ្ឌព្រំដែនមេកានិច \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\)។ លក្ខខណ្ឌព្រំដែនធរណីមាត្រ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ត្រូវបានបញ្ចូលតាមការជ្រើសអនុគមន៍សាកល្បង។

ទម្រង់ខ្សោយក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន

ក្នុងទម្រង់ខ្សោយ ចន្លោះដែលអនុញ្ញាតសម្រាប់ បម្លាស់ទី មិនស្គាល់ និងចន្លោះអនុគមន៍សាកល្បងត្រូវបានកំណត់រៀងគ្នាជា

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

នៅទីនេះ \(d\) ជាវិមាត្រលំហ, \(H^1(\Omega)\) ជាលំហ Sobolev ដែលអាំងតេក្រាបានការេទៅដល់ដេរីវេខ្សោយលំដាប់ទី 1 ហើយ \(\delta\) ជាសញ្ញាបម្រែបម្រួល។ ក្នុងទម្រង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(\Omega\) គឺជាការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធក្រោយខូចទ្រង់ទ្រាយ; ក្នុងការគណនាជាក់ស្តែង វាត្រូវបានទាញត្រឡប់ទៅការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ឬការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធមធ្យមដែលស្គាល់។

គុណសមីការសមតុល្យដោយទម្ងន់ \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ហើយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទការបែកចេញរបស់ Gauss និងលក្ខខណ្ឌព្រំដែនមេកានិច។ គោលការណ៍ការងារនិម្មិតក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្នទទួលបាន៖

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

នៅទីនេះ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) គឺជា ផ្នែកលីនេអ៊ែរនៃតង់ស័រ Almansi ស្ត្រេន ហើយ

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ត្រូវបានកំណត់ដូចនេះ។ បម្រែបម្រួលរបស់វាគឺ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\)។ នោះគឺ យើងស្វែងរក \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ដែលបំពេញសមីការការងារនិម្មិតសម្រាប់គ្រប់ \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)។ ផ្នែកខាងឆ្វេងគឺការងារនិម្មិតនៃកម្លាំងខាងក្នុង ហើយផ្នែកខាងស្តាំគឺការងារនិម្មិតនៃកម្លាំងខាងក្រៅដោយកម្លាំងផ្ទៃដែលបានកំណត់ និងកម្លាំងមាឌ។

ដោយសារសមីការនេះសរសេរលើដែនក្រោយខូចទ្រង់ទ្រាយ (ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន) ក្នុងវិធីដោះស្រាយជាក់ស្តែង ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូង \(\Omega_0\) (ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង) ឬការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធមធ្យមដែលស្គាល់ ត្រូវបានជ្រើសជាយោង ហើយសមីការត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាទម្រង់បន្ថែម។ សម្រាប់ជម្រើសជាក់លាក់នៃការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង (Total Lagrange / Updated Lagrange) និងការបំបែកបន្ថែម សូមមើល ក្របខណ្ឌវិភាគបន្ថែម។

ទម្រង់ខ្សោយក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូង

ពិចារណាវត្ថុដែលកាន់កាប់ដែន \(\Omega_0\) ក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ហើយបែងចែកព្រំដែន \(\Gamma_0\) ជា \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\)។ នៅពេលទាញទម្រង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្នត្រឡប់ទៅការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង គូស្ត្រេស–ស្ត្រេន ដែលជាគូកម្មថាមពលក្លាយជា 2nd Piola-Kirchhoff ស្ត្រេស \(\boldsymbol{S}\) និង Green-Lagrange ស្ត្រេន \(\boldsymbol{E}\)។ គោលការណ៍ការងារនិម្មិតក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដំបូងគឺ

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

អាចសរសេរបានដូចនេះ។ នៅទីនេះ \(\rho_0\) ជាដង់ស៊ីតេម៉ាសក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ហើយដោយច្បាប់អភិរក្សម៉ាស \(\rho_0 = J\rho\) វាសមមូលនឹងទម្រង់កម្លាំងមាឌក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន។

ភាពសមមូលរវាងទម្រង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន និងដំបូង

ការងារនិម្មិតនៃកម្លាំងខាងក្នុងក្នុងទម្រង់ទាំងពីរស្មើគ្នាតាមរយៈការបម្លែងដោយក្រាដ្យង់ការខូចទ្រង់ទ្រាយ \(\boldsymbol{F}\) និងសមាមាត្រមាឌ \(J = \det \boldsymbol{F}\)។ នោះគឺ

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ដូចនេះ។ ពាក្យកម្លាំងខាងក្រៅក៏សមមូលតាមរយៈច្បាប់អភិរក្សម៉ាស និងការបម្លែងកម្លាំងផ្ទៃ។ ដូច្នេះ សមីការការងារនិម្មិតក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន និងដំបូងគឺជាការបង្ហាញគោលការណ៍ដូចគ្នាក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធខុសគ្នា។ វិធីដែលយោងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដើមត្រូវនឹង Total Lagrange ហើយវិធីដែលយោងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន (ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដែលបានសម្របសម្រួលមុន) ត្រូវនឹង Updated Lagrange។

ការកាត់បន្ថយទៅការខូចទ្រង់ទ្រាយតូច

ក្រោមសន្មតការខូចទ្រង់ទ្រាយតូច \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) និង \(J \approx 1\) ភាពខុសគ្នារវាងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន និងយោងបាត់ទៅ។ 2nd PK ស្ត្រេសស្មើនឹងស្ត្រេស Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)) ហើយទាំង Green-Lagrange ស្ត្រេន និងផ្នែកលីនេអ៊ែរនៃ Almansi ស្ត្រេន កាត់បន្ថយទៅស្ត្រេនតូច \(\boldsymbol{\varepsilon}\)។

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

នៅពេលនេះ គោលការណ៍ការងារនិម្មិតក្លាយជាទម្រង់ខ្សោយដោយស្ត្រេស Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) និងស្ត្រេនតូច \(\boldsymbol{\varepsilon}\)៖

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ហើយកាត់បន្ថយទៅទម្រង់នេះ។ នេះគឺជាទម្រង់ខ្សោយដែលប្រើដោយផ្ទាល់សម្រាប់ការឌីស្ក្រីតក្នុងការវិភាគស្ថាទិកអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរនៃការខូចទ្រង់ទ្រាយតូច (ក្នុង ការវិភាគស្ថាទិកអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ (សេចក្តីផ្តើម/ឧបសម្ព័ន្ធ) ទម្រង់នេះត្រូវបានប្រើជាចំណុចចាប់ផ្តើម ដើម្បីបង្ហាញការបង្កើតម៉ាទ្រីសរឹងធាតុ \(\boldsymbol{K}^e\) និងការផ្គុំសមីការសកល \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\))។

បញ្ចូលច្បាប់អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ហើយសរសេរជា \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ក្នុង សញ្ញាសម្គាល់ Voigt នោះទម្រង់ខ្សោយក្លាយជា

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ក្នុងទម្រង់នេះ។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ